专题13：初中数学方法总结.pdf
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1、专题专题 1313：初中数学方法总结：初中数学方法总结专题 13：初中数学方法总结专题：初中数学方法总结一，初中数学方法点滴学了初中三年的数学，解了三年的数学题，感到学海无边，题目无穷，在纷繁复杂的题目中，我们应总结出一些数学方法，从解题实践中提炼出方法，用方法来指导解题实践。以下为个人就初中数学的解题方法的一些体会。一，代入法。如，点在直线上，则点的横纵坐标就可以代入直线解析式。当然反比例函数，二次函数亦然。又如，已知某个数是一元二次方程的根，则该数就可以代入方程。还有，分式的先化简再求值，则说明必须先把分式化简，再作代入，当然这里要注意代入的数要使原分式有意义。二，整体代入法。在代数式的变
2、形计算中，在一元二次方程根与系数的关系类题目中常有运用。三，因式分解法。提取公因式，平法差公式，完全平方公式，十字相乘法均属此法。在因式分解，分式的化简，解一元二次方程等题目中都有运用。四，配方法。当二次项系数为 1 时，加上一次项系数一半的平方就叫配方法。它可以用于解一元二次方程，非负数取值的判断，二次函数求顶点坐标或最值或对称轴等题目。五，换元法。我们常用的换元法是用一个未知数表示若干个较为复杂的代数量或几何线段，往往可以问题容易理解或便于用方程解答。这是先设未知数再用方程解决问题的方程思想的典型运用。六，判别式法。判别式除了可以判断一元二次方程的解的情况，还可以和二次函数相联系。七，求根
3、公式法。此法是由配方法演绎而得，为解一元二次方程的通用办法。八，根与系数的关系法。一元二次方程中，表示出两根之和或两根之积后，除了可以代入计算，还可以由此关系得到方程的另一根或其他系数。九，待定系数法。第 1页 共 19页初中的三大函数解析式的求法，均叫做待定系数法，它是代入法的延伸，在数学中有着广泛的运用。（三大函数，即，一次函数，反比例函数，二次函数）十，直接得到法。直接由数学知识点得到答案，常用与容易解决的基础题。十一，排除法。在选择题中，有明显错误的选项可以先排除，以缩小选择之范围。十二，验证法。我们知道，解分式方程必须检验，在有些选择题中，可以将选项作逐一代入检验，得到正确答案。十三
4、，特殊元素法。在选择题判断一组代数式的大小时，可以选用此法，但要注意选择的特殊元素要有代表性。十四，先易后难法。在选择题甚至整个试题中，先易后难可以提升效率、把握全局，也有利于思维的发挥。十五，顺向思维法。在图形题中，可以根据已知条件，运用所学图形的性质，进行直接的推理，从而得到正确答案或要证明的结果，即为此法。此法往往应用与较为常见或难度不大的题目。十六，逆向思维法。在图形题中，可以进行逆向思维。即，要得此步，则必须得到什么，要必须得到什么，则又必须得到什么，如此逆推上去，直至与已知条件相连接。然后顺向书写下来。十七，顺逆双向思维法。在较难的图形题中，单用顺向或逆向尚不能解决问题，则采取两个
5、方向思维，力争找到两种思维方式的连接点。十八，划归思想法。也在较难图形题目中，有连续三问，第二三问的解答往往是运用前面的探究方法。十九，动中取静、转化问题法。动点题目中，通常有一个或两个动点。虽然，有其运动，但要抓住其不动的条件，是为动中取静。其动态问题，往往需要通过分析，将问题转化为相似（如模拟卷 7 的第 26 题）；或转化为等腰三角形的两腰相等、平行四边形的对边相等、直角三角形的勾股定理，通过方程的思想得到所求未知量；或转化为三角形或四边形的面积为一个函数表达式（一次函数或二次函数），通过自变量的取值（要注意其取值范围）来确定其最值。二十，外部延伸法。第 2页 共 19页当在图形内部分析
