综合地球物理方法在某金多金属矿区找矿中的应用.pdf

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1、书书书第 卷 第期 年 月（页码：）地球物理学进展 ，魏雅利，骆遥基于 变换的剖面位场转换地球物理学进展，（）：，：，犘 狉 狅 犵 狉 犲 狊 狊 犻 狀犌 犲 狅 狆 犺 狔 狊（），（）：，：基于犎 犪 狉 狋 犾 犲 狔变换的剖面位场转换魏雅利，骆遥（北京市 信箱，北京 ；中国国土资源航空物探遥感中心，北京 ）摘要从位场理论和 变换出发，推导了 变换空间中位场解析延拓及垂向狀阶导数的频率响应，通过 变换给出位场水平一阶导数与垂向一阶导数的希尔伯特变换关系，建立了以 变换为基础可供延拓和求导的剖面位场转换系统较传统的频率域位场转换而言，基于 变换的剖面位场转换更为简洁，其正变换和逆变换的

2、形式完全一致，不涉及复数运算，且占用更少的计算机内存具有更高效的计算效率理论模型计算表明，基于 变换的剖面位场转换是正确可靠的，具有较高的计算精度关键词 变换，傅里叶变换，位场转换，频率响应，希尔伯特变换 ：中图分类号 文献标识码 犇狆 狅 狋 犲 狀 狋 犻 犪 犾 犳 犻 犲 犾 犱狋 狉 犪 狀 狊 犳 狅 狉 犿 犪 狋 犻 狅 狀犫 犪 狊 犲 犱狅 狀犎 犪 狉 狋 犾 犲 狔 狋 狉 犪 狀 狊 犳 狅 狉 犿 ，（犘犗犅 狅 狓 ，犅 犲 犻 犼 犻 狀 犵 ，犆 犺 犻 狀 犪；犆 犺 犻 狀 犪犃 犲 狉 狅犌 犲 狅 狆 犺 狔 狊 犻 犮 犪 犾犛 狌 狉 狏 犲 狔犪

3、 狀 犱犚 犲 犿 狅 狋 犲犛 犲 狀 狊 犻 狀 犵犆 犲 狀 狋 犲 狉犳 狅 狉犔 犪 狀 犱犪 狀 犱犚 犲 狊 狅 狌 狉 犮 犲 狊，犅 犲 犻 犼 犻 狀 犵 ，犆 犺 犻 狀 犪）犃 犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋 ，（），犓 犲 狔 狑 狅 狉 犱 狊 ，收稿日期 ；修回日期 基金项目国家高技术研究发展计划（计划）（）资助作者简介魏雅利，男，年生，河北唐山人，年毕业于北京大学地球物理学系，主要从事固体地球物理研究工作通讯作者骆遥，男，年生，辽宁沈阳人，年毕业于中国科学院地质与地球物理研究所，主要从事航空地球物理勘查工作（：）引言位场转换一直是重磁资料处理中最为重要的内容之一目前

4、，位场转换处理基本上是通过快速傅里叶变换在频率域中实现的我国自 年以地球物理学家侯重初等为代表的科研集体建立了基于傅里叶变换的位场转换系统以来，频率域位场转换基本没有实质性的改变，以傅里叶变换为基础的位场期魏雅利，等：基于 变换的剖面位场转换转换成为经典但傅里叶变换后的频率空间是复数空间，一定程度上稍显复杂，此外某些特定的转换处理也是不稳定的最近，张凤旭等，将余弦变换引入重磁场的谱分析中，对位场数据进行转换处理，其研究声称用余弦变换进行位场转换的精度高于傅里叶变换此外，张凤旭等还利用希尔伯特变换计算重力归一化总梯度，其研究表明希尔伯特变换计算重力归一化总梯度对异常识别的分辨率可能优于傅里叶级数

