2011年第九届小学“希望杯”全国数学奥数试卷（四年级第2试）.pdf

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1、12011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第 2 试）一、填空题（每小题 5 分,共 60 分）1（5 分）计算：（704+904）4 2（5 分）计算：898+9898+99898+999898 3（5 分）对运算和,规定：abab+b,ababa,那么（23）（24）4（5 分）若一个能被 5 整除的两位数既不能被 3 整除,又不能被 4 整除,它的 97 倍是偶数,十位数字不小于 6,则这个两位数是 5（5 分）如图中每一横行右面的一个数减去它左面相邻的一个数所得的差都相等,每一数列下面的一个数除以它上面相邻的一个数所得的商都相等,则 a+bc 6（5 分）如果一个两位

2、数的 3 倍与 4 的差是 10 的倍数,它的 4 倍与 15 的差大于 60 且小于 100,则这个两位数是 7（5 分）若四位数的各个数位上的数字都是偶数,并且百位上的数字是 2,则这样的四位数有 个8（5 分）将长为 12 厘米,宽为 8 厘米的长方形纸片剪去 4 个同样大小的等腰直角三角形,剩余部分的面积至少是 平方厘米9（5 分）一个除法运算,被除数是 10,除数比 10 小,则可能出现的所有不同的余数的和是 10（5 分）苹果和梨各有若干个,若每袋 5 个苹果和 3 个梨,则当梨恰好装完时,还多 4 个苹果;若每袋装 7 个苹果和 3 个梨,则当苹果恰好装完时,梨还多 12 个,那

3、么苹果和梨共2有 个11（5 分）如图,在ABC 中,ABBCCA,D、E、F 分别是三边的中点,AD、BE、CF 交于点O,则图中有 个三角形;他们的面积有 个不同的值12（5 分）A、B、C、D 四人带着一个手电筒,要通过一个黑暗的只容 2 人走的隧道,每次先让 2 人带着手电筒通过,再由一人送回手电筒,又由 2 人带着手电筒通过,若A、B、C、D 四人单独通过隧道分别需要 3、4、5、6 分钟,则他们 4 人都通过至少需要 分钟二、解答题（每小题 15 分,共 60 分）13（15 分）摩托车行驶 120 千米与汽车行驶 180 千米所用的时间相同,7 小时内摩托车行驶的路程比 6 小时

4、内汽车行驶的路程少 80 千米,若摩托车先出发 2 小时,然后汽车从同一出发点开始追赶,那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车?14（15 分）将 1,10,11,15,18,37,40 这 7 个数分别填入图中的 7 个圆圈内（每个数都用到）,能否使其中两条直线上的三个数的和相等,并且等于另一条直线上的三个数的和的3 倍?若可以,请给出一种填法;若不能,请说明理由15（15 分）100 人参加速算测试,共 10 题每题答对的人数如下表所示：题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答对 9390 86 91 80 83 72 75 78 59 3人数规定：答对 6 题或 6 题以上,为及格

5、,根据上表计算至少有多少人及格16（15 分）如图,甲乙两只小虫分别从每边长 20 厘米不透明的正五角星围墙的顶点 A、B出发,沿外侧按逆时针方向爬行,甲每秒爬行 5 厘米,乙每秒爬行 4 厘米问：在甲从出发到第一次爬到 B 的过程中,乙能看到甲的时间有多少秒?42011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第 2 试）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 5 分,共 60 分）1（5 分）计算：（704+904）410【分析】可以先从括号里开始运算,而括号里两个除式,可以化成分数的形式,最后再算结果【解答】解：根据分析,原式（704+904）4（70+90）44160444041

6、0故答案是：10【点评】本题考查了四则运算的巧算,突破点是,将括号里的运算进行巧算,再求最后的结果2（5 分）计算：898+9898+99898+9998981110592【分析】此题一看便知,这式子里的数都接近整数,用凑整法把它变成：（898+22）+（9898+22）+（99898+22）+（999898+22）（9002）+（99002）+（999002）+（9999002）900+9900+99900+9999008再根据特点易想到把这些凑整的数化成乘积的 形式,便发现了乘法的分配律的运用,计算就简便了【解答】898+9898+99898+999898（9002）+（99002）+（9

