【北师大版】数学九年级上-相似与位似专题.pdf

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1、1相似与位似专题解读考点知识点名师点晴1比例知道什么是比例式、第四比例项、比例中项2黄金分割知道黄金分割的意义和生活中的应用 3比例的基本性质及定理能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算比和比例 4平行线分线段成比例定理会直接运用定理进行计算和证明 5相似三角形 知道什么是相似三角形 6相似三角形的判定和性质能运用相似三角形的性质和判定方法证明简单问题 7相似多边形的性质了解相似多边形的性质相似形 8位似图形知道位似是相似的特殊情况能利用位似放大和缩小一个图形2 年中考【2015 年题组】1(2015 东营)若34yx,则xyx的值为()A1 B47 C54 D74【答案】D【解析】试题分析:

2、34yx,xyx=434=74故选 D考点:比例的性质2(2015 南京)如图所示,ABC 中,DEBC,若12ADDB,则下列结论中正确的是()2A12AEEC B12DEBC C1=3ADEABC的周长的周长 D1=3ADEABC的面积的面积【答案】C考点:相似三角形的判定与性质3(2015 荆州)如图,点 P 在ABC 的边 AC 上,要判断ABPACB,添加一个条件,不正确的是()AABP=C BAPB=ABC CAPABABAC DABACBPCB【答案】D【解析】试题分析:A当ABP=C 时,又A=A,ABPACB,故此选项错误;B当APB=ABC 时,又A=A,ABPACB,故此

3、选项错误;C当APABABAC时,又A=A,ABPACB,故此选项错误;D无法得到ABPACB,故此选项正确故选 D考点:相似三角形的判定4(2015 随州)如图,在ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,下列条件中不能判断ABCAED 的是()3AAED=B BADE=C CADACAEAB DADAEABAC【答案】D考点:相似三角形的判定5(2015 贵阳)如果两个相似三角形对应边的比为 2:3,那么这两个相似三角形面积的比是()A2:3 B2:3 C4:9 D8:27【答案】C【解析】试题分析:两个相似三角形面积的比是22()3=4:9故选 C考点:相似三角形的性质6(201

4、5 白银)如图,DE 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点,DEAC,若 SBDE:SCDE=1:3,则SDOE:SAOC 的值为()A13 B14 C19 D116【答案】D【解析】试题分析:SBDE:SCDE=1:3,BE:EC=1:3;BE:BC=1:4;DEAC,DOEAOC,DEBEACBC=14,SDOE:SAOC=2()DEAC=116,故选 D考点:相似三角形的判定与性质47(2015 淮安)如图,l1l2l3,直线 a,b 与 l1、l2、l3 分别相交于 A、B、C 和点D、E、F若32BCAB,DE=4,则 EF 的长是()A38 B320 C6 D10【答案】C考点:

5、平行线分线段成比例8(2015 乐山)如图,1l2l3l,两条直线与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和D、E、F已知32ABBC,则DEDF的值为()A32 B23 C25 D35【答案】D【解析】试题分析:1l2l3l,32ABBC,DEDF=ABAC=332=35,故选 D考点:平行线分线段成比例9(2015 宜宾)如图,OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形,相似比为1:2,OCD=90,CO=CD若 B(1,0),则点 C 的坐标为()5A(1,2)B(1,1)C(2,2)D(2,1)【答案】B考点:1位似变换;2坐标与图形性质10(2015 十堰)在平面直角坐标系中,

6、已知点 A(4,2),B(6,4),以原点 O 为位似中心,相似比为12,把ABO 缩小,则点 A 的对应点 A的坐标是()A(2,1)B(8,4)C(8,4)或(8,4)D(2,1)或(2,1)【答案】D【解析】试题分析:点 A(4,2),B(6,4),以原点 O 为位似中心,相似比为12,把ABO 缩小,点 A 的对应点 A的坐标是:(2,1)或(2,1)故选 D考点:1位似变换;2坐标与图形性质11(2015 眉山)如图,A、B 是双曲线xky 上的两点,过 A 点作 ACx 轴,交 OB 于 D 点,垂足为 C若ADO 的面积为 1,D 为 OB 的中点,则 k 的值为()A34 B3

