立体几何图形辅助线的思考策略.pdf

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1、立体几何图形辅助线的思考策略立体几何的证明或计算，离不开辅助线的探寻和构造，能否正确顺利地构造出所需要的辅助线是解题的关键特别是探索性的立体几何题，辅助线的探寻有一定的困难，但也有规律性，如果能够掌握不同情形下辅助线的构造策略，就能够做到不被具体图形所干扰，举一而反三【类型 1】过空间一点作两条异面直线的公共交线【策略】设空间一点为O，异面直线分别为a，b，先构造由点O 和直线 a 确定的平面，假设 b 平行于，则所求作的公共交线不存在；假设 b 不平行于，找出 b 与 的交点，即可作出交线【例 1】棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 O 是 B1C 的中点，M、N 分别为

2、 BB1、AB 的中点，过点 O 作直线 l 与 AM 交于点 P，与 CN 交于点 Q，求 PQ 的长度D1A1B1ODAQPMCC1EN图 1B【解析】如图 1，由点 O 与直线 AM 可以确定平面 AMED，其中 E 为 CC1的中点；延长 CN 交 AD 于点 Q点 Q 为直线 CN 与平面 AMED 的交点；连接 OQ 交 AM 于点 P，则 PQ 为所求线段 在直角梯形 OEDQ 中，不难计算得 PQ=【类型 2】过空间一点确定一条直线与已知直线垂直【策略】通过三垂线定理及其逆定理将两条直线的空间垂直关系转化为某一平面内的垂直关系；或者过空间该点构造平面与已知直线垂直【例 2】已知

3、平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，点 O 为底面 ABCD的中心，且 A1在底面 ABCD 上的射影是点 O，假设点 E、F 分别在棱 AA1、BC 上，且 AE=2EA1，问点 F 在何处时，EFAD？2 143D1A1EDHO图 2BFCB1C1A【解析】如图 2，假设 EFAD，则 EF 在平面 ABCD 上的射影也垂直于 BC；因为 A1O平面 ABCD，垂足为 O，取 AO 上一点 H，使 AH：HO=2：1，则 EHA1O，可得 EH平面 ABCD；在正方形 ABCD 中，作 HFBC 于点 F，则点 F 即为所求，且 BF：FC=1：2【类型 3】过空间一点作

4、已知平面的垂线【策略】1过已知空间点构作两个平面分别垂直于已知平面内的两条直线，则两个平面的交线即为所求垂线；2不受所给空间点的限制，任作或找一条直线垂直于已知平面，再将该直线平移至所给空间点处【例 3】长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，点 E 是平面 BCC1B1上的动点，点 F 是 CD 的中点，试确定点 E 的位置，使 D1E平面 AB1FA1B1G1C1D1MABENDFG图 3C【解析】如图 3，分别取 BC、B1C1的中点 G、G1，由正方形 ABCD 易知 AFDG，所以AF平面D1DGG1；作A1MAB1交B1B于M，取C1C上一点N，使C1N：

5、NC=B1M：MB，可得 AB1平面 A1MND1；设 MN 交 GG1于点 E，连接 D1E，则有 D1EAF，D1EAB，有 D1E平面 AB1F 由计算可得，B1M：MB=4：5 综上可确定 E 在平面 BCC1B1内的位置【例 4】已知 ABCD 是正方形，DE平面ABCD，BF平面ABCD，且AB=BF=2DE，问：在 EF 上是否存在一点 M，使三棱锥 M-ACF 是正三棱锥？假设存在，试确定点 M 的位置；假设不存在，请说明理由EMFDOAGC图 4B【解析】由题易知 AC=AF=CF，即 ACF 为正三角形，又 EOAC，EOOF，可得 EO平面 ACF；欲构成正三棱锥，则点

6、M 在平面 ACF 上的射影为 ACF 的中心G，G 在 OF 上，且 OG：GF=1：2；过点 G 作 GMEO 交 EF 于点 M，则 MGEO，于是有 MG平面 ACF，所以，在 EF 上存在一点 M 满足 EM：MF=1：2，使三棱锥M-ACF 是正三棱锥【类型 4】作两条异面直线的公垂线段【策略】公垂线与两条异面直线都相交，都垂直，且公垂线有且唯一，作起来颇有困难可以在不考虑相交的情况下，先利用线面平行、线面垂直等关系作出一条直线与两条异面直线都垂直，然后通过两次平移使其与两条异面直线都相交【例 5】已知正方形ABCD 与正方形 ADD1A1所在平面垂直，AB=a，求作异面直线 A1

7、D 与 AC 的公垂线段 PQ，并求 PQ 的长D1A1PDQO图 5BCMA【解析】由题意及三垂线定理易得BD1同时垂直于异面直线A1D和AC；在 BDD1中，取BD 中点 O，DD1中点 M，显然OMBD1，且2OM=BD1；AMO 中，记AM交 A1D 于点 P，过 P 作 PQOM 交 AO 于点 Q，则 PQOM，即 PQBD1，且3PQ=BD1 可得，PQ 是异面直线 A1D 与 AC 的公垂线段，且 PQ=3a3【类型 5】过点确定直线与已知平面平行；或过直线确定平面与已知直线平行【策略】在不考虑点的情况下作直线与已知平面平行，或在不考虑直线的情况下作平面与已知直线平行【例 6】

8、正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 Q 在对角线 B1D 上，使 A1B平面 QAC，试确定点 Q 的位置D1A1QDACB1C1O图 6B【解析】连接 AD1、CD1，显然有 CD1A1B，即有 A1B平面 ACD1；连接 OD1交 B1D 于点 Q，则点Q 为所求，即有A1B平面 QAC，同时，计算可得B1Q：QD=2：1以上各类探索题都有一些共通点：探求满足给定的条件的点或线由于所探求的点或线满足的条件多，思考时不易找到切入点此时，如果减少部分条件，先求得满足其余条件的一类点或线，再逐步加强条件，从而可以肯定或否认点的存在，获得问题的解决说明：文章中的图形可以编辑，不易变化大小下面的图形格式已转换，不可以编辑，但方便于变化大小，以供贵刊选用D1C1A1B1EODPMCANBQ图 1A1D1B11GC1MENADBFGC图 3D1A1MPDCAQO图 5BD1C1A1B1EDCAHOF图 2BEMFDGCOA图 4BD1C1A1B1QDCA图 6B