5、和傅里叶变换因此，对位场转换引入新的数学变换方法是具有实际意义的，可能会提高位场转换的计算速度，甚至转换精度 变换是电气工程师 在 年提出的一种类似傅里叶变换的积分变换著名傅里叶分析专家 于 年首次给出了离散 变 换（）随 后，不 少 学 者 提 出 了 变换的快速算法，即快速 变换（）理论上所需的内存和计算时间要比傅里叶变换节省近一半，已有大量关于 变换研 究 及 应 用 的 文 章 发 表 在 （）所属杂志上 变换完全可以替代傅里叶变换，其广泛的应用及显示出的重要作用也为地球物理学家所重视 等 介绍了 变换在地球物理中的应用，等 还应用 变换求解弹性波方程进行波场模拟，等 应用 变换进行地

6、震成像我国学者从上世纪 年代起开始研究 变换，并将其用于地震波场模拟以及偏移成像等方面工作 ，但是对其在位场方面的研究仍属空白目前，仅有国外学者将 变换用于位场数据处理、解释或谱分析中 由于 变换具有某些傅里叶变换所无法比拟的优势，本文将其引入位场理论，推导了延拓和导数计算的频率域响应因子，应用 变换更简洁地导出了水平一阶导数与垂向一阶导数的希尔伯特变换关系，实现了一种更为简单、高效的剖面位场转换系统，试图为传统的位场转换提供新的思路、方法和手段 变换实函数犳（狋）的 变换及其 逆变换可以被定义为，：犎（）槡犳（狋）（狋）狋，（）犳（狋）槡犎（）（狋），（）其中 （）给出了上述变换的离散形式，

7、即离散 变换对这种离散变换采用槡犖的比例因子，其 变换形式可以表示为：犎（狏）槡犖犖 狋 犳（狋）狏 狋（）犖，（）犳（狋）槡犖犖 狏犎（狏）狏 狋（）犖（）可以看出，变换及其逆变换具有完全相同的形式，构成严格对称的变换，一个序列经两次 变换能被完整恢复，并且变换是在实数空间进行的，这也是 变换的显著优势 变换与傅里叶变换存在着密 切 的 关系可以将犳（狋）经 变换后的结果分解成偶数部分犈（狏）和奇数部分犗（狏）：犎（狏）犈（狏）犗（狏），（）其中犈（狏）犎（狏）犎（狏）犗（狏）犎（狏）犎（狏）烅烄烆（）那么犳（狋）的傅里叶变换结果犉（狏）可以表示为：犉（狏）犈（狏）犗（狏），（）其中同样，犳

8、（狋）的 变换也可以用其傅里叶变换后的实部和虚部表述，有：犎（狏）犉（狏）犉（狏）（）上述关系意味着 中犖个复数（犖个实数）可以被 的犖个实数所表示，的 特性意味着 二倍的冗余，由于对称性，犖个实数所确定的正弦或余弦变换结果足以确定 的犖个复系数且不会损失任何信息 变换与傅里叶变换的关系表明基于傅里叶变换的位场理论是完全可以用 变换实现的为了进一步阐述上述关系，我们应用一小段位场数据进行说明表给 出 了 一 个 经 重 采 样 的 磁 异 常 犜犻经 离 散 变换和离散傅里叶变换后的结果（所有小数均保留两位）变换中 采用了与相同的比例因子，即槡犖表清晰表明对于确定的指标犻其 变换值恰是傅里叶变

9、换的实部、虚部之差，即式（）的对应关系由于离散变换中序列的指标非负，无数学分析中对应的负频率，我们将表中变换后的两种序列与数学分析中的频率一一对应，用频谱图象地球物理学进展 卷表某磁异常及其犎 犪 狉 狋 犾 犲 狔变换和傅里叶变换犜 犪 犫 犾 犲犕 犪 犵 狀 犲 狋 犻 犮犪 狀 狅 犿 犪 犾 犻 犲 狊狑 犻 狋 犺犻 狋 狊犎 犪 狉 狋 犾 犲 狔 狋 狉 犪 狀 狊 犳 狅 狉 犿犪 狀 犱犉 狅 狌 狉 犻 犲 狉 狋 狉 犪 狀 狊 犳 狅 狉 犿 犜犻 图 变换和傅里叶变换的关系（）磁异常及其 变换（）变换后分解的偶数部分与傅里叶变换的实部（）变换后分解的奇数部分与傅里叶

