空间曲线的切线与空间曲面的切平面.pdf

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1、第六节第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面x x(t)设空间的曲线 C 由参数方程的形式给出：y y(t)，t(,)z z(t)设t0,t1(,)，A(x(t0),y(t0),z(t0)、B(x(t1),y(t1),z(t1)为曲线上两点，A，B的连线AB称为曲线C的割线，当B A时，假设AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点A的切线如果x x(t)，y y(t)，z z(t)对于t的导数都连续且不全为零即空间的曲线C 为光滑曲线，则曲线在点A切线是存在的因为割线的方程为x x(t0)y y(t0)z z

2、(t0)x(t1)x(t0)y(t1)y(t0)z(t1)z(t0)也可以写为x x(t0)y y(t0)z z(t0)x(t1)x(t0)y(t1)y(t0)z(t1)z(t0)t t0t t0t t0当B A时，t t0，割线的方向向量的极限为x(t0),y(t0),z(t0)，此即为切线的方向向量，所以切线方程为x x(t0)y y(t0)z z(t0)x(t0)y(t0)z(t0)过 点A(x(t0),y(t0),z(t0)且 与 切 线 垂 直 的 平 面 称 为 空 间 的 曲 线C在 点A(x(t0),y(t0),z(t0)的法平面，法平面方程为x(t0)(x x0)y(t0)(

3、y y0)z(t0)(z z0)0如果空间的曲线 C 由方程为y y(x),z z(x)且y(x0),z(x0)存在，则曲线在点A(x0,y(x0),z(x0)的切线是x x0y y(x0)z z(x0)1y(x0)z(x0)法平面方程为(x x0)y(x0)(y y(x0)z(x0)(z z(x0)0如果空间的曲线 C 表示为空间两曲面的交，由方程组F(x,y,z)0，c:G(x,y,z)0确定时，假设在A(x0,y0,z0)有J(F,G)(y,z)0，在A(x0,y0,z0)某邻域内满足隐函数A组存在定理条件，则由方程组F(x,y,z)0，在点A(x0,y0,z0)附近能确定隐函数G(x,

4、y,z)0y y(x),z z(x)有y0 y(x0),z0 z(x0)dy1(F,G)dz1(F,G)。于是空间的曲线 C 在,，dxJ(x,z)dxJ(y,x)点A(x0,y0,z0)的切线是x x0y y0z z0dydz1dxAdxA即x x0(F,G)(y,z)法平面方程为Ay y0(F,G)(z,x)Az z0(F,G)(x,y)A(F,G)(F,G)(F,G)(x x0)(y y0)(z z0)0(y,z)A(z,x)A(x,y)A类似地，如果在点A(x0,y0,z0)有程和法平面方程有相同形式。所以，当向量(F,G)(x,y)0或A(F,G)(z,x)0时，我们得到的切线方A(

5、F,G)(F,G)(F,G)r,0(y,z)A(z,x)A(x,y)A时，空间的曲线 C 在A(x0,y0,z0)的切线的方向向量为r例例 6.326.32 求曲线x acos,y asin,z b在点 a,0,b处的切线方程解解 当时，曲线过点 a,0,b，曲线在此点的切线方向向量为 asin,acos,b|0,a,b，所以曲线的切线方程为x x(t0)y y(t0)z z(t0)0abx ayz bab即0二、空间曲面的切平面与法线二、空间曲面的切平面与法线设曲面S的一般方程为F(x,y,z)0取P0(x0,y0,z0)为曲面S上一点，设F(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)的某邻域内

6、具有连续偏导数，且Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)0。设c为曲面S上过222P0(x0,y0,z0)的任意一条光滑曲线：x x(t)c:y y(t)z z(t)设x0 x(t0),y0 y(t0),z0 z(t0)，我们有F(x(t),y(t),z(t)0上式对t在t t0求导得到Fx(x0,y0,z0)x(t0)Fy(x0,y0,z0)y(t0)Fz(x0,y0,z0)z(t0)0因此，曲面S上过P0(x0,y0,z0)的任意一条光滑曲线c在P0(x0,y0,z0)点的切线都和向量n Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0

