新课标小学数学奥林匹克辅导及练习-裂项法（一）(含答案)-.pdf

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1、1裂项法（一）同学们知道：在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算.（一）阅读思考 例如1314112,这里分母 3、4 是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式：1111111111nnnn nnn nnnn nn n()()()()即11111nnn n()或11111n nnn()下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题.【典型例题】例 1.计算：11985198611986198711987198811994199511995199611996199711997 分析与解答：2 11985198

2、61198511986119861987119861198711987198811987119881199419951199411995 11995199611995119961199619971199611997 上面 12 个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0,这一来问题解起来就十分方便了.11985198611986198711987198811995199611996199711997 119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适

3、当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法.例 2.计算：11112112311231003 公式的变式 11221nnn()当n分别取 1,2,3,100 时,就有 112121122231123234112342451121002100101 111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101()()()21001012001011991014 例 3.设符号（）、代表不同的自然数,问算式1611()中这两个符号所代表的

4、数的数的积是多少?分析与解：减法是加法的逆运算,1611()就变成1611(),与前面提到的等式11111nnn n()相联系,便可找到一组解,即1617142 另外一种方法 设nxy、都是自然数,且xy,当111nxy时,利用上面的变加为减的想法,得算式xnnxy1.这里1y是个单位分数,所以xn一定大于零,假定xnt 0,则xnt,代入上式得tn nty()1,即yntn2.又因为y是自然数,所以t一定能整除n2,即t是n2的约数,有n个t就有n个y,这一来我们便得到一个比11111nnn n()更广泛的等式,即当xnt,yntn2,t是n2的约数时,一定有111nxy,即5 11nntt

5、n nt()上面指出当xnt,yntn2,t是n2的约数时,一定有111nxy,这里nn6362,36 共有 1,2,3,4,6,9,12,18,36 九个约数.当t 1时,x 7,y 42 当t 2时,x 8,y 24 当t 3时,x 9,y 18 当t 4时,x 10,y 15 当t 6时,x 12,y 10 当t 9时,x 15,y 10 当t 12时,x 18,y 9 当t 18时,x 24,y 8 当t 36时,x 42,y 7 故（）和所代表的两数和分别为 49,32,27,25.【模拟试题】（答题时间：20 分钟）二.尝试体验：6 1.计算：1121231341989919910

6、0 2.计算：131611011512112813614515516617819111051120 3.已知xy、是互不相等的自然数,当11811xy时,求xy.7【试题答案】1.计算：11212313419899199100 1121213131419819919911001110099100 2.计算：131611011512112813614515516617819111051120 262122202302422562722902110213221562182221022402123134145156167178189191011011111 121121311314114151151

7、621211611878()()3.已知xy、是互不相等的自然数,当11811xy时,求xy.xy的值为：75,81,96,121,147,200,361.8 因为 18 的约数有 1,2,3,6,9,18,共 6 个,所以有118111811136136()118121812154127542781118131813172124722496()()118161816112612121126147()11819181911801202018020011811818118119134219342361()()1182318231451303045751182918291991222299121()()还有别的解法.