7、8 C3 D46【答案】B考点:1反比例函数系数 k 的几何意义;2相似三角形的判定与性质12(2015 绵阳)如图,D 是等边ABC 边 AB 上的一点,且 AD:DB=1:2,现将ABC 折叠,使点C 与 D 重合,折痕为 EF,点 E,F 分别在 AC 和 BC 上,则 CE:CF=()A34 B45 C56 D67【答案】B【解析】5454aayx,即54CFCE,故选 B7考点:1翻折变换(折叠问题);2相似三角形的判定与性质;3综合题13(2015 常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则这称这两个扇形相似如图,如果扇形 AOB 与扇形 A1O1B1 是相似扇形,且半径 O

8、A:O1A1=k(k 为不等于 0 的常数)那么下面四个结论:AOB=A1O1B1;AOBA1O1B1;11ABkAB;扇形 AOB 与扇形 A1O1B1 的面积之比为2k成立的个数为()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】D【解析】试题分析:由扇形相似的定义可得:111180180n rrnrr,所以 n=n1 故正确;因为AOB=A101B1,OA:O1A1=k,所以AOBA101B1,故正确;因为AOBA101B1,故1111ABOAABO A=k,故正确;由扇形面积公式2360nr可得到正确故选 D考点:1相似三角形的判定与性质;2弧长的计算;3扇形面积的计算;4新定义;5压

9、轴题14(2015 株洲)如图,已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直,垂足分别是 B、D、F,且 AB=1,CD=3,那么 EF 的长是()8A13 B23 C34 D45【答案】C考点:相似三角形的判定与性质15(2015 黔西南州)在数轴上截取从 0 到 3 的对应线段 AB,实数 m 对应 AB 上的点 M,如图 1;将AB 折成正三角形,使点 A、B 重合于点 P,如图 2;建立平面直角坐标系,平移此三角形,使它关于 y 轴对称,且点 P 的坐标为(0,2),PM 的延长线与 x 轴交于点 N(n,0),如图 3,当 m=3时,n 的值为()A42 3 B432 C332 D332

10、【答案】A9考点:1相似三角形的判定与性质;2实数与数轴;3等边三角形的性质;4平移的性质;5综合题;6压轴题16(2015 宁波)如图,将ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的 A2 处,称为第 1 次操作,折痕 DE 到 BC 的距离记为 h1;还原纸片后,再将ADE 沿着过 AD 中点 D1 的直线折叠,使点 A 落在 DE 边上的 A2 处,称为第 2 次操作,折痕 D1E1 到 BC 的距离记为 h2;按上述方法不断操作下去,经过第 2015 次操作后得到的折痕 D2014E2014 到 BC 的距离记为h2015,到 BC 的距离记为 h2015若

11、 h1=1,则 h2015 的值为()A201521 B201421 C2015211 D2014212【答案】D【解析】试题分析:连接 AA1,由折叠的性质可得:AA1DE,DA=DA1,又D 是 AB 中点,DA=DB,DB=DA1,BA1D=B,ADA1=2B,又ADA1=2ADE,ADE=B,DEBC,AA1BC,AA1=2,h1=21=1,同理,h2=122,h3=11222=2122,经过第 n 次操作后得到的折痕 Dn1En1 到 BC 的距离 hn=1122n,h2015=2014212,故选 D考点:1相似三角形的判定与性质;2三角形中位线定理;3翻折变换(折叠问题);4规律

12、型;5综合题17(2015 天水)如图是一位同学设计的用手电筒测量某古城墙高度的示意图点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处,已知ABBD,CDBD,测得 AB=2 米,BP=3 米,PD=12 米,那么该古城墙的高度 CD 是 米10【答案】8考点:相似三角形的应用18(2015 柳州)如图,矩形 EFGH 内接于ABC,且边 FG 落在 BC 上若 BC=3,AD=2,EF=23EH,那么 EH 的长为 【答案】32【解析】试题分析:四边形 EFGH 是矩形,EHBC,AEHABC,AMEH,ADBC,AMEHADBC,设 EH=3x

