离散数学习题解答.pdf

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1、习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2）5是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x3 5答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与 3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以.答：

2、此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有 6 是偶数，3 才能是 2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被 3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以.（13）p:2008 年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5是有理数.答：否定式：5是无理数.p

3、：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为 1.（2）25不是无理数.答：否定式：25是有理数.p：25不是无理数.q：25是有理数.其否定式q的真值为 1.（3）2.5 是自然数.答：否定式：2.5 不是自然数.p：2.5 是自然数.q：2.5 不是自然数.其否定式q的真值为 1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数.p：ln1 是整数.q：ln1 不是整数.其否定式q的真值为 1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与 5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q，其真值为 1.（2）不但是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p：是无理

4、数，q：自然对数的底 e 是无理数，符号化为p q，其真值为 1.（3）虽然 2 是最小的素数，但 2 不是最小的自然数.答：p：2 是最小的素数，q：2 是最小的自然数，符号化为p q，其真值为 1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q，其真值为 0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为p q，其真值为 0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或 3 是偶数.（2）2 或 4 是偶数.（3）3 或 5 是偶数.（4）3 不是偶数或 4 不是偶数.（5）3 不是素数或 4 不是偶数.答:p：2 是偶数，q：3

5、是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数,t:5 是偶数(1)符号化:p q，其真值为 1.(2)符号化：p r，其真值为 1.(3)符号化：rt，其真值为 0.(4)符号化：q s，其真值为 1.(5)符号化：rs，其真值为 0.6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为:p q.（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语，符号化为:(pq)(pq).7.设p：王冬生于 1971 年，q：王冬生于 1972 年，说明命题“王冬生于 1971 年或 1972年”

6、既可以化答:列出两种符号化的真值表：p0011q010101100111根据真值表,可以判断出,只有当 p 与 q 同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p 与 q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要（2）如果（3）只有（4）除非（5）除非（6）答:设 p:（1）（2）（3）（4）（5）（6）9.设 p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（1）（2）（3）；10001,就有,则,才有,才有,否则仅当,则:.;设 q:,则:.真值1；符号化（4）（5）（6）（7）；.答:根据

7、题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）自然语言只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球真值101110110设 p：9 是 3 的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（1）（2）（3）（4）；.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）（2）（3）（4）自然语言9 是 3 的倍数当且仅当英语

8、与土耳其相邻9 是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻9 不是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其相邻9 不是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻真值011011将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若 2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若 2+2=4,则地球是运动不止的；（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则答:命题 1命题 2符号化真值是无理数.（1）（2）（3）（4）p:2+2=4p:2+2=4p:地球上有树木p:地球上有树木q:地球是静止不动的q:地球是静止不动的q:人类能生存q:人类能生存011112.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2

9、+2=4 当且仅当 3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是 3+36；（3）2+24 与 3+3=6 互为充要条件；（4）若 2+24,则 3+36,反之亦然.答:设 p:2+2=4,q:3+3=6.(1)(2)(3)(4)13.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设 p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.(1)(2)(3)(4)若 p 为真,则真值为 0;若 p 为假,则真值为 1必然为 1不会出现前句为真,后句

10、为假的情况符号化真值讨论不会出现前句为真,后句为假的情况100符号化真值114.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与 4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(

11、10)(11)(12)(13)命题 1p:刘晓月跑得快p:老王是山东人p:天气冷p:王欢与李乐组成一个小组p:李辛与李末是兄弟p:王强学过法语p:他吃饭p:天下大雨p:天下大雨p:天下大雨p:下雪p:2 是素数p:2 是素数命题 2q:刘晓月跳得高q:老王是河北人q:我穿羽绒服-q:刘威学过法语q:他听音乐q:他乘车上班q:他乘车上班q:他乘车上班q:路滑q:4 是素数q:4 是素数命题 3-r:他迟到了-p:王欢与李乐组成一个小组p:李辛与李末是兄弟符号化15.设 p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p 真值为 1，q 真

12、值为 1，r 真值为 0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当 p,q 的真值为 0,r,s 的真值为 1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“是无理数.并且,如果 3 是无理数,则外,只有 6 能被 2 整除,6 才能被 4 整除.”解：p:是无理数 q:3 是无理数 r:是无理数 s:6 能被 2 整除 t：6 能被 4 整除也是无理数.另符号化为:，该式为重言式，所以论述为真。18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞

13、是不正确的.”解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。真值为 1.真值为 0.可得，p 真值为 1，q 真值为 0.所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。19.用真值表判断下列公式的类型:（1）（2）p（3）（4）（5）（6）（7）解：（1）p00001111此式为重言式（2）p0011此式为可满足式（3）q0011此式为矛盾式.q00110011r0101010111111111q0101（p1011r01010000（4）p0011此式为重言式（5）p00001111此式为可满足式（6）p00001111此式为重言式（7）p00000q00001r00110s0101010011q00110011r

14、0101010111111111q00110011r0101010100111010q010111110001111111111100001111011001100111010101010100100111001此式为可满足式20.求下列公式的成真赋值：（1）（2）（3）（4）解：p0011q01010111101111100111由真值表得：（1）的成真赋值是 01，10,11（2）的成真赋值是 00，10,11（3）的成真赋值是 00，01,10（4）的成真赋值是01，10,1121.求下列各公式的成假赋值：（1）（2）（3）解：p00q00r01111111001111110011010

15、101101111011101110011由真值表得：（1）的成假赋值是 011（2）的成假赋值是 010,110（3）的成假赋值是 100,10122.已知公式解：是矛盾式，求公式是矛盾式 成真和成假赋值.也是矛盾式。由此可得：该式无成真赋值。而成假赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11123.已知公式解：是重言式,求公式是重言式，的成真和成假赋值.也是重言式。由此可得：该式无成假赋值。而成真赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11124.已 知的类型.解：是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有是 重 言 式，试 判 断 公 式

16、及11，都是重言式。25.已知的类型.解：是矛盾式，试判断公式及是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值只有 00，26.已 知是 重 言 式，及都是重言式。是 矛 盾 式，试 判 断的类型.解：是矛盾式。是重言式。27.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,pn的公式,证明:重言式.解：A0011B是重言式当且仅当 A 和 B 都是01010001是重言式。由真值表可得，当且仅当A 和 B 都是重言式时，28.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,pn的公式,已知矛盾式的结论吗?为什么?解：A0011同样由真值表可得，29.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,pn的公式,证明:

17、是矛盾式.解：A0011BB是矛盾式,能得出 A 和 B 都是01010001的成假赋值有 00,01,10.所以无法得到 A 和 B 都是矛盾式。是矛盾式当且仅当 A 和 B 都01010111是矛盾式。由真值表可得，当且仅当A 和 B 都是矛盾式时，30.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,pn的公式,已知重言式的结论吗?解：A0011由真值表可得B01010111是重言式,能得出 A 和 B 都是的成真赋值有 01,10，11.所以无法得到 A 和 B 都是重言式。习 题 二1.设公式A p q,B p q，用真值表验证公式A和B适合德摩根律：(A B)ABpq0 00 11 01

18、 1A 1 1 01B 0 0 1 0(A B)1 0 0 0AB 1 00 02.公式A和B同题（1），用真值表验证公式A和B适合蕴涵等值式.A B A BpqA BBA0 00 11 01 1 1 1 01 0 0 1 0 0 0 1 0A B 0 01 03用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.（1）(p q q)答：原式=(p q)q)=(p q q)=0是矛盾式.4.用等值演算法证明下面等值式.（1）p （pq）（pq）答：右式=p=p 1=p（qq）（2）(p q)(p r)(p (qr)答：右式=p(qr)=(p q)(p r)=(p

19、q)(p r)=左式（3）(p q)(p q)(pq)答：左式=(p q)(pq)=(p(pq)(q(pq)=(pq)(pq)（4）(pq)(pq)(pq)(pq)答：左式=(p(pq)(q(pq)=(pq)(pq)5.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1）(p q)(q p)答：(p q)(q p)(pq)(q p)(pq)(q p)(pq)(q(pp)(p(qq)(pq)(pp)(pq)m0m2m3成真赋值为 00,10,11.（2）(p q)qr答：(p q)qr (p q)qr pqq 0所以为矛盾式。（3）(p(qr)(p q r)答(p(qr)(pqr)(p(qr)(pqr)

