2018全国高中数学联合竞赛试题和解答(A卷).pdf

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1、.20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷一试卷一试一、填空题1.设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数x有f(x 3)f(x 4)1.又当0 x 7时,f(x)log2(9 x),则f(100)的值为_.2.若实数x,y满足x 2cos y 1,则x cos y的取值范围是_.2x2y21,F为C的上焦点,A为C的右3.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为:910顶点,P是C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF的面积的最大值为_.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为平稳数.平稳数的个数是5.正三棱锥P ABC中,AB 1,AP 2,过A

2、B的平面将其体积平分,则棱PC与平面所成角的余弦值为_.6.在平面直角坐标系xOy中,点集K (x,y)x,y 1,0,1.在K中随机取出三个点,则这三点中存在两点之间距离为5的概率为_.7.在ABC中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点.若A 则AM AN的最小值为_.8.设两个严格递增的正整数数列an,bn满足：a10 b10 2017,对任意正整数n,有3,ABC的面积为3,an2 an1 an,bn1 2bn,则a1b1的所有可能值为_.二、解答题9.设k,m为实数,不等式x2kxm 1对所有xa,b成立.证明：b a 2 2.10.设x1,x2,x3是非负实数,满足x1 x2 x3

3、1,求(x13x25x3)(x1值和最大值.11.设复数z1,z2满足Re(z1)0,Re(z2)0,且Re(z1)Re(z2)2其中Re(z)表示复数z的实部.1 求Re(z1z2)的最小值；2 求z1 2 z2 2 z1 z2的最小值.22x2x3)的最小351/3.20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷二试卷二试一.如图,在ABC中,AB AC,I为ABC的内心,以A为圆心,AB为半径作圆1,以I为圆心,IB为半径作圆2,过点B,I的圆3与1,2分别交于点P,Q不同于点B.设IP与BQ交于点R.证明：BR CR二.设数列an定义为a11,an1an n,an

4、n,ann,an n,n 1,2,.求 满 足ar r 32017的正整数r的个数.三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为分隔边.试求分隔边条数的最小值.四.设m,n均是大于 1 的整数,m n,a1,a2,an是n个不超过m的互不相同的正整数,且a1,a2,an互素.证明：对任意实数x,均存在一个i(1 i n),使得aix 这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.2x,m(m 1)20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷一试答案一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷二试答案二试答案2/3.一.二.三.四.3/3