6、无法解决时，思维要走向图形整体的外部，在更广阔的空间翱翔自己的思维。二十一，取长补短法。往往用于证明一条较长线段等于两条线段之和。二十二，辅助线法（构造法）。无论内部、外部，还是取长补短法，都可以考虑作辅助线帮助解决问题。此外，在梯形、平行四边形等四边形中作高，在等腰三角形中作高，在反比例函数中作直角三角形或矩形，在三角形面积中作高，在抛物线中作平行线和垂线等，都有其广泛的运用。二十三，面积法。求三角形或四边形的面积，有三种手段：1，直接用公式求面积，2，间接的加法，3 间接的减法。当然间接的方法也常用于求和圆有关的阴影部分的面积。二十四，几何变换法。三大变换（平移、旋转、轴对称）中有重合即相
7、等的元素，要准确判断，并合理选择运用。此法往往和勾股定理、扇形弧长公式、扇形面积联系运用。二十五，相似法。相似可以得到对应边成比例，还可以用来表示未知量。二十六，三角函数法。三角函数除了运用于解直角三角形，它也是一种比值。由此，可以通过设未知数将所求问题表示成一个未知数表示的代数式，还可以得到其他对应线段的比值。二十七，图形法。在无图而可以作图的题目中，画图可以帮助分析。在有图的图形题中，根据题目的描述，依次画出图形，避开干扰图形也可以帮助分析图形问题。此法，往往用于解决图形题目中的第一问。二十八，数形结合法。平时常说草稿图像法，即对函数的性质进行分析时，作出函数的草稿图像，可以简便快捷的进行
8、分析。在应用题中，也可画出图示帮助分析。数学结合思想将代数与几何相联系，往往收到意想不到的效果，在数学中有着广泛的运用。二十九，反复降次法。我们曾两次做过一类小题，用到此法。三十，共加共减法。在图形的重叠部分运用此法，可以得到两个角相等。在直角顶点位于直线第 3页 共 19页上时，根据角的传递性，可以得到两角相等，带来相似甚至全等。在判定切线或运用切线时，也有此法的运用，它也可以看做等量代换或等式的性质。在图形题中有着广泛的运用。三十一，图形转化法。将角所在的不规则三角形转化为直角三角形，将不规则图形转化为规则的三角形，是转化思想的运用。三十二，代数转化法。解分式方程的第一步是两边同乘最简公分
9、母，转化为一次方程。运用因式分解法、配方法解一元二次方程是转化为一元一次方程。解二元一次方程组，无论加减法还是代入法都是转化为一元一次方程。三十三，反证法。先假设结论成立，然后从此结论推理出与已知或定理相矛盾的情形，则可以说明结论不成立。但我们的所学和所解中很少运用此法，同学们不到万不得已之时，不可采用此法。三十四，动手折纸法。在三视图、立方体展开图、图形的折叠中，运用此法可以帮助用空间想象难以想清楚的问题。三十五，就地取材法。当题目的主干条件不变，只是在第二问、第三问中添加条件时，那么，第前面所得的结论可以作为后问的已知条件。三十六，数学感觉法。如，已知一个点是中点，则迅速联想到中线、中位线
10、、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如，已知 30，除了分析度数外，还应联想直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。如，已知直径，则联想所对的圆周角为 90。如见切点，连圆心。如看到切线，想到切线垂直于过切点的半径。如垂径定理知二推三，弦、圆心角、弧、弦心距四者关系知一推三。三十七，数学公式法。初中数学中，有很多公式需要记忆，当然也可推理。如三角形面积公式、直角三角形面积公式、等边三角形面积公式、平行四边形面积公式、菱形面积公式、矩形面积公式、正方形面积公式、梯形面积公式、等腰直角三角形斜边与直角边的关系、圆面积公式、圆周长公式、扇形弧长公式、扇形的两个面积第 4页 共 19页公式
11、、圆锥的侧面积公式等等都有着广泛的计算运用。三十八，数学定理法。如，角平分线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、切线的判定定理和性质定理需要有系统的熟记，它们在图形的计算和证明中均有着广泛的运用。以上方法来自数学解题和学习的总结，肯定还有更多更好的方法，因此，需不断学习和总结。二，直角或垂直的解题方法的联想判断两条直线的位置关系是否垂直，判断一个三角形的形状是否为直角三角形，已知直角三角形或垂直作何种运用，它既可在图形性质或变化两类题目中单列出现，也常在压轴题中作为第二问中出现。因此，既可串联图形题目，也有着相当重要的地位。其解题方法不是单一的，常有以下 24