20、(p(qr)(pqr)(p(qr)(pqr)(pq)(pr)(pqr)(pq(rr)(p(qq)r)(p(qq)(r r)(pp)q(r r)(pp)(qq)r)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m0m1m2m3m4m5m6m7所以是重言式，真值为 000,001,010,011,100,101,110,111.6.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1）(q p)p答：(q p)p (qp)p q pp 0，是矛盾式，所有赋值均为成真赋值。（2）(pq)(p r)答：(pq)(pr)(ppr)(qpr)(pqr)M4，成假赋值为 100.（3

21、）(p (p q)r答：(p (p q)r (p(p q)r (p p q r 1，所以为重言式。所有赋值均为成真赋值。7.求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）(pq)r答：(p q)r (p q(r r)(p p)(qq)r)(p q(r r)(pp)(qq)r)(p qr)(p qr)(pqr)(pqr)(pqr)m1m3m5m6m7 M0 M2 M4（2）(p q)(q r)答：(p q)(q r)(pq)(qr)(pq)(pr)(qq)(qr)(pq(rr)(p(qq)r)(pp)qr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m0m1m3m7 M2 M4 M5 M

22、68.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式：（1）(pq)q答：(pq)q (pq)q pqq 1 m0m1m2m3为重言式。（2）(p q)r答：(p q)r (p q)(p q)r (p q)(p q)r(pq)(pq)r (pqr)(pqr)M0 M6 m1m2m3m4m5m7（3）(r p)p q答：(r p)p q r p p q M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 0因此为矛盾式.9.用真值表求下面的公式的主析取范式.（1）(p q)(p r)答：公式的真值表如下：pq0000111100110011r01010101p11110000pq00111111

23、pr01010000(p q)(pr)01111111其成真赋值为 001,010,011,100,101,110,111，所以其主析取范式为m1m2m3m4m5m6m7（2）(p q)(p q)答：公式的真值表如下：qqp001p q1p q0(p q)(p q)0011101010101110110(p q)(p q)(p q)(pq)(p q)(p q)(p q)故其成真赋值为 001，010.所以其主析取范式为m1m2.10.用真值表求下面公式的主合取范式.（1）(p q)r答：(p q)r (p r)(qr)M0M2M4（2）(p q)(q r)答：(p q)(q r)(p q)(q

24、 r)M2M4M5M611.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式.（1）(p q)r（2）p (p q r)（3）(q p)ppqr000001010011100101110111(p q)r00010101p (p q r)(q p)p1111111100000000答：（1）由真值表可得成真赋值为 011,101,111，故主析取范式为m3m5m7，主合取范式为M0M1M2M4M6（2）由真值表可得无成假赋值，故主析取范式为m0m1m2m3m4m5m6m7，主合取范式为 1.（3）由真值表可得无成真赋值，故主析取范式为0，主合取范式为M0M1M2M3.12.已知公式A含 3 个命题变

25、项p,q,r，并且它的成真赋值为 000，011，110，求A的主合取范式和主析取范式.答：由题意得，A的主主合取范式为M1 M2 M4 M5M7，主析取范式m0m3m6.13.已知公式A含 3 个命题变项p,q,r，并且它的成真赋值为000，011，110，求A的主合取范式和主析取范式.答：由题意得，A的主主合取范式为M2M3M6M7，主析取范式m0m1m5m7.14.已知公式A含n个命题变相p1,p2,.,pn，并且无成假赋值，求A的主合取范式.答：A的主合取范式为 1.15.用主析取范式判断下列公式是否等值：（1）(p q)r与q (p r)答：(p q)r (pq)r m1m3m4m5

26、m7q (p r)pq r m0m1m2m3m4m5m7所以上述公式不等值.（2）(p q)与(p q)答：(pq)pq m0m1m2(pq)pq m016.用主合取范式判断下列公式是否等值.（1）p (q r)与(pq)r答：p(q r)M6(pq)r=M6（2）p (q r)与(p q)r答：p(q r)M6(p q)r=M0M2M617.将下列公式化成与之等值且仅含,中联结词的公式：（1）(p (q (qr)答：(p (q (qr)(p(q (qr)p(qr)p(q(qr)(q(qr)（2）(pq)r答：(pq)r，原式已满足题目要求.（3）p (q r)答：p (q r)(p (q r