13、,则有 EF=2x,AM=ADEF=22x,22323xx,解得:x=12,则 EH=32故答案为:3211考点:1相似三角形的判定与性质;2矩形的性质;3应用题19(2015 河池)如图,菱形 ABCD 的边长为 1,直线 l 过点 C,交 AB 的延长线于 M,交 AD 的延长线于 N,则11AMAN=【答案】1考点:1相似三角形的判定与性质;2菱形的性质;3综合题20(2015 贺州)如图,在ABC 中,AB=AC=15,点 D 是 BC 边上的一动点(不与 B、C 重合),ADE=B=,DE 交 AB 于点 E,且 tan=34有以下的结论:ADEACD;当CD=9 时,ACD 与DB

14、E 全等;BDE 为直角三角形时,BD 为 12 或214;0BE245,其中正确的结论是 (填入正确结论的序号)【答案】12若BDE 为直角三角形,则有两种情况:(1)若BED=90,BDE=CAD,B=C,BDECAD,CDA=BED=90,ADBC,AB=AC,BD=12BC=12;(2)若BDE=90,如图 2,设 BD=x,则 DC=24x,CAD=BDE=90,B=C=,cosC=cosB=45,154245ACDCx,解得:214x,若BDE 为直角三角形,则 BD 为 12 或214,故正确;设 BE=x,CD=y,BDECAD,BECDBDCA,2415xyy,21524xy

15、y,215144(12)xy,15144x,485x,0BE485,故错误;故答案为:13考点:1相似三角形的判定与性质;2全等三角形的判定与性质21(2015 钦州)如图,以 O 为位似中心,将边长为 256 的正方形 OABC 依次作位似变化,经第一次变化后得正方形 OA1B1C1,其边长 OA1 缩小为 OA 的12,经第二次变化后得正方形OA2B2C2,其边长 OA2 缩小为 OA1 的12,经第三次变化后得正方形 OA3B3C3,其边长 OA3 缩小为 OA2 的12,按此规律,经第 n 次变化后,所得正方形 OAnBnCn 的边长为正方形OABC 边长的倒数,则 n=【答案】16考

16、点:1位似变换;2坐标与图形性质22(2015 南通)如图,矩形 ABCD 中,F 是 DC 上一点,BFAC,垂足为 E,12ADAB,CEF 的面积为1S,AEB 的面积为2S,则12SS的值等于 14【答案】116考点:1相似三角形的判定与性质;2矩形的性质;3综合题23(2015 扬州)如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点 A、B、C 都在横格线上若线段 AB=4cm,则线段 BC=cm【答案】12【解析】试题分析:如图,过点 A 作 AECE 于点 E,交 BD 于点 D,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,ABADB

17、CDE,即426BC,BC=12cm故答案为:12考点:平行线分线段成比例24(2015 扬州)如图,已知ABC 的三边长为 a、b、c,且 abc,若平行于三角形一边的直线 l 将ABC 的周长分成相等的两部分设图中的小三角形、的面积分别为1S、152S、3S,则1S、2S、3S的大小关系是 (用“”号连接)【答案】132SSS0abc,0a+ba+cb+c,1SS3SS2SS,132SSS,故答案为:132SSS考点:1相似三角形的判定与性质;2综合题;3压轴题25(2015 连云港)如图,在ABC 中,BAC=60,ABC=90,直线 l1l2l3,l1 与 l2 之间距离是 1,l2

18、与 l3 之间距离是 2,且 l1,l2,l3 分别经过点 A,B,C,则边 AC 的长为 16【答案】2213考点:1相似三角形的判定与性质;2平行线之间的距离;3勾股定理;4综合题26(2015 盐城)设ABC 的面积为 1,如图,将边 BC、AC 分别 2 等分,BE1、AD1 相交于点O,AOB 的面积记为 S1;如图将边 BC、AC 分别 3 等分,BE1、AD1 相交于点 O,AOB 的面积记为 S2;,依此类推,则 Sn 可表示为 (用含 n 的代数式表示,其中 n 为正整数)【答案】121n17考点:1相似三角形的判定与性质;2规律型;3综合题;4压轴题27(2015 成都)已

19、知菱形1111ABC D的边长为 2,111ABC=60,对角线11AC,11B D相交于点 O以点 O 为坐标原点,分别以1OA,1OB所在直线为 x 轴、y 轴,建立如图所示的直角坐标系以11B D为对角线作菱形1212BC D A菱形1111ABC D,再以22A C为对角线作菱形2222A B C D菱形1212BC D A,再以22B D为对角线作菱形2323B C D A菱形2222A B C D,按此规律继续作下去,在 x 轴的正半轴上得到点1A,2A,3A,nA,则点nA的坐标为_【答案】(3 n1,0)18考点:1相似多边形的性质;2菱形的性质;3规律型;4综合题;5压轴题2