7、,z0)垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面就称为曲面S在P0(x0,y0,z0)的切平面，向量n称为法向量。S在P0(x0,y0,z0)的切平面方程是Fx(x0,y0,z0)(x x0)Fy(x0,y0,z0)(y y0)Fz(x0,y0,z0)(z z0)0过点P0(x0,y0,z0)且与切平面垂直的直线称为曲面S在P0(x0,y0,z0)点法线，它的方程为(x x0)(y y0)(z z0)Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)设曲面S的方程为F(x,y,z)0假设F(x,y,z)在S有连续偏导数且Fx2(x0,y0,z0)Fy2(x0,y0,z

8、0)Fz2(x0,y0,z0)0，则称S是光滑曲面。由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线。假设曲面S的方程的表示形式为z f(x,y)，这时，容易得到S在P0(x0,y0,z0)的切平面方程为fx(x0,y0)(x x0)fy(x0,y0)(y y0)(z z0)0法线方程为(x x0)(y y0)(z z0)1fx(x0,y0)fy(x0,y0)我们知道，函数z f(x,y)在点(x0,y0)可微，则由 Taylor 公式知f(x,y)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x x0)fy(x0,y0)(y y0)0(x x0)2(y y0)2)也就是说，函数z f(x,y)在点(x0,y0

9、)附近可以用S在P0(x0,y0,z0)的切平面近似代替，误差为(x x0)2(y y0)2的高阶无穷小。假设曲面S的方程表示为参数形式x x(u,v)S:y y(u,v)z z(u,v)设x0 x(u0,v0),y0 y(u0,v0),z0 z(u0,v0)，P0(x0,y0,z0)为曲面上一点。假设在P0(x0,y0,z0)有J(x,y)(u,v)0，在P0(x0,y0,z0)某邻域内满足隐函数组存在定理条P0件，则由方程组x x(u,v)，在点P0(x0,y0,z0)附近能确定隐函数即x和y的逆映射y y(u,v)u u(x,y),v v(x,y)满足u0 u(x0,y0),v0 v(x

10、0,y0)。于是，曲面S可以表示为z f(x,y)z(u(x,y),v(x,y)由方程组x x(u,v)，两边分别同时对x,y求偏导得到y y(u,v)yuv,x(x,y)(u,v)xu v(x,y)y(u,v)故yv u(x,y)x(u,v)xvuy(x,y)(u,v)(y,z)fx zuux zvvx(u,v)(z,x)fy zuuy zvvy(u,v)(x,y)(u,v)(x,y)(u,v),所以，S在P0(x0,y0,z0)的切平面方程为(y,z)(z,x)(x,y)(x x0)(y y0)(z z0)0(u,v)(u0,v0)(u,v)(u0,v0)(u,v)(u0,v0)法线方程为

11、x x0(y,z)(u,v)(u0,v0)例例 6.336.33 求曲面z y lny y0(z,x)(u,v)(u0,v0)z z0(x,y)(u,v)(u0,v0)x在点(1,1,1)的切平面和法线方程。zx解解曲面方程为F(x,y,z)y ln z 0，易得n 1,1,2z切面方程为(x 1)(y 1)2(z 1)0即x y 2z 0.法线方程为x 1y 1z 11121求曲线x acosacost,y asin acost,z asint在点t t0处的切线和法平面方程x2 y2 z2 62求曲线在点(1,2,1)处的切线和法平面方程x y z 03求曲面z arctany在点(1,1

12、,/4)的切平面和法线方程。x34。证明曲面xyz a(a 0)上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。5证明曲面z xf()上任意一点的切平面过一定点。yx第七节第七节 极值和最值问题极值和最值问题一、无条件极值一、无条件极值与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。n定义定义 6.36.3n元函数f(x1,x2,xn)在点P0(x1,x2,xn)的一个邻域U(P0)R内000有定义。假设对任何点P(x1,x2,xn)U(P0)，有f(P0)f(P)或f(P0)f(P)000则 称n元 函 数f(x1,x2,xn)在P0(x1,x2,xn)取 得 极 大 或 极 小 值，

13、00P0(x10,x2,xn)称为函数f(x1,x2,xn)的极大或极小值点。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得n元函数f(x1,x2,xn)的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们有如下定理。000定定 理理6.286.28 假 设P0(x1,x2,xn)为n元 函 数f(x1,x2,xn)的 极 值 点，且0000,xn)的一阶偏导数存在，则P0(x10,x2,xn)为n元函数f(x1,x2,xn)在P0(x10,x2f(x1,x2,xn)的驻点。00证证 考虑一元函数(xi)f(x1,xi,xn)(i 1,2n)，则xi是(xi)的极值点，

