高考真题数学分项详解-专题17-数列的概念与数列的通项公式（解析版）.pdf

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1、专题专题 1717 数列的概念与数列的通项公式数列的概念与数列的通项公式年份年份题题号号考点考点考查内容考查内容2013卷 1理 14数列前项和与关系nnSna的应用主要考查等比数列定义、通项公式及数列第项与其前n项和的关系n卷2来源:学科网来源:学科网 ZXXK来源:Z*xx*k.Com文16来源:学*科*网 Z*X*X*K已知递推公式求通项公式来源:学科网主要考查已知数列递推公式求首项，考查运算求解能力来源:学科网 ZXXK来源:Z|xx|k.Com2014来源:Z&xx&k.Com来源:学科网卷 1理 17数列前项和与关系nnSna的应用主要考查数列第项与前项和关系、等差数列的判定nn及

2、通项公式、探索性问题卷 3文 17已知递推公式求通项公式主要考查由递推公式求通项、等比数列定义、通项公式，考查运算求解能力2016卷 3理 17数列前项和与关系nnSna的应用主要考查数列利用前项和与关系求通项公式、nnSna等比数列定义及前项和公式，考查运算求解能力n2018卷 1理 14数列前项和与关nnSna系的应用主要考查数列利用前项和与关系求通项公式、nnSna等比数列定义及前项和公式，考查运算求解能力n2020卷 2理 12周期数列周期数列，数列的新定义问题大数据分析大数据分析*预测高考预测高考考点考点出现频率出现频率20212021 年预测年预测考点 54 数列概念与与由数列的前

3、几项求通项公式0/62021 年高考仍将以考查由递推公式求通项公式与已知前项和或前项和与第项的关系式求通nnn考点 55 已知递推公式求通项公式2/6考点 56 数列前项和与关系的nnSna应用4/6考点 57 数列性质0/6项为重点，特别是数列前项和与关系的nnSna应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第 1 小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练十年试题分类十年试题分类*探求规律探求规律考点考点 5454 数列概念与由数列的前几项求通项公式数列概念与由数列的前几项求通项公式1（2020 全国理 12）0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用若序列满足12na aa，

4、且存在正整数，使得成立，则称其为 0-1 周期序列，0,11,2,iaim(1,2,)i miaa i并称满足的最小正整数为这个序列的周期对于周期为的 0-1 序列，),2,1(iaaimimm12na aa是描述其性质的重要指标下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足11()1,2,1mii kiC ka akmm的序列是（）11,2,3,45C kkABCD11010110111000111001【答案】C【解析】由知，序列的周期为m，由已知，i miaaia5m 511(),1,2,3,45ii kiC kaak对于选项 A，511223344556111111(1)()(10000)5

5、5555iiiCaaa aa aa aa aa a，不满足；52132435465711112(2)()(01010)5555iiiCaaa aa aa aa aa a 对于选项 B，不满足；51122334455611113(1)()(1001 1)5555iiiCaaa aa aa aa aa a 对于选项 D，不满足；51122334455611112(1)()(1000 1)5555iiiCaaa aa aa aa aa a故选：C2（2011 天津）已知数列满足，nnab与11(2)1nnnnnbab a 1*13(1),22nnbnNa 且（）求的值；23,a a（）设，证明是等比

6、数列；*2121,nnncaanN nc（）设为的前项和，证明nSnan*21212122121().3nnnnSSSSnnNaaaa【解析】（）由，可得1*3(1),2nnbnN 2,1,nnbn为奇数为偶数,又，1121nnnnnbab a 当121231,21,2,;2naaaa 时由可得当2332,25,8.naaa时可得（）证明：对任意*nN21212221nnnaa 2221221nnnaa-，得21211212132,32,4nnnnnnncaacc即于是所以是等比数列 nc（）证明：，由（）知，当时，12a*2kNk且2113153752123()()()()kkkaaaaaa

7、aaaa13523212(14)23(2222)23214kkk 故对任意*2121,2.kkkNa由得212121*2212221,2,2kkkkkaakN 所以因此，21234212()()().2kkkkSaaaaaa于是，21222112.2kkkkkSSa 故21221221222121212121221.1222144(41)22kkkkkkkkkkkkkkkSSkkkaa 考点考点 5555 已知递推公式求通项公式已知递推公式求通项公式1（2014 新课标，文 16）数列满足，则_na2,1181aaann1a【答案】21【解析】由得，=，=，=-1，=111nnaana111n

8、a82a 7a811a126a711a5a=2，=，=-1，=2，=611a4a511a123a411a2a311a1a211a122（2013 新课标，理 14）若数列的前n项和为 Sn，则数列的通项公式是na2133na na=_na【答案】1(2)n【解析】当=1 时，=，解得=1，当2 时，=()=n1a1S12133a 1anna1nnSS2133na 12133na，即=，是首项为 1，公比为2 的等比数列，=12233nnaana12nanana1(2)n3（2015 江苏）数列满足，且（），则数列前 10 项的和为na11a11naann*Nn1na【答案】2011【解析】由题

9、意得：112211()()()nnnnnaaaaaaaa，所以(1)1212n nnn 1011112202(),2(1),11111nnnSSannnn4（2016新课标，文 17）已知各项都为正数的数列满足，na11a 211(21)20nnnnaaaa（1）求，；2a3a（2）求的通项公式na【解析】（1）根据题意，211(21)20nnnnaaaa当时，有，1n 21212(21)20aaaa而，则有，解可得，11a 221(21)20aa212a 当时，有，2n 22323(21)20aaaa又由，解可得，212a 314a 故，；212a 314a（2）根据题意，211(21)20