20、8(2015 连云港)如图,在ABC 中,ABC=90,BC=3,D 为 AC 延长线上一点,AC=3CD,过点D 作 DHAB,交 BC 的延长线于点 H(1)求 BDcosHBD 的值;(2)若CBD=A,求 AB 的长【答案】(1)4;(2)6【解析】试题分析:(1)首先根据 DHAB,判断出ABCDHC,即可判断出ACBCCDCH=3;然后求出BH 的值是多少,再根据在 RtBHD 中,cosHBD=BHBD,求出 BDcosHBD 的值是多少即可;考点:1相似三角形的判定与性质;2解直角三角形 1929(2015 镇江)某兴趣小组开展课外活动如图,A,B 两地相距 12 米,小明从点

21、 A 出发沿AB 方向匀速前进,2 秒后到达点 D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为 AD,继续按原速行走 2秒到达点 F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为 1.2 米,然后他将速度提高到原的 1.5 倍,再行走 2 秒到达点 H,此时他(GH)在同一灯光下的影长为 BH(点 C,E,G在一条直线上)(1)请在图中画出光源 O 点的位置,并画出他位于点 F 时在这个灯光下的影长 FM(不写画法);(2)求小明原的速度【答案】(1)作图见试题解析;(2)1.5m/s【解析】试题分析:(1)利用中心投影的定义作图;(2)设小明原的速度为 xm/s,则 CE=2xm,AM=(

22、4x1.2)m,EG=3xm,BM=13.24x,由OCEOAM,OEGOMB,得到CEEGAMBM,即代入解方程即可试题解析:(1)如图,(2)设小明原的速度为 xm/s,则 CE=2xm,AM=AFMF=(4x1.2)m,EG=21.5x=3xm,BM=ABAM=12(4x1.2)=13.24x,点 C,E,G 在一条直线上,CGAB,OCEOAM,OEGOMB,CEOEAMOM,EGOEBMOM,CEEGAMBM,即2341.213.24xxxx,解得 x=1.5,经检验 x=1.5 为方程的解,小明原的速度为 1.5m/s答:小明原的速度为 1.5m/s考点:1相似三角形的应用;2中心

23、投影30(2015 南充)如图,矩形纸片 ABCD,将AMP 和BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠(APAM),点 A和点 B 都与点 E 重合;再将CQD 沿 DQ 折叠,点 C 落在线段 EQ 上点 F 处(1)判断AMP,BPQ,CQD 和FDM 中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)(2)如果 AM=1,sinDMF=53,求 AB 的长20【答案】(1)AMPBPQCQD;(2)AB=6试题解析:(1)AMPBPQCQD,四边形 ABCD 是矩形,A=B=C=90,根据折叠的性质可知:APM=EPM,EPQ=BPQ,APM+BPQ=EPM+EPQ=90,APM+AMP=90,BPQ

24、=AMP,AMPBPQ,同理:BPQCQD,根据相似的传递性,AMPCQD;(2)ADBC,DQC=MDQ,根据折叠的性质可知:DQC=DQM,MDQ=DQM,MD=MQ,AM=ME,BQ=EQ,BQ=MQME=MDAM,sinDMF=DFMD=53,设 DF=3x,MD=5x,BP=PA=PE=32x,BQ=5x1,AMPBPQ,AMAPBPBQ,3123512xxx,解得:29x(舍)或 x=2,AB=6考点:1翻折变换(折叠问题);2相似三角形的判定;3解直角三角形;4探究型;5综合题31(2015 南通)如图,RtABC 中,C=90,AB=15,BC=9,点 P,Q 分别在 BC,A