12、 种。1，勾股定理的逆定理。这常与抛物线相结合，需先做出垂直于坐标轴的辅助线，明确各个顶点的坐标，再计算出所判定三角形的各边长，由勾股定理的逆定理可以判断其形状，而且，还可以断定其直角所在。2，两锐角互余。这是常用手段，实际是用了三角形的内角和定理。3，平角减法。如果所求的角的顶点是在某一直线上，如能求出它与其两边与直线的两个夹角的和为 180 度，则也能判定角为直角。4，平行法。已知两直线平行，若其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三直线。，当然垂直于同一直线的两条直线互相平行。也可以理解为是平行线的性质。这也是圆中判定切线的常见手段。5，逆用直角三角形斜边上的中线等于斜边的
13、一半。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，将其逆用也可得到直角。实际上蕴含着三角形的外接圆的圆周角定理，这是一种很容易被忽略而又轻便快捷的办法。6，折叠法。在图形的变化类题目中，常出现图形的折叠，虽然折痕常常为的分析切入点，但这里因为重合的理念也暗藏着直角的玄机。它与勾股定理结合，运用方第 5页 共 19页程思想，常能打开貌似艰难的问题。7，全等三角形判定。如能求证所求角所在的三角形与某一个已知直角三角形全等，也可达到目的。此法往往和圆相结合。8，直径所对的圆周角为 90 度。圆中，每当提到直径，就应该有这样本能的反应。若已知圆周角为直角，则它所对的弦是直径。9，切线垂直于过切点的半径。这是
14、切线的性质，也能带来直角。反之切线垂直于过切点的半径。10，垂径定理。如果过圆心的直线平分所对的弦，那么该直线就垂直于这条弦。垂径定理知二推三。11，菱形和正方形的对角线互相垂直。在小题中常见已知菱形的两条对角线的长，求其边长乃至周长的问题。12，等腰三角形三线合一等腰三角形中，底边上的高、中线、顶角的角平分线三线合一。13，共加或共减法。在划归一类的题目中，常出现判断两条直线的位置关系，在较为复杂的几个角的错综复杂中，常用到这种方法，当然需要先知道其中一处为 90 度，此类题目也常与三角形的全等相结合。14，四边形的内角和。在类似于上一类的题目中，有出现某一个四边形的一组对角和为 180 度
15、，即可用四边形的内角和算出所求的角为 90 度。此外圆内接四边形对角互补也是不可忽略的情景或手段，平行四边形的对角相等也可理解为此类之列。15，作辅助线构造直角三角形。如在解直角三角形中，已知一个钝角三角形，往往需要构造直角三角形来求得所求，当然解直角三角形的前提是已知两边或一边一锐。在等腰梯形中常作底边的高来构建直角三角形，在直角三角形中做斜边上的高能带来直角三角形的面积有两种求法。在平行四边形中作高也有用处。16，反比函数 k 的几何意义。过反比例函数的图像即双曲线上的一点，作坐标轴的垂线段，并连接原点，可以构造直角三角形，则此直角三角形的面积等于斜率 K 的绝对值的一半。17，两坐标轴的
16、夹角为 90 度。第 6页 共 19页有一种题目，在坐标系中求某一个圆周角的三角函数，那么可以把这个角转化到一个直角三角形中求解。18，斜率 k 的乘积为-1，则两直线平行。19，轴对称图形中，对称轴必垂直平分对应点的连线段。20，三角形的外心是三条垂直平分线的交点。21，圆锥顶点与底面圆心的连线必垂直于底面。22,30 度角所对的直角边等于斜边的一半。23，直角三角形的直角顶点共边，可利用其角的传递性带来相似或全等。24，直角三角形全等的 HL，相似的两角均只差一个条件就可以得到。以上或许只是判定直角或垂直的诸多方法中的少数，如同沧海之一粟，更多方法尚待不断学习中。三，二次函数综合题的解题方