7、99002）+（9999002）900+9900+99900+999900859100+99100+999100+99991008（9+99+999+9999）1008（10+100+1000+100004）1008（111104）1008111101004100811110004008111060081110592【点评】此题是反复运用凑整法和乘法的分配律并且是在解题过程中不断发现所用的运算定律3（5 分）对运算和,规定：abab+b,ababa,那么（23）（24）60【分析】按题意,则 2323+39;242426,则（23）（24）9696+660【解答】解：根据分析,则 2323+3

8、9,242426,则（23）（24）9696+660,故答案是：60【点评】本题考查了定义新运算,突破点是：分别算出 23 和 24,再算出结果4（5 分）若一个能被 5 整除的两位数既不能被 3 整除,又不能被 4 整除,它的 97 倍是偶数,十位数字不小于 6,则这个两位数是70【分析】显然,能被 5 整除,则个位只能是 0 或 5,而它的 97 倍是偶数,说明此两位数是一个偶数,故可以断定此两位数个位数字为 0,而十位不小于 6,只能是 6、7、8、9,因不能被 4 整除,则十位不能是 6、8,故十位只能是 7 或 9,又因为不能被 3 整除,故十位上只能6是 7【解答】解：根据分析,能

9、被 5 整除,则个位只能是 0 或 5,而它的 97 倍是偶数,说明此两位数是一个偶数,故可以断定此两位数个位数字为 0,而十位不小于 6,只能是 6、7、8、9,因不能被 4 整除,则十位不能是 6、8,故十位只能是 7 或 9,又因为不能被 3 整除,故十位上只能是 7综上,此两位数是 70,故答案是：70【点评】本题考查了数的整除特征,突破点是：从题中已知条件推测出个位数字和十位数字5（5 分）如图中每一横行右面的一个数减去它左面相邻的一个数所得的差都相等,每一数列下面的一个数除以它上面相邻的一个数所得的商都相等,则 a+bc540【分析】首先分析题意,横行为等差,竖列为等比数列,找到第

10、一行公差和数列的公比即可【解答】解：依题意可知：横行为等差,竖列为等比根据横行为等差数列可知第一行的数字为 2,4,6,8竖行是等比数列,故 1829所以 c 是 2 的 3 倍即是 6a 是 4 的 27 倍427108b 是 8 的 9 倍 72a+bc108+7265407故答案为：540【点评】本题考查对幻方的理解和运用,关键问题是找到公差和公比问题解决6（5 分）如果一个两位数的 3 倍与 4 的差是 10 的倍数,它的 4 倍与 15 的差大于 60 且小于 100,则这个两位数是28【分析】显然,两位数的 3 倍与 4 的差是 10 的倍数,可知此两位数的三倍得到的数的个位数是

11、4,而乘以 3 得到个位为 4 的两位数个位数为 8,由它的 4 倍与 15 的差大于 60 且小于 100,可求得此两位数的范围,不难求得此两位数【解答】解：根据分析,两位数的 3 倍与 4 的差是 10 的倍数,可知此两位数的三倍得到的数的个位数是 4,而乘以 3 得到个位为 4 的两位数个位数为 8;由它的 4 倍与 15 的差大于 60 且小于 100,可求得此两位数的范围：大于：,小于：,综上,此两位数为：28故答案是：28【点评】本题考查了因数与倍数,突破点是：根据因数与倍数的性质,以及两位数的范围求得两位数7（5 分）若四位数的各个数位上的数字都是偶数,并且百位上的数字是 2,则

12、这样的四位数有100个【分析】四位数的最高位是千位,最高位上不能为 0,那么可以是 2,4,6,8,而百位上只是2,固定好了,那么十位和个位上可以是 0,2,4,6,8,根据排列的特点可知：共有 455个不同的四位数【解答】解：千位可取 2,4,6,8,十位和各位都可以取 0,2,4,6,8所以 455100（个）故答案为：1008【点评】本题考查每个数位数字的特点,注意千位上不能取 08（5 分）将长为 12 厘米,宽为 8 厘米的长方形纸片剪去 4 个同样大小的等腰直角三角形,剩余部分的面积至少是24平方厘米【分析】长为 12 厘米,宽为 8 厘米的长方形纸片,显然最多只能剪下 4 个直角