25、C 上,CP=3x,CQ=4x(0 x3)把PCQ 绕点 P 旋转,得到PDE,点 D 落在线段 PQ 上(1)求证:PQAB;(2)若点 D 在BAC 的平分线上,求 CP 的长;(3)若PDE 与ABC 重叠部分图形的周长为 T,且 12T16,求 x 的取值范围21【答案】(1)证明见试题解析;(2)6;(3)1x136(2)连接 AD,由 PQAB 可得ADQ=DAB,再由点 D 在BAC 的平分线上,得到DAQ=DAB,故ADQ=DAQ,AQ=DQ在 RtCPQ 中根据勾股定理可知,AQ=124x,故可得出 x 的值,进而得出结论;(3)当点 E 在 AB 上时,根据等腰三角形的性质

26、求出 x 的值,再分 0 x98;98x3 两种情况进行分类讨论当 0 x98时,T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x,此时 0T272;当98x3 时,设 PE 交 AB 于点 G,DE 交 AB 于 F,作 GHFQ,垂足为H,HG=DF,FG=DH,RtPHGRtPDE,GHPGPHEDPEPD,PG=PB=93x,2293453GHxPHxxx,GH=45(93x),PH=35(93x),FG=DH=3x35(93x),T=PG+PD+DF+FG=(93x)+3x+45(93x)+3x35(93x)=125455x,此时,272T18当0 x3 时,T 随 x 的增大而增大,

27、T=12 时,即 12x=12,解得 x=1;TA=16 时,即125455x=16,解得 x=13612T16,x 的取值范围是 1x136考点:1几何变换综合题;2分类讨论;3相似三角形的判定与性质;4压轴题32(2015 钦州)如图,在平面直角坐标系中,以点 B(0,8)为端点的射线 BGx 轴,点 A 是射线 BG 上的一个动点(点 A 与点 B 不重合)在射线 AG 上取 AD=OB,作线段 AD 的垂直平分线,垂足为 E,且与 x 轴交于点 F,过点 A 作 ACOA,交射线 EF 于点 C连接 OC、CD,设点 A 的横坐标为 t(1)用含 t 的式子表示点 E 的坐标为_;(2

28、)当 t 为何值时,OCD=180?(3)当点 C 与点 F 不重合时,设OCF 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数解析式【答案】(1)E(4t,8);(2)4 54;(3)221316(016)41316 (16)4tttSttt 23试题解析:(1)AD=OB=8,AE=ED=4,点 A 的横坐标为 t,E(4t,8);(2)当OCD=180时,如图1,ECBO,EDDBECOB,488tEC,EC=328t,ACOA,1+2=90,2+3=90,1=3,AEC=ABO,AECOBA,AEOBECBA,48ECt,EC=12t,328t=12t,28800tt,解得:44 5t 或4

29、4 5t (舍去),t=4 54;24 当16t 时,如图 3,由(2)得:EC=12t,则 CF=182t,OF=BE=4t,OCF111(4)(8)222SSOF CFtt,即213164Stt;25考点:1相似三角形的判定与性质;2矩形的性质;3动点型;4分类讨论;5四边形综合题;6压轴题33(2015 玉林防城港)已知:一次函数210yx 的图象与反比例函数kyx(0k)的图象相交于 A,B 两点(A 在 B 的右侧)(1)当 A(4,2)时,求反比例函数的解析式及 B 点的坐标;(2)在(1)的条件下,反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P,使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角

30、形?若存在,求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由(3)当 A(a,2a+10),B(b,2b+10)时,直线 OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点 C,连接 BC 交 y 轴于点 D若52BCBD,求ABC 的面积【答案】(1)8yx,B(1,8);(2)(4,2)、(16,12);(3)10【解析】(3)过点 B 作 BSy 轴于 S,过点 C 作 CTy 轴于 T,连接 OB,如图 2,易证CTDBSD,根据相似三角形的性质可得32CTCDBSBD由 A(a,2a+10),B(b,2b+10),可得26C(a,2a10),CT=a,BS=b,即可得到23ba由 A、

31、B 都在反比例函数的图象上可得a(2a+10)=b(2b+10),把23ba代入即可求出 a 的值,从而得到点 A、B、C 的坐标,运用待定系数法求出直线 BC 的解析式,从而得到点 D 的坐标及 OD 的值,然后运用割补法可求出SCOB,再由 OA=OC 可得 SABC=2SCOB试题解析:(1)把 A(4,2)代入kyx,得 k=42=8,反比例函数的解析式为8yx,解方程组2108yxyx,得:81xy或42xy,点 B 的坐标为(1,8);(2)若BAP=90,过点 A 作 AHOE 于 H,设 AP 与 x 轴的交点为 M,如图 1,对于 y=2x+10,当y=0 时,2x+10=0