14、Fermat 马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是0(xi)fx(x10,xi,xn)0i和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极值点。判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。定理定理 6.296.29 假设P0(x0,y0)为二元函数f(x,y)的驻点，且f(x,y)在P0(x0,y0)的一个邻域U(P0)R中有二阶连续偏导数。令2A fxx(x0,y0),B fxy(x0,y0),C fyy(x0,y0),Q 则（1）ABBC AC B2，当Q 0时，假设A 0，f(x,y)在P0(x0,y0)取

15、极小值；假设A 0，f(x,y)在P0(x0,y0)取极大值；（2）（3）23例例 6.346.34 求函数z x y(6 x y)的极值。当Q 0时，f(x,y)在P0(x0,y0)不取极值；当Q 0时，f(x,y)在P0(x0,y0)可能取极值，也可能不取极值。解解 解方程组z3 xy(12 3x 2y)0 xz22 x y(183x 4y)0y得驻点为P0(2,3)及直线x 0,y 0上的点。对P0(2,3)点有A 162,B 108,C 144,AC B2 0，于是函数z在P0(2,3)取积大值z(P0)108。容易判断，满足条件x 0的点为函数z的极小值点，极小值为 0；满足条件的0

16、 y 6x 0 x 0和的点为函数z的极大值点，极大值为 0。y 0y 6一、一、最值问题最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。1、一元函数设y f(x)是定义在闭区间a,b上的连续函数，则f(x)在a,b上一定有最大值和最小值。区间的两个端点a和b可能成为其最值点，而如果最值点在开区间(a,b)取得的话，则一定是f(x)的极值点，即是f(x)的驻点或是使导数f(x)不

17、存在的点。假设f(x)的所111222有驻点是x1,x2,xk，使导数f(x)不存在的点是x1,x2,xm，那么122maxf(x)|xa,b maxf(a),f(b),f(x1),f(x1k),f(x1),f(xm)122minf(x)|xa,b minf(a),f(b),f(x1),f(x1),f(x),f(xk1m)2例例 6.356.35求抛物线y 2x上与(1,4)最近的点。2解解 设(x,y)是抛物线y 2x上的点，则(x,y)与(1,4)的距离是1d(x 1)2(y 4)2(y21)2(y 4)222考虑函数f(y)d，由f(y)0，得到唯一驻点y 2，于是抛物线y 2x上与2(

18、1,4)最近的点是(2,2)2、多元函数n元函数f(x1,x2,xn)的最值问题就是求f(x1,x2,xn)在某个区类似一元函数，域D Rn上的最大值和最小值，我们只需求出f(x1,x2,xn)在D内部的所有极值和边界上最值，从中比较就可以选出f(x1,x2,xn)在D上的最值。例例 6.366.36 求平面x 2y z 4与点(1,0,2)的最短距离。解解 设(x,y,z)是平面x 2y z 4上的点，则(x,y,z)与(1,0,2)的距离是1d(x 1)2 y2(z 2)2(y21)2(6 x y)22考虑函数f(x,y)d，由f2x 0,fy 0，得到唯一驻点(11/6,5/3)，于是平

19、面5 66x 2y z 4与点(1,0,2)的最短距离是d(11/6,5/3)三、条件极值问题和三、条件极值问题和 LagrangeLagrange 乘子法乘子法前 面 我 们 研 究 的 极 值 和 最 值 问 题 都 是 直 接 给 出 一 个 目 标 函 数n元 函 数f(x1,x2,xn)，然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问题是有约束条件的，即条件极值问题。一般来说，条件极值问题是指：求目标函数n元函数y f(x1,x2,xn)G1(x1,x2,xn)0G(x,x,x)0n在一组约束条件212,(m n)下的极值。Gm(x1,x2,xn)0我们可以尝试对上面