10、nnnnaaaa变形可得，1(2)(1)0nnnaaa即有或，12nnaa1na 又由数列各项都为正数，na则有，12nnaa故数列是首项为，公比为的等比数列，na11a 12则，11111()()22nnna 故11()2nna考点考点 5656数列的前项和与关系的应用nnSna1（2020 江苏 20）已知数列的首项，前项和为设与是常数若对一切正*()nanN11a nnSk整数，均有成立，则称此数列为“”数列n11111kkknnnSSak（1）若等差数列是“”数列，求的值；1（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；na3230na na（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“

11、”数列，且？若存在，求出的取na30na 值范围；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】（1）时，1k 111nnnnaSSa1（2），1133nnnSSa11113()3nnnnnnaSSaSS因此113nnnSSa，从而11233nnSa11144()33nnnnSaSS14nnSS又，111Sa14nnS213 4nnnnaSS 2n 综上，21,13 4,2nnnan（3）若存在三个不同的数列为“”数列，则，na311133311nnnSSa则，21123333331111133()nnnnnnnnnSSSSSSaSS由，则，令，则，11a 0na 0nS 113()0nnnSpS3

12、323(1)33(1)0nnnppp时，由可得，则，即，12nnpp0np 1np 1nnSS10na此时唯一，不存在三个不同的数列；nana时，令，则，则，1331t3210nnnptptp 2(1)(1)10nnnppt p时，则同理不存在三个不同的数列；1t 2(1)10nnpt p 1np na时，无解，则，同理不存在三个不同的数列13t 2(1)40t 2(1)10nnpt p 1np；na时，则，同理不存在三个不同的数列；3t 3(1)0np 1np na即时，有两解，设，3t 012(1)40t 2(1)10nnpt p，则，则对任意，或或，12t 10 01*nN11nnSS3

13、1nnSS31nnSS此时，均符合条件，1nS 31,1,2nnSn31,1,2,3nnSn对应，1,10,2nnan31,11,20,3nnann31,10,21,30,4nnnann则存在三个不同的数列为“”数列，且，综上，na30na 012（2018新课标，理 14）记为数列的前项和若，则nSnan21nnSa6S【答案】63【解析】为数列的前项和，当时，解得，nSnan21nnSa1n 1121aa11a 当时，由可得，是以为首项，以 22n1121nnSa122nnnaaa12nnaana1为公比的等比数列，661(12)6312S 3（2016新课标，理 17）已知数列的前项和，

14、其中nan1nnSa 0（1）证明是等比数列，并求其通项公式；na（2）若，求53132S【解析】（1），1nnSa 00na当时，2n11111nnnnnnnaSSaaaa 即，1(1)nnaa，即，00na 10 1即，11nnaa(2)n是等比数列，公比，na1q当时，1n 1111Saa 即，111a11()11nna（2）若，53132S 则若，451311()1132S 即，5311()113232 则，得112 1 4（2014 新课标，理 17）已知数列的前项和为，=1，其中nannS1a0na 11nnna aS为常数()证明：；2nnaa（）是否存在，使得为等差数列？并说明

15、理由na【解析】()由题设，两式相减11nnna aS1211nnnaaS，由于，所以6 分121nnnnaaaa0na 2nnaa（）由题设=1，可得，由()知1a1211a aS211a31a假设为等差数列，则成等差数列，解得；na123,a a a1322aaa4证明时，为等差数列：由知4na24nnaa数列奇数项构成的数列是首项为 1，公差为 4 的等差数列21ma2143mam令则，21,nm12nm21nan(21)nm数列偶数项构成的数列是首项为 3，公差为 4 的等差数列2ma241mam令则，2,nm2nm 21nan(2)nm（），21nan*nN12nnaa因此，存在存在

16、，使得为等差数列12 分4na考点考点 5757 数列性质数列性质1（2012 福建）数列的通项公式，前项和为，则=_ nacos12nnannnS2012S【答案】3018【解析】因为的周期为 4；由，cos2ncos12nnannN12346aaaa，56786aaaa2012503 63018S2.（2011 浙江）若数列中的最大项是第项，则=_2(4)()3nn nkk【答案】4【解析】由题意得，得，因为，所以1122(4)()(1)(14)()3322(4)()(1)(14)()33kkkkk kkkk kkk 22(1)1010kkNk4k3（2014 湖南）已知数列na满足*11

17、1,|,.nnnaaapnN（）若na是递增数列，且12,3,23aaa成等差数列，求p的值；（）若12p，且21na是递增数列，2na是递减数列，求数列na的通项公式【解析】（I）因为是递增数列，所以而，na11nnnnnaaaap11a 因此又成等差数列，所以，因而，123,2,3aaa21343aaa230pp解得1,03pp当时，这与是递增数列矛盾故0p 1nnaa na13p（）由于是递增数列，因而，于是21na21210nnaa212221()()0nnnnaaaa但，所以2211122nn212221aaaannnn又，知，因此2210nnaa222121211(1)()22nnnnnaa因为是递减数列，同理可得，故 2na2120nnaa22121221(1)22nnnnnaa 由，即知，于是11(1)2nnnnaa，12111213211111111412111222233212nnnnnnnnaaaaaaaa 故数列的通项公式为 na141(1)332nnna