32、,解得 x=5,点 E(5,0),OE=5A(4,2),OH=4,AH=2,HE=54=1AHOE,AHM=AHE=90又BAP=90,AME+AEM=90,AME+MAH=90,MAH=AEM,AHMEHA,AHMHEHAH,212MH,MH=4,M(0,0),可设直线 AP 的解析式为ymx,则有42m,解得m=12,直线 AP 的解析式为12yx,解方程组128yxyx,得:42xy或42xy ,点 P 的坐标为(4,2)若ABP=90,同理可得:点 P 的坐标为(16,12)综上所述:符合条件的点 P 的坐标为(4,2)、(16,12);27 考点:1反比例函数综合题;2待定系数法求一

33、次函数解析式;3反比例函数与一次函数的交点问题;4相似三角形的判定与性质;5压轴题【2014 年题组】1(2014 年福建南平卷)如图,ABC 中,AD、BE 是两条中线,则 SEDC:SABC=()A1:2 B2:3 C1:3 D1:4【答案】D28考点:1相似三角形的判定与性质;2三角形中位线定理2(2014 年四川达州卷)如图,以点 O 为支点的杠杆,在 A 端用竖直向上的拉力将重为 G 的物体匀速拉起,当杠杆 OA 水平时,拉力为 F;当杠杆被拉至 OA1 时,拉力为 F1,过点 B1 作B1COA,过点 A1 作 A1DOA,垂足分别为点 C、DOB1COA1D;OAOC=OBOD;

34、OCG=ODF1;F=F1其中正确的说法有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】D【解析】试题分析:B1COA,A1DOA,B1CA1D,OB1COA1D,故正确;11OBOCODOA,由旋转的性质得,OB=OB1,OA=OA1,OAOC=OBOD,故正确;由杠杆平衡原理,OCG=ODF1,故正确;111FOBOCOBGODOAOA是定值,F1 的大小不变,F=F1,故正确综上所述,说法正确的是故选 D考点:相似三角形的应用3(2014 年四川雅安卷)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AD 上,且 AE:ED=3:1,CE 的延长线与BA 的延长线交于点 F,则 SAFE:S

35、 四边形 ABCE 为()29A3:4 B4:3 C7:9 D9:7【答案】D考点:1、平行四边形的性质;2、相似三角形的判定与性质4(2014 年浙江宁波卷)如图,梯形 ABCD 中 ADBC,B=ACD=90,AB=2,DC=3,则ABC与DCA 的面积比为()A2:3 B2:5 C4:9 D3:2【答案】C【解析】试题分析:ADBC,ACB=DAC,又B=ACD=90,ABCDCA,SABC:SDCA=AB2:CD2=22:32=4:9,故选 C考点:相似三角形的判定与性质5(2014 年湖北宜昌卷)如图,A,B 两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了 A、B 间的距离:先在 AB 外选

36、一点 C,然后测出 AC,BC 的中点 M,N,并测量出 MN 的长为 12m,由此他就知道了 A、B 间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是()AAB=24m BMNAB CCMNCAB DCM:MA=1:2【答案】D30考点:1三角形中位线定理;2相似三角形的应用6(2014 年广东深圳卷)如图,双曲线经过 RtBOC 斜边上的点 A,且满足,与 BC 交于点 D,SBOD=21,求 k=【答案】8【解析】试题分析:如答图,过 A 作 AHx 轴于点 HSOAH=SOCD,S 四边形 AHCB=SBOD=21AHBC,OAHOBC,解得 SOAH=4k=8考点:1反比例函数系数 k 的几

37、何意义;2相似三角形的判定和性质7(2014 年浙江绍兴卷)把标准纸一次又一次对开,可以得到均相似的“开纸”现在我们在长为、宽为 1 的矩形纸片中,画两个小矩形,使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸kyxAO2AB32OAHOAHIBCOAHAHCBSSAOSSSOB四边形AO2AB3AO2OB5OAHOAHS4S21252 231的边平行,或小矩形的边在原矩形的边上,且每个小矩形均与原矩形纸相似,然后将它们剪下,则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 【答案】考点:1实践操作和阅读理解型问题;2相似多边形的性质8(2014 年浙江湖州卷)如图,已知在 RtOAC 中,O 为坐标原点,直角顶