20、方程组用消元法解出m个变量，从而转化为上一节的无条件极值问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即：求目标函数z f(x,y)在一个约束条件F(x,y)0限制下的极值问题。假设点P0(x0,y0)为函数z f(x,y)在条件F(x,y)0下的极值点，且F(x,y)0满足隐函数存在定理的条件，确定隐函数y g(x)，则x x0是一元函数z f(x,g(x)的极值点。于是fx(x0,y0)fy(x0,y0)g(x0)0由隐函数存在定理得到fx(x0,y0)Fy(x0,y0)fy(x0,y0

21、)Fx(x0,y0)0令fy(x0,y0)Fy(x0,y0)，于是极值点P0(x0,y0)需要满足三个条件：fx(x0,y0)Fx(x0,y0)0fy(x0,y0)Fy(x0,y0)0F(x0,y0)0因此，如果我们构造拉格朗日函数L(x,y,)f(x,y)F(x,y)其中，称为拉格朗日乘子，则上面三个条件就是Lx(x0,y0)fx(x0,y0)Fx(x0,y0)0Ly(x0,y0)fy(x0,y0)Fy(x0,y0)0L(x0,y0)F(x0,y0)0也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。用这种方法去求可能的极值点的方法，称为拉格朗日乘子法。类似地，求目标函数n元

22、函数y f(x1,x2,xn)G1(x1,x2,xn)0G(x,x,x)0n在一组约束条件212,(m n)下的极值时，我们可以构造相应的拉格朗Gm(x1,x2,xn)0日函数为mL(x1,x2,xn,1,2,m)f(x1,x2,xn)iGi(x1,x2,xn)i1于是，所求条件极值点满足方程组mGiL fx1ix1x1i1mL fGixnixnxni1L G(x,x,x)0112n1Lm Gm(x1,x2,xn)0横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆，其外表积等于S，问其尺寸怎样时，此盆有最大的容积？解解 设圆半径为r，高为h，则外表积S(r2 rh)(r 0,h 0)，容积V 构造拉格朗日函数

23、12r h。2L(r,h,)r2h(r2 rh 解方程组S)Lr(x0,y0)2rh(2r h)0Lh(x0,y0)r2r 0S2r rh 得到r0SS,h0 2，这时V033S3。327S 2r0时，体积最大。3由实际情况知道，V一定到达最大体积，因此，当h0 2331 求函数z x y 3xy的极值。44222 求函数z x y x 2xy y的极值。223求椭圆4x y 4上与(1,0)最远的点4求平面x y z 1与点(2,1,1)的最短距离。25求曲面z xy 1上与(0,0,0)最近的点6已知容积为V的开顶长方浴盆，问其尺寸怎样时，此盆有最小的外表积？x2y27求用平面Ax By

24、Cz 0与椭圆柱面221相交所成椭圆的面积。ab第八节第八节 导数在经济学中的应用导数在经济学中的应用一、导数的经济意义一、导数的经济意义1边际函数定义定义 6.46.4 设函数y f(x)可导，则导函数f(x)在经济学中称为边际函数。在经济学中，我们经常用到边际函数，例如：边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数在经济学中的应用。成本函数C(x)表示生产x个单位某种产品时的总成本。平均成本函数c(x)表示生产x个单位某种产品时，平均每个单位的成本，即c(x)相对于x的变化率，即C(x)的导函数C(x)。C(x)。边际

25、成本函数是成本函数C(x)x由微分近似计算公式我们知道C(x)C(x x)C(x)dC(x)C(x)x令x 1，我们有C(x)C(x 1)C(x)，也就是说，边际成本函数C(x)可以近似表示已经生产x个单位产品后再生产一个产品所需要的成本。在生产中，我们当然希望平均成本函数c(x)取得极小值，这时，我们可以得到c(x)0即xC(x)C(x)c(x)02x则xC(x)C(x)0，于是我们得到C(x)c(x)。因此，平均成本函数c(x)取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等。这在经济学中是一个重要原则，就是说在生产中，当边际成本函数低于平均成本函数时，我们应该提高产量，以降低平均成本；当边际

26、成本函数高于平均成本函数时，我们应该减少产量，以降低平均成本。2例例 6.386.38 设某种产品生产x个单位时的成本为C(x)250 2x 0.1x。求（1）当生产产品 100 单位时的边际成本和平均成本；（2）当生产产品数量为多少时平均成本最低。解解 1边际成本函数和平均成本函数为C(x)2 0.2xc(x)于是，C(100)22,c(100)14.5C(x)250 2 0.1xxx2平均成本函数c(x)取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等，即C(x)c(x)2 0.2x 250 2 0.1xxx 50因此，当生产产品数量为50 时平均成本最低。类似边际成本函数我们可以讨论其它边际