10、变换的虚部 （）（）（）表示图给出表中 变换与傅里叶变换的对应关系可以看出用式（）分解的偶数部分和奇数部分与傅里叶变换后得到的实部和虚部的对应关系，图形象的表述了式（）及式（）的关系，而关于负频率，则将在其后的位场转换中予以讨论上述适用于数值计算的离散 变换，同离散傅里叶变换一样具有快速算法事实上，已有的快速傅里叶变换算法（）均能用于 变换相对于 ，由于计算中不涉及开辟复数的内存及对复数中的实部和虚部分别计算，因而算法具有更简洁的编码及更高的内存使用与计算效率，这一点已为众多关于 变换的文献所证实，也是地震波场模拟及偏移中采用 变换的原因之一位场转换的 变换尽管文献 中使用 变换进行位场转换，

11、但其理论基础仅是同傅里叶变换的简单类比，缺乏系统的理论推导，变换采用的也是慢速算法因此有必要在 域讨论位场信号特有的解析延拓和垂向导数的频谱表达，通过快速 变换建立了一个包含水平及垂向导数求解、解析延拓的剖面位场转换系统，并给出具体实现如果观测边界处 的位场犝（狓，）已知，根据外部狄利克莱问题，其上半空间的位场可表示为：犝（狓，狕）狕犝（，）（狓）狕，（）其中狕式（）可以表示为褶积的形式：犝（狓，狕）狕狓狕犝（狓，），（）其中表示褶积对式（）进行 变换（犎犜表示 变换）有：犎 犜 犝（狓，狕（）狕犎 犜狓狕犝（狓，（）（）由于狓狕是偶函数，根据 变换中褶积的性质，若两个序列犳（狋）、犳（狋）中

12、有一个偶函数序列，那么这两个序列的褶积与 变换后的频谱存在类似傅里叶变换中的褶积定理：犳（狋）犳（狋）犎 犜犎（）犎（）（）于是，式（）可以进一步表示为：犎 犜（犝（狓，狕）狕犎 犜狓狕（）犎 犜（犝（狓，），（）其中犎 犜狓狕（）狓狕 （狓 狏）狓（）期魏雅利，等：基于 变换的剖面位场转换由于 函数中包含正弦函数这一奇函数，对式（）积分的求解，可直接采用位场傅里叶变换中类似的积分结果，即：犺狓犺 狏 狓狓犺狘狏狘，（）其中犺于是，式（）可以表示为：犎犜（犝（狓，狕）狕狘狏狘犎 犜（犝（狓，）（）式（）就是位场上半无源空间的 域谱实际上，从位场的频率域理论可知只要狕犎，犎是场源的最浅埋深，式（

13、）都是成立的因此，式（）是 变换中位场延拓的频谱表达对式（）关于狕求狀阶偏导数，有：狀犎犜（犝（狓，狕）狕狀狏狀狕狘狏狘犎 犜（犝（狓，），（）又由于犎犜（犝（狓，狕）犝（狓，狕）（狓 狏）狓，则有狀犎犜 犝（狓，狕（）狕狀 狀犝（狓，狕）狕狀 （狓 狏）狓，所以：犎 犜狀犝（狓，狕）狕（）狀狏狀狕狘狏狘犎 犜（犝（狓，），（）有：犎 犜狀犝（狓，）狕（）狀狏狀犎犜（犝（狓，），（）即为位场在 域的垂向狀阶导数谱对 于 水 平 导 数 的 频 谱 表 达，可 直 接 使 用 变换的微分性质，这不是位场信号中所特有的水平一阶导数和二阶导数与频率域频谱的对应关系为：犳狓（狓）犎 犜狏 犎（狏），（