38、点 C 在 x 轴的正半轴上,反比例函数(k0)在第一象限的图象经过 OA 的中点 B,交 AC 于点 D,连接OD若OCDACO,则直线 OA 的解析式为 【答案】y=2x154 24kyx32考点:1反比例函数和一次函数交点问题;2待定系数法的应用;3曲线上点的坐标与方程的关系;4相似三角形的性质9(2014 年黑龙江哈尔滨卷)如图,在ABC 中,4AB=5AC,AD 为ABC 的角平分线,点 E 在 BC的延长线上,EFAD 于点 F,点 G 在 AF 上,FG=FD,连接 EG 交 AC 于点 H若点 H 是 AC 的中点,则的值为 【答案】3433由题意,易知EDG 为等腰三角形,且

39、1=2;MNAD,3=4=1=2,又DKM=3(对顶角)DMK=4,DMGN,四边形 DMNG 为平行四边形,MN=DG=2FD点 H 为 AC 中点,AC=4CM,32MHAHMNAD,MHAHMNAG,即322FDAG,34FDAG考点:1、相似三角形的判定与性质;2、全等三角形的判定与性质;3、等腰三角形的判定与性质;4、平行四边形的判定与性质10(2014 年广东卷)如图,在ABC 中,AB=AC,ADAB 点 D,BC=10cm,AD=8cm,点 P 从点 B 出发,在线段 BC 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动,与此同时,垂直于 AD 的直线 m 从底边BC 出发,以每秒

40、 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移,分别交 AB、AC、AD 于 E、F、H,当点 P 到达点 C 时,点 P 与直线 m 同时停止运动,设运动时间为 t 秒(t0)34(1)当t=2 时,连接 DE、DF,求证:四边形 AEDF 为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的PEF 的面积存在最大值,当PEF 的面积最大时,求线段BP 的长;(3)是否存在某一时刻 t,使PEF 为直角三角形?若存在,请求出此时刻 t 的值,若不存在,请说明理由【答案】(1)证明见解析;(2)BP=6cm;(3)当183280t或1740时,PEF 为直角三角形的面积存在最大值 10cm2,此时 BP=32=6

41、cm35考点:1菱形的判定;2相似三角形;3二次函数的性质;4分类讨论的数学思想考点归纳归纳 1:比例的基本性质、黄金分割基础知识归纳:1黄金分割:把一条线段(AB)分割成两条线段,使其中较长线段(AC)是原线段 AB 与较短线段(BC)的比例线段,就叫作把这条线段黄金分割即 ACAC=ABBC,AC=510.6182ABAB;一条线段的黄金分割点有两个2比例的基本性质及定理(1)acadbcbd(2)acabcdbdbd(3)(b dn0)acmacmabdnbdnb 36基本方法归纳:利用比例的基本性质变形是关键注意问题归纳:比例式与乘积式转化时要弄清内外项【例 1】若 4y-3x=0,则

42、xyy 【答案】73考点:比例的基本性质归纳 2:三角形相似的性质及判定基础知识归纳:1相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似;(2)两角对应相等,两三角形相似;(3)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(4)三边对应成比例,两三角形相似;(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似;(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似2相似三角形性质相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方 基本方法归纳:

43、关键是熟练掌握相似三角形的判定注意问题归纳:相似条件的寻找【例 2】已知:如图,四边形 ABCD 为平行四边形,以 CD 为直径作O,O 与边 BC 相交于点F,O 的切线 DE 与边 AB 相交于点 E,且 AE3EB(1)求证:ADECDF;(2)当 CFFB12 时,求O 与ABCD 的面积之比【答案】(1)证明见解析;(2):3337(2)解:CF:FB=1:2,设 CF=x,FB=2x,则 BC=3x,AE=3EB,设 EB=y,则 AE=3y,AB=4y,四边形 ABCD 是平行四边形,AD=BC=3x,AB=DC=4y,ADECDF,AECFADCB,334yxxy,x、y 均为