27、函数。需求函数p(x)表示销售x单位某种产品时的单个产品的价格。那么，p(x)是x的单调减少函数。收益函数是R(x)xp(x)，边际收益函数是R(x)。利润函数是P(x)R(x)C(x)边际利润函数是P(x)。当利润函数取极大值时，P(x)R(x)C(x)0，于是，R(x)C(x)，也就是说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本。为了保证取得最大利润还需要下面条件P(x)R(x)C(x)0即R(x)C(x)。所以，当R(x)C(x)且R(x)C(x)时取得最大利润。23设某种产品生产x个单位时的成本为C(x)27 1.28x 0.01x 0.0003x，需求函数p(x)10.28 0.0

28、1x。当生产产品数量要到达多大时可以取得最大利润？解解 收益函数是R(x)xp(x)10.28x 0.01x2由R(x)C(x)得到10.28 0.02x 1.28 0.02x 0.0009x2我们得到x 100。容易验证对任意x 0有R(x)C(x)。所以，当生产产品数量到达 100 单位水平可以取得最大利润。2弹性在经济学中我们常常用到弹性的概念，弹性也是一种变化率问题，与导数概念密切相关。yy定义定义6.56.5 设函数y f(x)在点x0可导，则称0为函数y f(x)在点x0与x0 x两xx0yy点间的弹性；称0在x 0时的极限为函数y f(x)在点x0的弹性，记为xx0EyEx即或x

29、x0Ef(x0)ExEyExxx0yyx0 lim0f(x0)x0 xf(x0)x0如果y f(x)在x(a,b)可导，相应地，我们可以给出(a,b)上弹性函数的定义Eyxf(x)Exf(x)当x很小时，我们有近似计算公式yEyxy0Exxx0 x0也就是说，函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比，上式表示当x从x0产生100的改变时，y f(x)改变Ef(x0)00Ex需求函数Q f(p)表示在价格为p时，产品的需求量为Q。需求函数Q f(p)是单调减少函数，Q f(p)的反函数也称为需求函数，就是我们前面提到的需求函数p(x)。需求函数Q f(p)对价格p的导数称为边际需求函数

30、。需求函数Q f(p)的弹性为Efpf(p)Epf(p)由于Q f(p)是单调减少函数，因此Ef 0。Ep收益函数R(p)pQ pf(p)，于是R(p)f(p)pf(p)f(p)1pEff(p)f(p)1f(p)Ep令EdEf，我们有EpR(p)0，R(p)假设Ed1，则需求变动幅度小于价格变动幅度，称为低弹性，这时，是单调增加函数。也就是说当价格上涨时收益增加，当价格下跌时收益减少。R(p)0，R(p)假设Ed1，则需求变动幅度大于价格变动幅度，称为高弹性，这时，是单调减少函数。也就是说当价格上涨时收益减少，当价格下跌时收益增加。假设Ed1，则需求变动幅度和价格变动幅度相同，称为单位弹性，这

31、时，R(p)0。也就是说当价格改变时，收益没有变化。类似上面对需求弹性的研究，我们也可以讨论供应弹性。供应函数Q(p)是指商品生产商的供应量Q与价格p之间的关系函数。Q(p)是单调增加函数。边际供应函数是Q(p)对价格p的导数，供应弹性函数是Ep(p)Ep(p)例例 6.406.40 设某种产品的需求函数为Q 100 5p，其中价格p(0,20)。1求需求函数Q的弹性EQ；Ep2用需求弹性说明价格在什么范围变化时，降低价格反而使收益增加。解解 1需求函数Q的弹性EQp。Epp 202容易得到当10 p 20时，EdEQ1，这时，R(p)0，当价格下跌时收Ep益增加。二、其它应用举例二、其它应用