14、）犳狓 狓（狓）犎 犜狏犎（狏）（）此 外，剖 面 位 场 满 足 二 维 拉 普 拉 斯 方 程犝狓犝狕，通过式（）也可以得到式（）的微分关系以上是实现剖面位场延拓与求导的理论基础，但程序中无负指标的约定，与通常数学分析中负频率的表示并不一致，下面将就 变换中位场转换的具体实现进行讨论实际的位场转换程序采用的是快速 变换，要求序列长度犖为的整数次幂为保证输入序列的长度以及减少 效应，通常需要对原始剖面数据进行扩边，使剖面的观测点数变为犖，此时剖面的总长度为称为基本波长，而称为基频设输入序列为犳犻（其中犻，犖），经快速 变换后的序列为犺犻当犻犖时，非负频率对应有狌犻犻；而当犻犖时，负频率狌则对

15、应有狌犻（犻犖）位场转换中，各种频率域响应因子中的狏指的是圆周频率，狏与频率狌的对应关系是狏 狌变换后的序列犺犻只需要乘上相应的频率响应因子再经一次 变换就可以得到转换后的位场值得注意的是，与傅里叶频率域位场转换不同，对水平一阶导数的求解还要考虑序列犺犻按相反的频率顺序翻转实际上，式（）水平一阶导数计算中的翻转关系同：犎（狏）犎 犐 （狏）犎（狏），（）类似式（）中犎（狏）犎 犐是序列的希尔伯特变换在 域的谱，（）是符号函数通过式（）和式（）希尔伯特变换与 变换的关系 以及式（）垂向导数的关系不难导出：犳狓（狓）犎 犐（犳狕（狓），（）其中犎 犐表示希尔伯特变换，即位场垂向一阶导数的希尔伯特变

16、换等价于其水平一阶导数类似地有：犳狕（狓）犎 犐（犳狓（狓）（）对于上述希尔伯特关系，张凤旭等在推导重力归一化总梯度的希尔伯特变换公式过程中，也得到类似关系，只不过张的希尔伯特变换关系是通过傅里叶变换推导的，其希尔伯特变换的数值解也是基于傅里叶变换求解的，其推导没有 域简洁因此，可以通过式（）、（）的关系进行位场一阶导数的转换，这种转换关系显得更加简洁希尔伯特变换可以通过式（）的关系 利用 变换实现，用于计算机实现的离散的希尔伯特变换算法则 可 以 通 过 两 次 快 速 变 换 直 接 实现，减少了间接利用 进行希尔伯特变换求解的复杂度理论模型计算与检验为了检验导出的解析延拓和求导的频率响应

17、以及其建立在 域的剖面位场转换系统，我们分别选取了不同高度上的磁异常和不同阶次的重力异常导数两组理论模型，对其进行数值上的检验选取个无限延深的二度体薄板作为不同高度磁异常正演的理论模型，图给出不同高度上犜异常曲线其中图（）是地面处（犺）的犜异地球物理学进展 卷常，图（）给出了距地面、和 高空处的犜异常，图（）给出了距地面 地下处（未达到场源最浅埋深）犜异常，测线点距均是 我们选取图（）给出的犜异常作为观测位场，进行解析延拓试验图给出了解析延拓的结果图不同高度出模型磁异常（）地面异常，（）高空异常，（）地下异常 ，（），（）（）图解析延拓结果及其绝对误差（）向上延拓结果；（）向下延拓结果；（）延

18、拓计算的绝对误差 （）（）（）图重力异常及其导数（）重力异常；（）一阶水平及垂向导数；（）二阶混合导数及垂向导数 （）（）（）图导数换算结果及其绝对误差（）一阶导数计算结果；（）二阶导数计算结果；（）计算的绝对误差 ，（），（）（）期魏雅利，等：基于 变换的剖面位场转换及延拓的绝对误差将图（）、上延结果同图（）的理论异常进行比较，可以看出延拓结果非常接近理论值；图（）给出的向下延拓（倍点距）后的犜曲线同图（）的理论异常也能较好对应图（）进一步给出了上延和下延计算的绝对误差，误差表明建立的位场转换无论是向上延拓还是向下延拓均具有较高精度同时，图（）也反映出随着延拓高度的增加，向上延拓的误差也会增