13、边为 6 的等腰直角三角形,故剩下的面积不难求得【解答】解：根据分析,如图,长为 12 厘米,宽为 8 厘米的长方形纸片,最多只能剪下 4 个直角边为 6 的等腰直角三角形,故剩下的部分的面积至少12（86）24故答案是：24【点评】本题考查剪切和拼接,突破点是：利用长方形的长和宽的值,剪切时取最大值,则剩下的部分面积最小9（5 分）一个除法运算,被除数是 10,除数比 10 小,则可能出现的所有不同的余数的和是10【分析】除数比 10 小,可以将 10 除以 19,得出的余数中有 2 个是 0 即除以 1、5 时余数为 0,不同的余数为 1、2、3、4,再求和即可【解答】解：根据分析,106

14、14;10713;10812;10911;而 103 和 109 余数都是 1,104 和 108 余数都是 2,故不同的余数只有：1、2、3、4,9可能出现的所有不同的余数的和1+2+3+410故答案是：10【点评】本题考查带余除法,突破点是：将 10 除以 19,得出的余数中有 2 个是 0 即除以 1、5 时余数为 0,不同的余数为 1、2、3、4,再求和10（5 分）苹果和梨各有若干个,若每袋 5 个苹果和 3 个梨,则当梨恰好装完时,还多 4 个苹果;若每袋装 7 个苹果和 3 个梨,则当苹果恰好装完时,梨还多 12 个,那么苹果和梨共有132个【分析】首先分析根据梨的数量是多 12

15、 个,证明袋子少了 1234 袋再根据少的 4袋苹果数量为 20 加上剩余的 4 个就是 24 个平均每袋多 2 个共 12 袋子,即可求解【解答】解：依题意可知：根据梨的数量是多 12 个,证明袋子少了 1234 袋苹果差是 45+424 个24（75）12 袋,水果总数为 1012+12132故答案为：132【点评】本题考查对分配盈亏问题的理解和运用,关键问题是找到梨的数量差找到袋子的数量差问题解决11（5 分）如图,在ABC 中,ABBCCA,D、E、F 分别是三边的中点,AD、BE、CF 交于点O,则图中有16个三角形;他们的面积有4个不同的值【分析】要求三角形的个数和不同的面积的取值

16、,可以分情况讨论,从只含有一个小三角形的三角形开始算起,面积的不同取值也不难求得10【解答】解：根据分析,由题可知,ABBCCA,D、E、F 分别是三边的中点,只含有 1 个小三角形的三角形有：6 个,且每个三角形的面积均相等,且均等于三角形 ABC 面积的;含有 2 个小三角形的三角形有：3 个,且每个三角形的面积均相等,且均等于三角形 ABC 面积的;含有 3 个小三角形的三角形有：6 个,且每个三角形的面积均相等,且均等于三角形 ABC 面积的;含有 6 个小三角形的三角形有：1 个,即三角形 ABC,综上,则图中有 16 个三角形;他们的面积有 4 个不同的值故答案是：16、4【点评】

17、本题考查了三角形的面积,突破点是：根据图形的三角形的特点,分情况讨论,不难求得结果12（5 分）A、B、C、D 四人带着一个手电筒,要通过一个黑暗的只容 2 人走的隧道,每次先让 2 人带着手电筒通过,再由一人送回手电筒,又由 2 人带着手电筒通过,若A、B、C、D 四人单独通过隧道分别需要 3、4、5、6 分钟,则他们 4 人都通过至少需要21分钟【分析】四人要通过的时间要少,过隧道花费时间少的来回跑,即可得出结论【解答】解：分两种情况讨论：第一种：A 和 B 过,A 回,4+37（分钟）C 和 D 过,B 回,6+410（分钟）A 和 B 过,4（分钟）共用 7+10+421（分钟）;第二

