2003年高考数学试题(全国理)及答案.pdf

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1、20032003 年普通高等学校招生全国统一考试数学年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类理工农医类)一、选择题一、选择题本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知x(A2,0),cosx 7244,则tg2x 57B24CCsin 2247D2472圆锥曲线8sin的准线方程是cos2Bcos 2Acos 2Dsin 22x1,x 0,若f(x0)1,则x0的取值范围是3设函数f(x)12x,x 0.A 1，1B 1，+D(,1)(1,)D2C(,2)(0,)4函数y 2sin x(sin x cosx)的最大值为A12

2、B2 1C2225已知圆C:(x a)(x 2)4(a 0)及直线l:x y 3 0.当直线l被C截得的弦长为2 3时，则 a=A2B22C2 1D2 16已知圆锥的底面半径为R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是A2R22BR2942CR832Dr3227已知方程(x 2x m)(x 2x n)0的四个根组成的一个首项为A1B1的等差数列，则|m n|434C12D388已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y x 1与其相交于M、N 两点，MN 中点的横坐标为2,则此双曲线的方程是3x2y21A34x2y21B43x2y21C52x2y21D259函数f(x)s

3、in x,x322,的反函数f1(x)Aarcsin x,x1,1C arcsin x,x1,1Barcsin x,x1,1Darcsin x,x1,110已知长方形的四个项点A0，0，B2，0，C2，1和 D0，1，一质点从AB 的中点 P0沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后，依次反射到CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3和 P4入射解等于反射角，设 P4坐标为x4,0),若1 x4 2,则tg的取值范围是A(,1)D(,)13B(,)1 23 3C(,)2 15 22 25 3222C2C32C4Cn11limnn(C1C1C1C1)234nA3B13C16D612一个

4、四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的外表积为A3B4C33D6二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.13(x 219)展开式中x9的系数是.2x14使log2(x)x 1成立的x的取值范围是.15如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.以数字作答16以下五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为具所在棱的中点，能得出l面 MNP的图形的序号是.写出所有符合要求的图形序号三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文

5、字的说明，证明过程或演算步骤.17 本小题总分值 12 分已知复数 z 的辐角为 60，且|z 1|是|z|和|z 2|的等比中项.求|z|.18(本小题总分值 12 分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三形，ACB=90，侧棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G.求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小结果用反三角函数值表示；求点 A1到平面 AED 的距离.19 本小题总分值 12 分已知c 0.设P：函数y c在 R 上单调递减.Q：不等式x|x 2c|1的解集为 R，如果 P 和 Q 有且仅有一

6、个正确，求c的取值范围.20 本小题总分值 12 分x在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O如图的东偏南(arccos2)方10向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以 10km/h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21 本小题总分值 14 分已知常数a 0,在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=4a，O 为 AB 的中点，点E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且BECFDG，P 为 GE 与 OF 的交点如图，问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距

7、离的和BCCDDA为定值？假设存在，求出这两点的坐标及此定值；假设不存在，请说明理由.22 本小题总分值 12 分，附加题 4 分ts设an是集合2 2|0 s t,且s,t Z中所有的数从小到大排列成的数列，即a1 3,a2 5,a3 6,a4 9,a510,a612,.将数列an各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35691012i写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；i i求a100.本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过 150 分rts设bn是集合2 2 2|0 r s t,且r,s,t Z中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知bk1160,求

8、k.2003 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题1D2C3D4A5C6B7C8D9D10C11B12A二、填空题132114-1，01572162r rcos60 rsin60)，则复数z的实部为.z z r,zz r2由题设2三、解答题：17 解：设z|z 1|2|z|z 2|即:(z 1)(z 1)|z|(z 2)(z 2),r2 r 1 r r2 2r 4,整理得r2 2r 1 0.解得:r 2 1,r 2 1(舍去).即|z|2 1.18 解：连结 BG，则 BG 是 BE 在 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.设 F 为 AB

9、 中点，连结 EF、FC，D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC 平面ABC,CDEF为矩形连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中1EF2 FGFD FD2,EF 1,FD 3.(4分)3126于是ED 2,EG.FC CD 2,AB 2 2,A1B 2 3,EB 3.33sinEBG EG6122.A1B与平面ABD所成的角是arcsin.EB3333解：ED AB,ED EF,又EF AB F,ED 面A1AB,又ED 面AED.平面AED 平面A1AB,且面AED面A1AB AE.作A1K AE,垂足为K.A1K 平面AED,即A1K是A1到平面AED的距离.在A1A

10、B1中,A1K A1A A1B122 22 62 6A1到平面AED的距离为.AB1332 319解：函数y cx在 R 上单调递减 0 c 1.不等式x|x 2c|1的解集为R 函数y x|x 2c|在R上恒大于1.2x2c,x 2c,x|x2c|x 2c,2c,1函数y x|x2c|在R上的最小值为2c.不等式|x x2c|1的解集为R 2c 1 c.211如果P正确,且Q不正确,则0 c.如果P不正确,且Q正确,则c 1.所以c的取值范围为(0,1,).2220解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.在时刻：1台风中心 Px,x 300y的坐标为102t,2y 3007

11、 2 202t.102 202此时台风侵袭的区域是(x x)2(y y)r(t)2,其中r(t)10t 60,假设在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有(0 x)2(0 y)2(10t 60)2.即(3002227 222 20t)(300 20t)102102(10t 60)2,即t236t 288 0,解得12 t 24答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.21根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值.按题意有 A2，0，B2，0，C2，4a，D2，4a设BECFDC(0 k 1)BCCDDA由此有 E2，4ak，F

12、24k，4a，G2，4a4ak直线 OF 的方程为：2ax (2k直线 GE 的方程为：a(2k1)y 01)x y 2a 02从，消去参数 k，得点 Px,y坐标满足方程2a整理得x2(y a)2当a121a2当a2x2 y2 2ay 021时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.21时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。2111时，点 P 到椭圆两个焦点 a2,a),(a2,a)的距离之和为定值2。222111时，点 P 到椭圆两个焦点0，a a2),(0,a a2)的距离之和为定值 2a.222当a2当a222 本小题总分值 12 分，附加题

13、4 分解：i第四行 17182024第五行 3334364048i i解：设a100 2s0 2t0，只须确定正整数s0,t0.t数列an中小于20的项构成的子集为2t 2s|0 s t t0,其元素个数为C2t0(t01),依题意t0(t01)100.满足等式的最大整数t0为 14，所以取t0t022因为 100C14214.s01,由此解得s0 8,a100 214 2816640.(其中,B 2r 2s 2t|0 r s t解：bk1160 210 27 23,令M c B|C 1160现在求 M 的元素个数：c B|c 210 2r3因M c B|c 210c B|210 c 210 27c B|210 27 c 210 27 23.2s 2t|0 r s t 10,其元素个数为C10：cB|210 c 210 27210 2s 2r|0 r s 7.某元素个数为C772:c B|210 27 c 210 27 23 210 27 2r|0 r 3322某元素个数为C10:k C10 C7 C31145.