32、举例导数在经济学中有很多应用，下面举一些例题说明。首先，我们考虑连续复利率问题。假设初始资金为A0，如果年利率为r，那么，t年后资金为A(t)A0(1 r)t。通常情况下是一年多次计息，假设一年n次计息，那么rA(t)A0(1)ntn我们这里是连续复利率计算问题，令n 得到rrnA(t)lim A0(1)nt A0lim(1)rrt A0ertnnnnrt于是，我们得到连续复利率计算公式A(t)A0e。某企业酿造了一批好酒，如果现在就出售，总收入为R0，如果贮藏起来，t年后出售，收入为R(t)R0e2 t5。如果银行年利率为r，并且以连续复利率计算，问贮藏多少年后出售可以使收入的现值最大。解解

33、 由连续复利率计算公式，t年后的总收入R(t)的现值X(t)为X(t)R(t)e由X(t)0得，t rt R0e2 trt511年。故贮藏年出售，总收入的现值最大。25r225r2下面，我们再举一个其它应用题。例例 6.426.42 某企业生产某型号仪器，年产量A 台，分几批生产，每批生产准备费为B 元，假设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，平均库存量为批量的一半。设每年一台仪器的库存费为 C 元。问如何选择批量，使一年中库存费与准备费之和最小。解解 设批量为x台，则库存费为是总费用为xAAC，每年生产的批数为，生产准备费为B，于2xxf(x)CABx 2x令f(x)0，得到x

34、2AB。C2AB台时，一年中库存费与准备费之和最小。C因此，批量为x 多元函数的偏导数在经济学中也有非常广泛的应用。n元函数y f(x1,x2,xn)的偏导数f(x1,x2,xn)(i 1,2,n)称为对xi的边际函数。我们可以类似一元函数引xi入边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等。我们还可以类似一元函数引入函数的偏弹性概念。这里不再一一详细表达。下面我们举几个多元函数应用题。例例 6.436.43 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是p118 2Q1,p212 Q2其中p1和p2为售价，Q1和Q2为销售量。总成本函数为C 2(Q1 Q2)51如果

35、该企业实行价格差异策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；2 如果该企业实行价格无差异策略，试确定两个市场上该产品的销售量和统一的价格，使该企业总利润最大化；并比较两种策略下的总利润大小。解解 1总利润函数是P R C p1Q1 p2Q22(Q1Q2)5 2Q Q 16Q110Q25由2122 P 4Q116 0Q1P 2Q210 0Q2得Q1 4,Q2 5，这时p110,p2 7。因为这是一个实际问题，一定存在最大值，且驻点唯一，因此当p110,p2 7时，取得最大利润2P 2Q12Q216Q110Q25Q14Q25 52（3）假设实行价格无差异策略，则p1 p2，

36、即有约束条件2Q1Q2 6构造拉格朗日函数2L(Q1,Q2,)2Q12Q216Q110Q25(2Q1Q2 6)由 LQ 4Q116 2 01 L 2Q210 0Q2L 2Q Q 6 012得Q1 5,Q2 4,2，这时p1 p2 8。最大利润2P 2Q12Q216Q110Q25Q15Q24 49因此，企业实行价格差异策略所得利润要大于实行价格无差异策略的利润。例例 6.446.44 假设某企业通过电视和报纸作广告，已知销售收入为R(x,y)1514x 32y 8xy 2x210y2其中x万元和y万元为电视广告费和报纸广告费。1在广告费用不限的情况下求最正确广告策略；2如果广告费用限制为1.5万

37、元，求相应广告策略。解解 1利润函数为P R (x y)1513x 31y 8xy 2x210y2由 P138y 4x 0 xP 318x 20y 0y得到唯一驻点x 1.5,y 1。这时最大利润为P(1.5,1)41万元2构造拉格朗日函数为L(x,y,)15 13x 31y 8xy 2x210y2(x y 1.5)由 Lx138y 4x 0L 318x 20y 0yL x y 1.5 0得到唯一驻点x 0,y 1.5。这时最大利润为P(0,1.5)39万元21设某种产品生产x个单位时的成本为C(x)40000 300 x x。求1当生产产品 1000 单位时的边际成本和平均成本；2当生产产品

38、数量为多少时平均成本最低。232设某种产品生产x个单位时的成本为C(x)1450 36x x 0.001x，需求函数p(x)60 0.01x。当生产产品数量要到达多大时可以取得最大利润？3设某种产品的需求函数为Q ep5，求p 6时的需求弹性；4 设某种产品的需求函数为Q 100 2p讨论其弹性的变化。5。某产品的总收益函数和成本函数分别是R(x)30 x x2,C(x)x2 2x 1厂商追求最大利润，政府对产品征税，求：1求产品产量和价格为多少时，厂商能取得税前最大利润；2征税收益的最大值及此时的税率；3厂商纳税后的最大利润。6假设某厂家在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函

