《步步高》高考数学大二轮总复习：专题二-函数与导数第讲.pdf

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1、第第 3 3 讲讲导数及其应用导数及其应用1(2015课标全国改编)设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR R)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是_2(2014课标全国改编)假设函数 f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是_3(2014辽宁改编)当 x2,1时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是_4(2014课标全国改编)已知函数 f(x)ax33x21，假设 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是_(2，)；(，2)；(1，)；(，1)1.导数的

2、意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值最值是高考的常见题型.热点一导数的几何意义1函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 kf(x0)，相应的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同例 1(1)(2015课标全国)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.(2)(2015徐州市质量诊断)设函数 f(x)ax33x，其图象在点(1，f(1)处的切线 l

3、与直线 x6y70 垂直，则直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为_思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解跟踪演练 1在平面直角坐标系 xOy 中，设 A 是曲线 C1：yax31(a0)与曲线 C2：x2y25 的一个公共点，假设 C1在 A 处的切线与 C2在

4、 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是2_热点二利用导数研究函数的单调性1f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但 f(x)0.2f(x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f(x)0 时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性3x2ax例 2(2015重庆)设函数 f(x)(aR)ex(1)假设 f(x)在 x0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)假设 f(x)在3，)上为减函数，求 a 的取值范围思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的

5、定义域(2)求导函数 f(x)(3)假设求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f(x)0 或f(x)0，右侧 f(x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；假设在x0附近左侧 f(x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值2设函数 yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得p2e例 3设函数 f(x)px 2ln x，g(x)，其中 p0.xx(1)假设 f(x)在其定义域内是单调增函数，求实数p 的取值范围；(2)假设在1，e上存在点 x0，使得 f(x0)g(x0)成立，求实数 p 的取

6、值范围；(3)假设在1，e上存在点 x1，x2，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 p 的取值范围思维升华(1)求函数 f(x)的极值，则先求方程 f(x)0 的根，再检查 f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)假设已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况来求解(3)求函数 f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练 3已知函数 f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)假设 x1 是函数 yf(x)的极值点，求 a 的值；(2)假设 f(x)0”是“f(x

7、)在 R R 上单调递增”的2_条件1x15已知 aln x 对任意 x，2恒成立，则 a 的最大值为_x26(2015陕西)函数 yxex在其极值点处的切线方程为_ax17假设函数 f(x)在 x(2，)上单调递减，则实数 a 的取值范围是_x28已知函数 f(x)4ln xax26xb(a，b 为常数)，且 x2 为 f(x)的一个极值点，则 a 的值为_49(2015重庆)已知函数 f(x)ax3x2(aR R)在 x 处取得极值3(1)确定 a 的值；(2)假设 g(x)f(x)ex，讨论 g(x)的单调性x210已知函数 f(x)ln x，x1,38(1)求 f(x)的最大值与最小值

8、；(2)假设 f(x)3)上的最小值；(3)假设对x2，kf(x)g(x)恒成立，求实数 k 的取值范围学生用书答案精析学生用书答案精析第第 3 3 讲讲导数及其应用导数及其应用高考真题体验1(，1)(0,1)fx解析因为 f(x)(xR R)为奇函数，f(1)0，所以 f(1)f(1)0.当 x0 时，令 g(x)，x则 g(x)为偶函数，且 g(1)g(1)0.则当 x0 时，g(x)xfxfxfx0，故 g(x)x2x在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当 0 x1 时，fxfxg(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，当 x1 时，g(x)g(1)00f(x

9、)xx0.综上，得使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)21，)1解析由于 f(x)k，x1f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增f(x)k 0 在(1，)上恒成立x11由于 k，而 00，x4x4(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6，a6.x24x3当 x2,0)时，a，x3x24x3amin.x3x24x3仍设(x)，x3x9x1(x).x4当 x2，1)时，(x)0.当 x1 时，(x)有极小值，即为最小值而(x)min(1)1432，1a2.综上知6a2.4解析f(x)3ax26x，当 a3 时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当 x(，0)时，

10、f(x)0；2225x(0，)时，f(x)0，注意 f(0)1，f()0，则3339f(x)的大致图象如图 1 所示不符合题意，排除.图 1433当 a 时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当 x(，)时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0)，得 a4.6xaex3x2axex例 2解(1)对 f(x)求导得 f(x)ex23x26axa，ex因为 f(x)在 x0 处取得极值，所以 f(0)0，即 a0.3x26x3x233当 a0 时，f(x)x，f(x)，故 f(1)，f(1)，从而 f(x)在点(1，f(1)处的eexee33切线方程为 y(x1)，化简得 3xey0.ee3x2

11、6axa(2)由(1)知 f(x).ex令 g(x)3x2(6a)xa，6a由 g(x)0，解得 x16ax2a236.a236，66当 xx1时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数；当 x1xx2时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数6a由 f(x)在3，)上为减函数，知 x29解得 a，2a2363，69，.故 a 的取值范围为21跟踪演练 2(1)(0,1(2)(，)9解析(1)由题意知，函数的定义域为(0，)，又由1f(x)x 0，解得 00，解得 a.991所以 a 的取值范围是(，)9例 3

12、解(1)f(x)的定义域为(0，)，2p2px2xpf(x)p2.xxx2由条件知 f(x)0 在(0，)内恒成立，2x恒成立x212x2x2x而21，当 x1 时等号成立，即2的最大值为 1，x12x1x1即 p所以 p1，即实数 p 的取值范围是1，)(2)设 h(x)f(x)g(x)，则已知等价于h(x)0 在1，e上有解，即等价于 h(x)在1，e上的最大值大于 0.p22e因为 h(x)p2 2xxxpx2p2ex0，x2所以 h(x)在1，e上是增函数，p所以 h(x)maxh(e)pe40，e4e解得 p2.e14e所以实数 p 的取值范围是(2，)e1(3)已知条件等价于 f(