17、法体会二次函数综合题，是以二次函数的图像性质为主，结合其他图形，涉及知识点较多，综合性较强的一种压轴题。它是代数知识和几何图形的综合，因此蕴含了数形结合的思想。一，题目结构。第一问，求抛物线的解析式，第二三问为难度题目。二，解题思想。数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想，转化思想二，题目类型和解题思路方法。第一问，求抛物线的解析式。常见有三种以上方法可以选用。1.一般式。如全部代入，组成三元一次方程组，2.顶点式。如在已知顶点坐标的情况下用顶点式，3.双根式。如已知抛物线与横轴的两个交点坐标的情况下用双根式。其他，如果已知抛物线的对称轴则可根据对称轴公式表示或求出 a、b，如果已知抛
18、物线与 y 轴交点坐标可先得 c，或利用抛物线的对称性可以有变化的求法。第二问或第三问则为难度题目。常见的题型有以下等等。1，判断三角形的形状。勾股定理法：通常是利用勾股定理的逆定理来判断是否直角三角形甚至等腰直角三角形（2022 安顺题即 2022 菏泽题，如 2022 昭通题即 2022 临沂题，如 2022 湛江题，如 2022 年山东枣庄题）第 7页 共 19页 2，求线段之和最短时的交点坐标。先为对称交点法（作轴对称点，对应两点的连线即为所求点的坐标），之后可用相似法（相似三角形得对应边成比例，还可以设某利用相似来表示未知线段，此法也常见与动点题目转化为相似解决问题）或解析式法（求直
19、线与抛物线的交点坐标，可以联立直线解析式和抛物线解析式组成方程组，求得交点坐标）。（2022 安顺即 2022 菏泽）3，求直角三角形形状时与抛物线的交点坐标或在对称轴上存在的点的坐标（前者如 2022 遵义题，2022 遵义题，2022 徐州题，后者如 2022 济南题）分类讨论法（当已知三角形的直角顶点未知时，当两个三角形相似但对应顶点不明确是，要分情况讨论），、解析式法。4，当三角形为等腰三角形时求对称轴上存在的点的坐标（如 2022 年张家界题，2022 来宾题，2022 湖北十堰题）分类讨论法（等腰三角形的两腰不确定时采用，其中暗藏勾股定理，圆的定义，垂直平分线的知识）。5,与圆结合
20、求三角形面积最小时或最大时动点的坐标（2022 遵义题，2022 安徽卷）图形形状分析法（结合圆和其他图形的性质判断图形形状），如 2022 遵义题第三位需要分析三角形的形状为等腰直角三角形。6 当未知三角形面积是已知三角形的倍数时，求在抛物线上的点坐标（2022 铜仁，2022 黔南，2022 福建莆田题）平行法（也叫平移法，若两条直线平行，则未知直线的斜率 k 等于已知直线的斜率 k,再根据未知直线过某一已知点可以得到该直线的解析式），解析式法等结合。7，求三角形面积的表达式，并求出当自变量为何取值时动点的坐标。表示三角形的面积，并求三角形的面积。（2022 南宁题 2022 济南题，20
21、22 成都题）三角形面积直接表示法（直接运用三角形的面积公式，用含自变量的函数关系式来表示，而如何表示三角形的底和高将成为关键，此举在动点题中也常常出现），用锐角三角函数或相似表示出底边上的高很关键。8，当两个三角形相似时，求在某直线上存在的点的坐标。（2022 山东枣庄即 2022 云南曲靖题）相似法。9，表示点和线段。第 8页 共 19页坐标表示点、线段法（通常是先设一个点的横坐标，再根据点在直线上或在抛物线上，用相同的未知数的代数式设出纵坐标，然后纵向线段长等于上点的纵坐标减去下点横坐标，而横向线段长则等于右点横坐标减去左点横坐标）。此法常与解析式法相结合。典型题目如 2022 淄博题。
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