19、大同常规的频率域 下延 一样，域向下延拓的跨度也是非常有限的，其下延 的误差范围就接近于上延 时的绝对误差，这是因为下延因子对高频部分的放大作用极强；但 是，延 拓 过 程 采 用 了 较 更 为 快 速 的 变换，高效地进行成千上万次的向上延拓更为可行，这样便可采用迭代的方法 进行大跨度向下延拓，以增强大规模迭代下延的实用性导数计算采用的是个水平二度圆柱体模型，图分 别给 出了 正 演 计 算 的犞狕、犞狓 狕、犞狕 狕、犞狓 狕 狕和犞狕 狕 狕（其中犞表示引力位）由于水平二阶导数与垂向二阶导数存在犞狓 狓 狕犞狕 狕 狕的关系，且 域响应因子及程序实现完全一致，故计算中不对水平二阶导数进

20、行讨论，垂向二阶导数计算适用其检验图给出了用图（）中重力异常犞狕通过 变换换算出的导数及其绝对误差，对比图（）和图（）以及图（）和图（），可以看出转换的导数与理论模型非常吻合，图（）给出的绝对误差曲线则进一步说明了转换精度上述理论模型计算表明基于 变换建立的剖面位场转换系统是准确可靠的，且具有较高的转换精度，我们也将其同传统的位场转换进行对比，其转换精度等同于傅里叶变换，有些 转 换的 精度 甚至更 高但 就 程 序设 计 考虑，域位场转换更为简洁，并且占用更少的内存具有更为快速的计算速度结论从基本的位场理论和 变换出发，导出了位场 域延拓及垂向导数计算的响应因子，通过快速 变换建立了可供求导

21、和延拓的剖面位场转换系统理论模型表明 域解析延拓和导数计算具有很高的精度，其位场转换的精度等同于傅里叶变换由于快速 变换较快速傅里叶变换具有更高计算速度并占用更少的内存，其正变换和逆变换形式完全一致，且变换中不涉及复数的运算，所以基于 变换位场转换更为简单、高效，能为某些基于多次位场转换的迭代算法 如迭代法向下延拓 以及基于垂向导数或延拓计算的曲化平，等处理方法的实用化提供更为高效的计算手段本文使用的快速 变换程序可联系 通 讯 作 者 骆 遥（）免 费获取参考文献（）：北京师范大学数学系，国家地质总局一五工程方法组用二维富氏变换进行重磁位场的转换北京师范大学学报，（）：，（），（）：张凤旭，

22、孟令顺，张凤琴，等重力位谱分析及重力异常导数换算新方法 余弦变换地球物理学报，（）：，犲 狋 犪 犾 ：（），（）：张凤旭，张凤琴，孟令顺，等基于离散余弦变换的磁位谱分析及磁异常导数计算方法地球物理学报，（）：，犲 狋 犪 犾 （），（）：张凤旭，孟令顺，张凤琴，等利用 变换计算重力归一化总梯度地球物理学报，（）：，犲 狋犪 犾 （），（）：，（）：，（）：，（）：，（）：余品能，路凌云离散 变换的一种快速递归算法石油地球物理勘探，（）：，（），（）：地球物理学进展 卷 ，（）：，（）：，（）：甘利灯哈 特 莱 变 换 及 其 性 质 石 油 地 球 物 理 勘 探，（）：（），（）：缪林昌哈

23、特莱变换在数值模拟中的应用石油地球物理勘探，（）：（），（）：刘迎曦，张霖斌，赵振峰，等利用哈特莱变换进行井间声波波场正演模拟石油地球物理勘探，（）：，犲 狋 犪 犾 （），（）：尧德中，阮颖铮，周熙襄 变换法弹性波逆时偏移石油地球物理勘探，（）：，（），（）：周辉，何樵登利用 变换模拟各向异性介质地震波场石油地球物理勘探，（）：，（），（）：张文生裂步 变换叠前深度偏移石油物探，（）：（），（）：，（）：，：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：徐世浙迭代法与 法位场向下延拓效果的比较地球物理学报，（）：（），（）：刘金兰，王万银，于长春逐步逼近曲化平方法研究地球物理学报，（）：，（），（）：徐世浙，余海龙位场曲化平的插值迭代法地球物理学报，（）：，（），（）：