13、x)maxg(x)min.当 p1 时，由(1)知 f(x)在1，e上是增函数，p所以 f(x)maxf(e)pe2.e1当 0p0.ep综上可知，应用 pe 22，e4e解得 p2.e14e所以实数 p 的取值范围是(2，)e1跟踪演练 3解(1)函数的定义域为(0，)，2a2x2ax1f(x).x因为 x1 是函数 yf(x)的极值点，所以 f(1)1a2a20，1解得 a(舍去)或 a1.2经检验，当 a1 时，x1 是函数 yf(x)的极值点，所以 a1.(2)当 a0 时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0 时，2ax1ax1令 f(x)0，得x11x1(舍去)，x2，

14、2aa所以 f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)f(x)11所以 f(x)maxf()ln1.综上可得 a 的取值范围是(1，)高考押题精练11.e1解析yf(x)ln x 的定义域为(0，)，设切点为(x0，y0)，则切线斜率kf(x0).切x0111线方程为 yy0(xx0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得 y01，则 x0e，k.x0 x0e223解析由题意知 f(x)3x22axb，1(0，)a1a0极大值1(，)a32ab0，a2，a6，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验21aba7a10，b1b9，a6，满足题意，b9a2故.b332解析函数 f(x)x2ax

15、3 在(0,1)上为减函数，a 1，得 a2.2a又g(x)2x，依题意 g(x)0 在 x(1,2)上恒成立，得 2x2a 在 x(1,2)上恒成立，x有 a2，a2.94.4，1解析由于 f(x)10，因此函数 f(x)在0,1上单调递增，x12所以 x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在 x1,2，使得 g(x)x22ax41，x5即 x22ax50，即 a 能成立，22xx5令 h(x)，22x则要使 ah(x)在 x1,2能成立，只需使 ah(x)min，x5又函数 h(x)在 x1,2上单调递减，22x99所以 h(x)minh(2)，故只需 a.44二轮专题强化练

16、答案精析二轮专题强化练答案精析第第 3 3 讲讲导数及其应用导数及其应用1解析根据 f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，错误；从适合 f(x)0 的点知错；正确2xy301ln x解析f(x)，则 f(1)1，故该切线方程为 y(2)x1，即 xy30.x23(，3 5，)解析f(x)x22ax5，当f10，f(x)在1,3上单调递减时，由得 a3；f30当 f(x)在1,3上单调递增时，f(x)0 恒成立，0，则有 4a 450 或a0，或a3，f30，得 a 5，)综上 a 的取值范围为(，3 5，)4充分不必要3解析f(x)x2a，当 a0 时，f(x)0 恒成立，

17、故“a0”是“f(x)在 R R 上单调递增”2的充分不必要条件501xx11解析令 f(x)ln x，则 f(x)2，当 x，1)时，f(x)0，xx21f(x)在，1上单调递减，在1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0.216ye解析设 yf(x)xex，令yexxexex(1x)0，得x1.当 x1 时，y0；当x1 时，y0，故 x1 为函数 f(x)的极值点，切线斜率为 0，11111，切线方程为 y 0(x1)，即 y.又 f(1)e1，故切点坐标为eeee17a2ax1x2x2ax1解析f(x)x22ax2ax12a11，令 f(x)0，即 2a10，解得 a.2x22

18、x2281解析由题意知，函数 f(x)的定义域为(0，)，4f(x)2ax6，f(2)24a60，即 a1.x9解(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，440，因为 f(x)在 x 处取得极值，所以 f33416a8161 0，解得 a.即 3a233392132x(2)由(1)得 g(x)2xxe，321x2xexx3x2ex故 g(x)2213521xx2xexx(x1)(x4)ex.222令 g(x)0，解得 x0，x1 或 x4.当 x4 时，g(x)0，故 g(x)为减函数；当4x1 时，g(x)0，故 g(x)为增函数；当1x0 时，g(x)0，故 g(x)为减函数；当

19、x0 时，g(x)0，故 g(x)为增函数综上知 g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数x210解(1)函数 f(x)ln x，8x1f(x)，4x令 f(x)0 得 x2，x1,3，当 1x2 时，f(x)0；当 2x0；f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，1f(x)在 x2 处取得极小值 f(2)ln 2；219又 f(1)，f(3)ln 3，8819ln 31，(ln 3)ln 310，88f(1)f(3)，11x1 时 f(x)的最大值为，x2 时函数取得最小值为 ln 2.821(2)由(1)知当 x1,3时，f(x)，

20、8故对任意 x1,3，f(x)对任意 t0,2恒成立，即 at恒成立，记 g(t)at，t0,28831g28，112031g0，831解得 a0)，ln x1问题转化为 a在(0，)上有两个实数解2xln x1ln x设 g(x)，则 g(x)2.2x2x所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)在 x1 处取得极大值也是最大值，1即 g(x)maxg(1).21注意 g()0，当 x1 时，g(x)0，则 g(x)的大致图象如下图eln x11由图象易知 0a0 得 x2，由 f(x)0 得 x3，t12.当3t2 时，f(x)在t，2单调递减，在2，t1单调递增，f(x)minf(2)2e2.当 t2 时，f(x)在t，t1单调递增，f(x)minf(t)2et(t1)；22e3t0 得 ex，k1xln；k111由 F(x)0 得 xln，F(x)在(，ln)单调递减，在ln，)单调递增kkk1当 ln e2时，F(x)在2，)单调递增，2F(x)minF(2)2ke222(e2k)2，即 1k0，k满足 F(x)min0.综上所述，满足题意的 k 的取值范围为1，e2