27、)(r)p)(p(q r)(qr)(q r)(qr)p)18.将下列公式化成与之等值且仅含,中联结词的公式：（1）p q r答：此公式已经符合题目要求.（2）(p r)q答：(p r)q (p r)(r p)q(pr)(r p)q(pr)(r p)q（3）(p (qr)q答：(p (qr)q (p(qr)p(p(qr)p(p(qr)p)19.将下列公式化成与之等值且仅含,中联结词的公式.（1）(pq)r答：(pq)r (pq)r)（2）(p (qp)qr答：(p (qp)qr (p(q p)qr)（3）p q r答：pqr (pq r)20将下列公式化成与之等值且仅含，中联结词的公式：（1）(

28、pq)r（2）(p q)r（3）(pq)r答：(pq)r (pq)r (p q)r (p q)r(2)(p q)r答：(p q)r (p q)r)(p q)r)(3)(p q)r答：(p q)r (pq)r)(r (pq)(pq)r)(r (pq)(p q)r)(r (p q)21证明：（1）(p q)(q p)，(p q)(q p).（2）(p (q r)(p q)r)，(p (q r)(p q)r).证明：(1)p q (pq)(q p)q p；p q (pq)(q p)q p(2)令p 0,q 0,r 1则p (q r)1,(p q)r 0，p (q r)1,(p q)r 0.，可知(p

29、 (q r)(p q)r)，(p(q r)(p q)r).22.从表 2.6 中，找出与下列公式等值的真值函数：（1）p q（2）p q（3）(pq)(pq)（4）(p q)(2)(2)(2)(2)答：(1)F14;(2)F8;(3)F6;(4)F223设 A、B、C 为任意的命题公式，证明：（1）等值关系有自反性：A A（2）等值关系有对称性：若A B,则B A（3）等值关系有传递性：若A B且B C，则A C答：(1)A A (A A)(A A)A A A A 1(2)B A (B A)(A B)(A B)(B A)A B(3)若A B且B C (A B)(B A)(B C)(C B)(A

30、 B)(B C)(C B)(B A)(AC)(C A)A C即A C24设 A、B 为任意的命题公式，证明：A B当且仅当A B答：A B (AB)(BA)(A B)(B A)A B.因此A B当且仅当A B。25设A、B、C 为任意的命题公式，（1）若AC BC，举例说明A B不一定成立。（2）若AC B C，举例说明A B不一定成立。由（1）、（2）可知，联结词与不满足消去率。答：(1)设A p1,B q0,C r 1，则AC 1 BC 1，但A 1,B 0，二者不等价。（2）设A p1,B q0,C r 0，则AC 0 B C 0，但A 1,B 0，二者不等价。26在上题（25）中，若已

31、知AC BC，在什么条件下，A B一定成立？又若已知AC B C，在什么条件下，A B一定成立？解：若C 0;则AC BC，A B一定成立。若C 1；则AC B C，A B一定成立。27某电路中有一个灯泡和三个开关A、B、C。已知在且仅在下述四种情况下灯亮：（1）C 的扳键向上，A、B 的扳键向下。（2）A 的扳键向上，B、C 的扳键向下。（3）B、C的扳键向上，A 的扳键向下。（4）A、B 的扳键向上，C 的扳键向下。设 F 为 1 表示灯亮，p、q、r 分别表示 A、B、C 的扳键向上。（a）求 F 的主析取范式。（b）在联结词完备集，上构造 F。（c）在联结词完备集，上构造 F。答：（a

32、）由题意知，灯亮的情况如下：F (p q r)(p qr)(p q r)(p q r)m1m3m4m6（b）F (p q r)(p qr)(p q r)(p q r)(p r)(p r)（c）F p q r28.一个排队线路，输入为A、B、C，其输出分别为FA、FB、FC.本线路中，在同一时间只能有一个信号通过，若同时有两个或两个以上信号申请输出时，则按A、B、C 的顺序输出，写出FA、FB、FC在联结词完备集，中的表达式.答：p：A输入，q：B输入，r：C输入.有题意可得：FA(p qr)(p qr)(p qr)(p qr)(p q)(p q)pFB(p qr)(pqr)pqFC pqr29

