线性代数公式及主要结论.pdf

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1、1、行列式1.代数余子式的性质：、A Aij ij和a aij ij的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A A；2.代数余子式和余子式的关系：MM j jij ij(1)i iA Aij ijA Aij ij(1)i i j jMMij ij逆序数计算3.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n n(n n1)、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；2、矩阵1.A A是n n阶可逆矩阵：A A 0（是非奇异矩阵）；r r(A A)n n（是满秩矩阵）A A

2、的行（列）向量组线性无关；齐次方程组AxAx 0只有零解；b b R Rn n，AxAx b b总有唯一解；A A与E E等价；2.对于n n阶矩阵A A：AAAA*A A*A A A A E E无条件恒无条件恒成立；3.(A A1)*(A A*)1(A A1)T T(A AT T)1(A A*)T T(A AT T)*(ABAB)T T B BT TA AT T(ABAB)*B B*A A*(ABAB)1 B B1A A14.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A A、B B可逆：A A1若A A A A2，则：A As s、A A

3、 A A1A A2A As s；A A11、A A1A A12；A A1s s1、A AO O A A1O O O OB BO OB B1；（主对角分块）1、O OA A O OB B1B BO OA A1O O；（副对角分块）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m mn n矩阵A A，总可经过初等变换（无行字）化为标准形，其标准形是唯一确定的：F F E Er rO OO OO O；m mn n等价类：所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A A、B B，若r r(A A)r r(B B)A A2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获

4、得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(A A,E E)(E E,X X)，则A A可逆，且X X A A1；、对矩阵(A A,B B)做初等行变化，当A A变为E E时，B B就变成A A1B B，即：(A A,B B)(E E,A A1B B)；、求解线形方程组：对于n n个未知数n n个方程AxAx b b，如果(A A,b b)(E E,x x)，则A A可逆，且x x A A1b b；4.矩阵秩的基本性质：、0 r r(A Am mn n)min(m m,n n)；、r

5、 r(A AT T)r r(A A)；、若A AB B，则r r(A A)r r(B B)；、若P P、Q Q可逆，则r r(A A)r r(PAPA)r r(AQAQ)r r(PAQPAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(r r(A A),r r(B B)r r(A A,B B)r r(A A)r r(B B)；（）、r r(A A B B)r r(A A)r r(B B)；（）、r r(ABAB)min(r r(A A),r r(B B)；（）、如果A A是m mn n矩阵，B B是n ns s矩阵，且ABAB 0，则：（）、B B的列列向量全部是齐次方程组AX

6、AX 0解（转置运算后的结论）；、r r(A A)r r(B B)n nr rr rB B；c c5.关于A A矩阵秩的描述：、r r(A A)n n，A A中有n n阶子式不为 0，所有n n1阶（或以上阶）子式全部为0；（两句话）、r r(A A)n n，A A中所有n n阶子式全部为 0；、r r(A A)n n，A A中有n n阶子式不为 0；6.线性方程组AxAx b b的求解：、对增广矩阵B B进行初等行变换（只能使用初等行变换只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；7.由n n个未知数m m个方程的方程组构成n n元线性方程：a a11x

7、 x1a a12x x2a a1n nx xn n b b1a a x x a a x x a ax x b b2n nn n2、211222；a am m1x x1a am m2x x2a anmnmx xn n b bn n a a11a a、21a am m1a a12a a22a am m2a a1n n x x1 b b1a a2n nx x2b b2 AxAx b b（向量方程，A A为m mn n矩阵，m m个方程，n n个未知数）a amnmnx xm mb bm m x x1b b1x xb b2a an n（全部按列分块，其中 2）；x xn nb bn n、a a1a a

8、2、a a1x x1a a2x x2a an nx xn n（线性表出）、有解的充要条件：r r(A A)r r(A A,)n n（n n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m m个n n维列向量所组成的向量组A A：1,2,m m构成n nm m矩阵A A (1,2,m m)；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关 AxAx 0有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 AxAx b b是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 AXAX B B是否有解；（矩阵方程）3.n n维向量线性相关的几何意义：、线性相关 0；、,线性相关,坐标成

9、比例或共线（平行）；、,线性相关,共面；4.线性相关与无关的两套定理：若 1,2,s s线性相关，则 1,2,若 1,2,s s线性无关，则 1,2,s s,s s1必线性相关；,s s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r r维向量组A A的每个向量上添上n nr r个分量，构成n n维向量组B B：若A A线性无关，则B B也线性无关；反之若B B线性相关，则A A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；5.向量组A A（个数为r r）能由向量组B B（个数为s s）线性表示，且A A线性无关，则r r s s；向量组A A能由向量组B

10、B线性表示，则r r(A A)r r(B B)；向量组A A能由向量组B B线性表示 AXAX B B有解；r r(A A)r r(A A,B B)向量组A A能由向量组B B等价 r r(A A)r r(B B)r r(A A,B B)6.对于矩阵A Am mn n与B Bl ln n：、若A A与B B行等价，则A A与B B的行秩相等；、若A A与B B行等价，则AxAx 0与BxBx 0同解，且A A与B B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A A的行秩等于列秩；7.若A Am ms sB Bs sn n C Cm mn n，则：、C C的

11、列向量组能由A A的列向量组线性表示，B B为系数矩阵；、C C的行向量组能由B B的行向量组线性表示，A AT T为系数矩阵；（转置）8.1,2,s s线性相关存在一组不全为 0 的数k k1,k k2,k ks s，使得k k1 1 k k2 2 k ks s s s 0成立；（定义）x x1x x,s s)2 0有非零解，即AxAx 0有非零解；x xs s,s s)s s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；(1,2,r r(1,2,9.设m mn n的矩阵A A的秩为r r，则n n元齐次线性方程组AxAx 0的解集S S的秩为：r r(S S)n nr r；10.若*为AxAx b b的一个解，1,2,n nr r为AxAx 0的一个基础解系，则*,1,2,n nr r线性无关；