39、数分别是Q1 24 0.2p1,Q210 p2其中p1和p2为售价，Q1和Q2为销售量。总成本函数为C 40(Q1 Q2)35试确定两个市场上该产品的销售价格，使该企业获得最大利润。第九节第九节 曲率曲率所谓曲率就是用来描述曲线的弯曲程度的 线有直线和非直线，如果一个人沿着直线行走，他不需要转动方向；但如果他沿着一条非直线行走时，他在每一点行进的方向是曲线的切线方向因而他在每一点行进的方向大多是不一样的 人移动时，他要转动方向当曲线的弯曲程度大一点时，人走相同的距离目光的转向要大一点 在直线上转向是没有的 因而我们就用曲线上单位距离切线方向即目光方向的转动角度来刻画曲线的弯曲程度P2x2,fx

40、2设光滑曲线方程为y fx，xa,b，x1,x2a,b，P1x1,fx1，是曲线上的两点 当弧P1P2很小时，可以用P1P2的直线距离来近似 设曲线在点P1,P2的切线与x轴正向的夹角分别是,，则tan f x1,tan f x2，所以 arctan f x1,arctan f x2 arctan f x2arctan f x1,而P1P2这时有x2 x12fx2 fx12，x2x1limP1P2 limarctan f x2arctan f x1x2x1x2 x12fx2 fx12arctan f x2arctan f x1x2 x1 fx2 fx11x2 x12 limx2x1f x1f

41、x111 f 2x11 f 2x11 f 2x132是刻画曲线在点x1的弯曲程度的，通常记为klimx2x1PP2 1定义定义 6.66.6假设函数y fx具有两阶连续的导数，则曲线上单位长度的切线转动k 称为函数y fx的曲率显然曲率k 0f x1 f x32例例 6.456.45求抛物线y ax bx c的曲率解解：y 2ax b，y 2a，所以曲率为2k 显然当2axb 0时，k最大即在x 2a12ax b322b对称轴处，曲线弯曲程度最大2a例例 6.466.46求直线y kx b的曲率解解：因为y k，y 0，所以k 0即直线没有弯曲上面这种方法是对显函数而言的如果曲线有参数方程可以

42、如下进行x xt给出，求曲率的过程y ytdyytd2yd dyytxt xtyt先求，代入前面求曲率的公式，3dxxtdx2dxdxxt得到k ytxt xtytxt yt2232例例 6.476.47求半径为R的圆的曲率x Rcos解解：可设圆方程为，则y Rsinx Rsin，y Rcos；x Rcos，y Rsin；代入上面的公式，得k RcosRcos RsinRsinRcos2Rsin3221R即圆的弯曲程度是其半径的倒数R越大，曲率越小为此我们一般曲线上任意一点可以用一个圆弧来表示 相比较着一点的曲率的倒数，即11称为该点的曲率半径，也就是说，该点的弯曲程度与半径为的圆的弯曲程度

43、接近此kk11时在该点的法线上的的一侧一点，使得OP，点称为曲率中心以O 为圆心，kk为半径的圆称为 P 点的曲率圆下面考虑隐函数曲率的求法求隐函数的曲率，关键在于求y,y举一个例子x2y2例例 6.486.48求曲线221a 0,b 0上一点的曲率abx2y2解解：对221两边对x求导，得到ab2x11 2yy 022abb2x所以y 2a y又对2x11 2yy 0两边对x求导，得到a2b211122 22y2 2y2y 0abb所以1 b2b4x2b4 y2x2b4y 42 232 23，22yaaya ybaa yk y1 y1R322a4b4a4y2b4x322特别地，当a b R时，k 最后介绍极坐标系下，曲线的曲率的求法例例 6.496.49 求阿基米德螺线r a的曲率解：解：因为x rcos acos，y rsin asin，所以x acosasin，y asin acosx 2asin acos，y 2acos asinytxt xtyt代入公式k xt yt2232，得k 1k2a2 a22a2 a232222a1322曲率半径为