33、.在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生3 位同学被选进了班委会.该班的甲、乙、丙三名学生预言：甲说：王小红为班长，李强为生活委员.乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员.丙说：李强为班长，王小红为学习委员.班委会分工名单公布后发现，甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半.问王小红、李强、丁金生各任何职（用等值等演求解）？答：设p：王小红为班长，q：李强为生活委员r：丁金生为班长，s：王小红为生活委员t：李强为班长，w：王小红为学习委员由题意得，p、q有且只有一个为真，r、s有且只有一个为真，t、w有且只有一个为真.若p为真，则q为假，那么r为假，则s为真，这样p与s矛盾，因此这种假设行不通.

34、若p为假，则q为真，那么t为假，则w为真，则s为假，所以r为真，因此王小红、李强、丁金生的职位分别是：学习委员、生活委员、班长.30.某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习.选派必须满足以下条件：（1）若赵去，钱也去.（2）李、周两人中必有一人去.（3）钱、孙两人中去且仅去一人.（4）孙、李两人同去或同不去.（5）若周去，则赵、钱也同去.用等值演算法分析该公司如何选派他们出国？答：设p：派赵去，q：派钱去，r：派李去，s：派孙去，t：派周去首先以条件（2）为基础，有三种情况：若周去，李不去，由条件（5）得则赵、钱同去，由条件（3）得那么孙不去，符合5 个条件，即p

35、q r s t.若李去，周不去，由条件（4）得则孙去，从而由条件（3）得钱不去，而由条件（1）得赵也不去，即p q r s t.若周、李都去，那么由条件（4）得则孙去，由条件（5）得赵、钱都去，这样孙和钱都去，与条件（3）矛盾，因此这种情况不存在.习题三1.从日常生活或数学中的各种推理中，构造两个满足附加律的推理定律，并将它们符号化。例如：“若 2 是偶数，则2 是偶数或 3 是奇数”。令 p:2 是偶数，q:3 是奇数，则该附加律符号为p p q。解：（1）“若 3 是素数，则3 是素数或 5 是奇数”。令 p：3 是素数，q：5 是奇数，则该附加律符号化为p p q（2）“若明天不下雨，则

36、明天不下雨或明天下雪”。令 p：明天下雨，q：明天下雪，则该附加律符号化为p p q。2.从日常生活或数学的各种推理中，构造两个满足化简律的推理定律，并将它们符号化。例如：“我去过海南岛和新疆，所以我去过海南岛”。令p：我去过海南岛，q:我去过新疆，则该化简律符号化为p q p。解：（1）“6 能被 2 和 3 整除，所以6 能被 2 整除”。令p：6 能被 2 整除，p：6 能被 2 整除，q：6 能被 3 整除，则该化简律符号化为p q p。（2）“小明会弹琴和跳舞，所以小明会弹琴”。令 p：小明会弹琴，q：小明会跳舞，则该化简律符号化为p q p。3.随意构造三个满足假言推理定律的推理，

37、并将它们符号化。例如：“如果 2 是素数，则雪是黑色的，2 是素数，所以雪是黑色的”。令 p:2 是素数，q：雪是黑色的，该假言推理定律符号化为(p q)p q。解：（1）“如果小明会跳舞，则他会弹琴，小明会跳舞，所以他会弹琴”。令 p：小明会弹琴，q：小明会跳舞，该假言推理定律符号化为(p q)p q。（2）“如果 3 是奇数，则明天下雨，3 是奇数，所以明天下雨”。令 p：3 是奇数，q：明天下雨，该假言推理定律符号化为(p q)p q。（3）“如果明天晴天，则小明去游泳，明天晴天，所以小明去游泳”。令 p：明天晴天，q：小明去游泳，该假言推理定律符号化为(p q)p q。4.参照 1,2