44、正数,x=2y,BC=6y,CF=2y,在 RtDFC 中,DFC=90,由勾股定理得:DF=2222(4y)(2y)2 3DyCFC,O 的面积为(12DC)2=14DC2=14(4y)2=4y2,四边形 ABCD 的面积为 BCDF=6y23y=123y2,O 与四边形 ABCD 的面积之比为 4y2:123y2=:33考点:相似三角形的判定与性质归纳 3:相似三角形综合问题基础知识归纳:相似三角形与几何图形的综合基本方法归纳:理清题意,合理推断,准确运算是关键注意问题归纳:审题不清、条件利用不全是常见错误【例 3】如图,已知 AB 是O 的直径,BC 是O 的弦,弦 EDAB 于点 F,

45、交 BC 于点 G,过点 C的直线与 ED 的延长线交于点 P,PCPG(1)求证:PC 是O 的切线;(2)当点 C 在劣弧 AD 上运动时,其他条件不变,若 BG2BFBO求证:点 G 是 BC 的中点(3)在满足(2)的条件下,AB=10,ED=46,求 BG 的长38【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2 5(2)证明:连 OG,如图,BG2=BFBO,即 BG:BO=BF:BG,而FBG=GBO,BGOBFG,OGB=BFG=90,即 OGBG,BG=CG,即点 G 是 BC 的中点;(3)解:连 OE,如图,EDAB,FE=FD,而 AB=10,ED=46,EF=26

46、,OE=5,在 RtOEF 中,OF=22225(2 6)1OEEF,BF=5-1=4,BG2=BFBO,BG2=BFBO=45,BG=25考点:相似三角形综合题归纳 4:相似多边形与位似图形基础知识归纳:1相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等,对应边成比例(2)相似多边形周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方392位似图形(1)概念:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫做位似图形这个点叫做位似中心(2)性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 基本方法归纳:掌握作图注意问题归纳:准确找出对应点的位置【例 4】如图,在边长为 1 个

47、单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出A1B1C1 和A2B2C2;(1)把ABC 先向右平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位,得到A1B1C1;(2)以图中的 O 为位似中心,将A1B1C1 作位似变换且放大到原的两倍,得到A2B2C2【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析(2)延长 OA1 到 A2,使 0A2=20A1,同法得到其余各点,顺次连接即可试题解析:考点:位似图形;作图1 年模拟1(2015 届广东省广州市中考模拟)如图,ABCDEF,相似比为 1:2若 BC=1,则 EF 的长是()40A1 B2 C3 D4【答案】B考点:相似三角形的性质2(2015 届广东省佛

48、山市初中毕业班综合测试)如图所示,在ABC 中,DEBC,若AD=1,DB=2,则DEBC的值为()A23 B14 C13 D12【答案】C【解析】试题分析:DEBC,ADEABC,11123DEADADBCABADDB故选 C考点:平行线分线段成比例3(2015 届山东省聊城市中考模拟)如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为 1m 的竹竿的影长是 0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为 1.2m,又测得地面的影长为 2.6m,请你帮她算一下,树高是()A3.25

49、m B4.25m C4.45m D4.75m【答案】C41考点:相似三角形的应用4(2015 届山东省聊城市中考模拟)如图,矩形 OABC 的顶点 O 是坐标原点,边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上若矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 关于点 O 位似,且矩形 OA1B1C1 的面积等于矩形 OABC 面积的14,则点 B1 的坐标是()A(3,2)B(-2,-3)C(2,3)或(-2,-3)D(3,2)或(-3,-2)【答案】D【解析】试题分析:若矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 关于点 O 位似,且矩形 OA1B1C1 的面积等于矩形OABC 面积的14,两矩形的相似

50、比为 1:2,B 点的坐标为(6,4),点 B1 的坐标是(3,2)或(-3,-2)故选 D考点:1位似变换;2坐标与图形性质5(2015 届安徽省安庆市中考二模)如图,平行四边形 ABCD 中,点 E 是边 AD 的一个三等分点,EC 交对角线 BD 于点 F,则 FC:EC 等于()A3:2 B3:4 C1:1 D1:2【答案】B42考点:1相似三角形的判定与性质;2平行四边形的性质6(2015 届山东省日照市中考模拟)如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC和 AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,BAC=AGF=90,它们的斜边长为 2,若ABC 固定不动,AFG 绕点 A