18、种：A 和 B 过,A 回,4+37（分钟）11A 和 C 过,A 回,5+38（分钟）A 和 D 过,6（分钟）共用 7+8+621 分钟 所以,至少需要 21 分钟;故答案为 21【点评】此题是最大与最小问题,解本题的关键是安排过隧道花费时间少的送手电二、解答题（每小题 15 分,共 60 分）13（15 分）摩托车行驶 120 千米与汽车行驶 180 千米所用的时间相同,7 小时内摩托车行驶的路程比 6 小时内汽车行驶的路程少 80 千米,若摩托车先出发 2 小时,然后汽车从同一出发点开始追赶,那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车?【分析】首先分析两车的路程比即是速度比,根据路程差除以速

19、度差即可求解【解答】解：依题意可知：摩托车速度：汽车的速度120：1802：3每一份的路程为：80（3627）20（千米）摩托车 7 小时的路程为：2072280（千米）摩托车的速度为：280740（千米/小时）汽车 6 小时的路程为：2063360（千米）汽车的速度是：360660（千米/小时）402（6040）4（小时）答：那么汽车出发后 4 小时内可以追上摩托车【点评】本题考查对追及问题的理解和运用,关键问题是找到路程差与速度差问题解决14（15 分）将 1,10,11,15,18,37,40 这 7 个数分别填入图中的 7 个圆圈内（每个数都用到）,能否使其中两条直线上的三个数的和相等

20、,并且等于另一条直线上的三个数的和的123 倍?若可以,请给出一种填法;若不能,请说明理由【分析】首先根据这 7 个数字求和为 132再根据这些数字除以 7 的余数和 132 除以 7的余数组成 7 的倍数即可,【解答】解：依题意可知：设最小的和为 1 份,那么其他的为 3 份,最后加的数字和为 7的倍数才行1+10+11+15+18+37+40132这 7 个数字除以 7 的余数分别为 1,3,4,1,4,2,51327186根据中间数字多加 2 次,那么数字和为 7 的倍数,那么余数是 4 的可以构成 7 的倍数132+11+11154.154721故答案为：【点评】本题考查对凑数谜的理解

21、和运用,关键是找到数字和是 7 的倍数,问题解决15（15 分）100 人参加速算测试,共 10 题每题答对的人数如下表所示：题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答对人数 9390 86 91 80 83 72 75 78 59 13规定：答对 6 题或 6 题以上,为及格,根据上表计算至少有多少人及格【分析】先确定出答错的总人次,不及格的至少答错 5 道,即可得出得出结果【解答】解：各题答错的总人次数为 7+10+14+9+20+17+28+25+22+41193,每有一个人不及格,则他至少答错 5 题,1935383,所以至多有 38 人不及格,至少有 62 人及格 为说明是可以

22、的,注意 41 正好比 38 多 3,所以这 38 个人全都在第 10 题上答错,剩余的答错次数恰好平均分配到其他 9 题上答：至少有 62 人及格【点评】此题是最大与最小问题,主要考查了数的除法,确定出各题答错的总人次是解本题的关键16（15 分）如图,甲乙两只小虫分别从每边长 20 厘米不透明的正五角星围墙的顶点 A、B出发,沿外侧按逆时针方向爬行,甲每秒爬行 5 厘米,乙每秒爬行 4 厘米问：在甲从出发到第一次爬到 B 的过程中,乙能看到甲的时间有多少秒?【分析】设五角星的五个顶点按逆时针方向标为 B、B1、B2、B3、B4,形成顶点 B顶点 B1的区间一,顶点 B1顶点 B2的区间二,

23、以此类推到区间五根据题意,乙能看到甲的情况是他们必须在同一时间都行走在同一区间在区间一看到的时间：2054（秒）;区间二看到的时间：202410（秒）,203105605010（厘米）,1052（秒）;区间三的情况：甲到达 B3的时间是（10+20+20）510（秒）,乙移动距离1410440（厘米）,此时乙到达 B2,乙能看到甲的时间是 0,据此可解答【解答】解：区间一看到的时间：2054（秒）;区间二看到的时间：202410（秒）,203105605010（厘米）,1052（秒）;区间三能看到的时间：0总共乙能看到甲的时间有 2+46（秒）答：乙能看到甲的时间有 6 秒【点评】此题一定要结合生活实际去想去思考（什么情况下乙能看到甲）,然后确定解题思路,就能顺利解答,这真是生活中的数学