38、,3 题，请构造满足拒取式、析取三段论、假言三段论、等价三段论、构造性二难等推理定律的实例各一个，并将它们符号化。解：（1）拒取式：“明天是周末，小明就休息，小明没有休息，所以明天不是周末”。令 p：明天周末，q：小明休息。该拒取式定律符号化为p qq p。（2）析取三段论：“小明会弹琴或跳舞，小明不会跳舞，所以小明会弹琴”。令 p：小明会弹琴，q：小明会跳舞，该析取三段式定律符号化为p qq p。（3）假言三段论：“明天要是周末，小明明天休息，小明要是明天休息，他就会去游泳，所以，明天要是周末，小明就去游泳”。令 p：明天是周末，q：小明明天休息，t：小明去游泳，该假言三段论定律符号化为p

39、qq t p t。（4）等价三段论：“2 是素数当且仅当 3 是奇数，3 是奇数当且仅当 4 是偶数，所以 2是素数当且仅当 4 是偶数”。令 p：2 是素数，q：3 是奇数，t：4 是偶数，该等价三段论定律符号化为p qq t p t。（5）构造性二难：“明天是周一，小明就要上学，明天是周末，小明就要去游泳，明天是周末或者周一，所以小明去上学或者去游泳”。令 p：明天是周一，q 小明要上学，s：明天 是 周 末，t：小 明 要 去 游 泳，该 构 造 性 二 难 定 律 符 号 化 为p qs tp sq t。（6）破坏性二难：“明天是周一，小明就要上学，明天是周末，小明就要去游泳，小明没有

40、去上学或者小明没有去游泳，所以明天不是周一或者明天不是周末”。令 p：明天是周一，q 小明要上学，s：明天是周末，t：小明要去游泳，该构造性二难定律符号化为p qs tq tp s。5.分别写出德摩定律、吸收律所产生的推理定律（每个等值式产生两条推理定律）。解：的摩定律 1：A B AB产生的推理定律：（1）A B AB（2）AB A B的摩定律 2：A B A B产生的推理定律：（1）A B A B（2）A B A B吸收律 1：AA B A产生的推理定律：（1）AA B A（2）A AA B吸收律 2：AA B A产生的推理定律：（1）AA B A（2）A AA B6.判断下列推理是否正确

41、。先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：（1）若今天是星期一，则明天是星期三。今天是星期一，所以明天是星期三。（2）若今天是星期一，则明天是星期二。明天是星期二，所以今天是星期一。（3）若今天是星期一，则明天是星期三。明天不是星期三，所以今天不是星期一。（4）若今天是星期一，则明天是星期二。今天不是星期一，所以明天不是星期二。（5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三。今天不是星期一，所以明天不是星期三。解：（1）设 p：今天是星期一，q：明天是星期三，推理的形式结构为p q p

42、q，判断该推理是否正确，即判断p q p q是否为重言式，不难看出，该式满足假言推理定律，所以推理正确。（2）设 p：今天是星期一，q：明天是星期二，推理的形式结构为p q q p。等值演算法：p q q pp q q p q p p q，可见该式不是重言式，所以推理不正确。p q q pp q q p主析取范式法：q p，从而可知不是重言式，故推理不正确。p q M1 m0 m2 m3（3）设 p：今天是星期一，q：明天是星期三，推理的形式结构为p qq p，判断该推理是否正确，即判断p qq p是否为重言式，不难看出，该式满足拒取式定律，所以推理正确。（4）设 p：今天是星期一，q：明天是

43、星期二，推理的形式结构为p qp q。p qp qp qp q等值演算法：(p pq p)q，可见该式不是重言式，所以推理不 p q p q正确。主析取范式法：p qp qp qp q(p pq p)q p q p q M1 m0 m2 m3，从而可知不是重言式，故推理不正确。（5）设 p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。推理的形式结构为p q r。p (q r)p q r M4 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7，由此可知p (q s)不为重言式，故推理不正确。显然该式不是重言式，所以推理不正确。（6）设 p：今天是星期一，r：明天是星期三，推理的形式结构为(p

44、 r)p r。(p r)p r(p r)(r p)p)r(pr)(r p)pr(pr)(pr)pr p(pr)r p m4m5m6m77.在下面各推理中没给出结论。请对于每个推理前提给出两个结论，使其中之一是有效的，而另一个不是有效的：（1）前提：p q，q r（2）前提：(pq)r，r，q（3）前提：p (q r)，p，q解：（1）结论 1：p r为有效的（假言三段论）结论 2：p为无效的。（2）结论 1：p q是有效的（拒取式）结论 2：p是无效的，由此可知不为重言式，故推理不正确。（3）结论 1：(q r)是有效的（假言三段论）结论 2：r 是无效的8.在下面各推理中没给出结论，请对于每

45、个推理前提给出两个结论，使其中之一是有效的，而另一个不是有效的。（1）只有天气热，我才去游泳。我正在游泳，所以（2）只有天气热，我就去游泳。我没去游泳，所以（3）除非天气热并且我有时间，我才去游泳。天气不热或我没时间，所以解：（1）设 p：天气热，q：我去游泳前提：q p,q结论 1：p，有效结论（假言推理）结论 2：p，无效结论（2）设 p：天气热，q：我去游泳。前提：p q,q结论 1：p，有效结论（拒取式）结论 2：p，无效结论（3）设 p：天气热，q：我有时间，r：我去游泳。前提：r p q,p q结论 1：r，有效结论（拒取式）结论 2：r，无效结论。9.用三种方法（真值表法，等值演

46、算法，主析取范式法）证明下面推理是正确的：若 a 是奇数，则a 不能被 2 整除。若a 是偶数，则a 能被 2 整除。因此，如果a 是偶数，则a 不是奇数。解：设 p：a 是奇数，q：a 能被 2 整除，r：a 是偶数。推理的形式结构为p qr qr p（*）。下面用三种方法证明该式为重言式：（1）真值表法：p q r0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1(p q)(r q)01000111(r p)111110 10*11111111由真值表可知（*）为重言式，故推理是正确的。（2）等值演算法：p qr qr pp qr qr pp qq r p r

47、p q pq r r(交换律，结合律)p qq r p q q r1（3）构造证明法：前提：p q,r q结论：r p证明：p q前提引入q p置换r q前提引入r p假言三段论主析取范式法由方法 2 可以得知推理的形式结构（*）的主析取范式为(*)m0m1 m2 m3 m4m5m6m7，则（*）为重言式，推理正确。10.用两种方法（真值表法，主析取范式法）证明下面推理不正确：如果 a,b 两数之积是负数，则 a,b 之中恰有一个是负数。a,b 两数之积不是负数，所以a,b中无负数。真值表法：(q r)(q r)p (q r)(q r)qrp q rA0 0 00 0 10 1 00 1 11

48、 0 01 0 11 1 01 1 101100110111101101000100010001111推理不正确主析取范式法：(p (qr)(qr)(qr)p)(qr)(p(qr)(qr)p (qr)p (qr)p(qr)m0 m4 m5 m6 m7由于主析取范式只含有 5 个极小项，所以（3.8）不是重言式，推理不正确。11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。前提：pq，qr，r s，p结论：s证明:p前提引入pq前提引入q析取三段论qr前提引入r析取三段论r s前提引入s假言推理12.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。前提：p (q r)，q (r s)结论：(p q)s证明：pq

49、附加前提引入p化简规则q化简规则p (q r)前提引入q r前提引入r假言推理q (r s)前提引入r s假言推理s假言推理13.前提：(p q)q，pq，r s结论 1：r结论 2：s结论 3：rs（1）证明从此前提出发，推出结论1，结论 2，结论 3 的推理都是正确的。（2）证明从此前提出发，推任何结论的推理都是正确的。（1）证明：结论 1：(p q)q)(pq)(r s)rpqqpqr s r 0pqr s r 0 r1结论 2：(p q)q)(pq)(r s)spqqpqr s s 0pqr s s 0 s1结论 3：(p q)q)(pq)(r s)r spqqpqr s r s 0p

50、qr s r s 0 r s1（2）证明：设任何可能的结论为*,则：(p q)q)(pq)(r s)*pqqpqr s*0pqr s*0*114.在自然系统 p 中构造下面推理的证明：（1）前提：p (q r)，p，q结论：rs（2）前提：p q，(q r)，r结论：p（3）前提：p q结论：p (p q)（4）前提：p q，q s，st，tr结论：pq（5）前提：p r，q s，st tr结论：rs（6）前提：pr，qs pq结论：t (r s)（1）证明（1）p (q r)（2）p（3）q r（4）q（5）r（6）rs（2）证明(q r)（1）（2）qr（3）r（4）q（5）p q（6）p