小学数学知识点例题精讲《中国剩余定理及余数性质拓展》学生版.pdf

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1、11.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2.掌握中国剩余定理的核心思想,并灵活运用一、中国剩余定理中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每 3 人一列余 1人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人.刘邦茫然而不知其数.我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一

2、列都剩 3 人,则兵有多少?首先我们先求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945（注：因为 5、9、13、17 为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加 3,得 9948（人）.孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位.（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位,他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三

3、,七七数之剩二,问物几何?）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知”这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem）,是我国古代数学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀,是说除以 3 所得的余数用 70 乘 五树梅花廿一枝,是说除以 5 所得的余数用 21 乘 七子团圆正月半,是说除以 7 所得的余数用 15 乘除百零五便得知,是说把上面乘得的 3 个积加起来,减去 105 的倍数,减得差就是所求的数此题的中国剩余定理的解法是：用 70 乘

4、3 除所得的余数,21 乘 5 除所得的余数,15 乘 7 除所得的余数,把这 3 个结果加起来,如果它大于 105,则减去 105,所得的差如果仍比 105 大,则继续减去 105,最后所得的整数就是所求也就是2703212 15233,233 105128,12810523为什么 70,21,15,105 有此神奇效用?70,21,15,105 是从何而来?先看 70,21,15,105 的性质：70 被 3 除余 1,被 5,7 整除,所以 70a 是一个被 3 除余 a 而被 5 与 7 整除的数;21 是 5 除余 1,被 3 与 7 整除的数,因此 21b 是被 5 除余 b,被

5、3 与 7 整除的数;同理 15c 是被 7除余 c,被 3、5 整除的数,105 是 3,5,7 的最小公倍数也就是说,702115abc是被 3 除余 a,被 5 除余 b,被 7 除余 c 的数,这个数可能是解答,但不一定是最小的,因此还要减去它们的公倍数了解了“剩余定理”的秘密后,对类似于上面的题目,我们都可以用中国剩余定理来解答知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-5-4.5-5-4.中国剩余定理中国剩余定理及余数性质拓展及余数性质拓展2二、核心思想和方法对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以孙子算经中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三

6、三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?题目中我们可以知道,一个自然数分别除以 3,5,7 后,得到三个余数分别为 2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以 3 余 1,并且还是 5 和 7 的公倍数.先由5735,即 5 和 7 的最小公倍数出发,先看 35 除以 3 余 2,不符合要求,那么就继续看 5 和 7 的“下一个”倍数35270是否可以,很显然 70 除以 3 余 1类似的,我们再构造一个除以 5 余 1,同时又是 3 和 7 的公倍数的数字,显然 21 可以符合要求.最后再构造除以 7 余 1,同时又是 3,5 公倍数的数字,45 符合要求,那么所

7、求的自然数可以这样计算：2703212453,5,72333,5,7kk,其中 k 是自然数.也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算2703212452 3,5,723 得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的 23 加上3,5,7即可,即 23+105=128.模块一、余数性质综合【例例 1】1】一个数除以 3 的余数是 2,除以 5 的余数是 1,则这个数除以 15 的余数是 .【例例 2】2】有一群猴子正要分 56 个桃子每

8、只猴子可以分到同样个数的桃子.这时又窜来 4 只猴子.只好重新分配,但要使每只猴子分到同样个数的桃子,必须扔掉一个桃子则最后每只猴子分到桃子_个.【巩固巩固巩固】一群猴子分桃,桃子共有 56 个,每只猴子可以分到同样多的桃子.但在它们正要分桃时,又来了 4 只猴子,于是重新分配这些桃子,结果每只猴子分到的桃子数量相同,那么最后每只猴子分到 个桃子.【例例 3】3】一个小于 200 的数,它除以 11 余 8,除以 13 余 10,这个数是几?例题精讲例题精讲3【巩固巩固巩固】不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组 5 人,其他人按 8 人一组围在外圈;另一种是中间一组 8 人

9、,其他人按 5 人一组围在外圈.问最多有多少名同学?【例例 4】4】5 年级 3 班同学上体育课,排成 3 行少 1 人,排成 4 行多 3 人,排成 5 行少 1 人,排成 6 排多 5 人,问上体育课的同学最少_人.【巩固巩固巩固】有一个自然数,除以 2 余 1,除以 3 余 2,除以 4 余 3,除以 5 余 4,除以 6 余 5,则这个数最小是 .【巩固巩固巩固】n除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以16余15.n最小为 .【巩固巩固巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动,若 1 人拿 3 个动物小玩具,则最后余下 2 个动物小玩具;若 1 人拿 4 个动物小玩具,

10、则最后余下 3 个动物小玩具;若 1 人拿 5 个动物小玩具,则最后余下 4 动物小玩具.那么这次活动中小朋友至少拿了_个动物小玩具.【巩固巩固巩固】小朋友们做游戏,若 3 人分成一组,则最后余下 2 人;若 4 人分成一组,则最后余下 3 人;若 5 人分成一组,则最后余下 4 人.那么一起做游戏的小朋友至少有 人.【例例 5】5】一个自然数被 7,8,9 除的余数分别是 1,2,3,并且三个商数的和是 570,求这个自然数4【例例 6】6】数 119 很奇特：当被 2 除时,余数为 1;当被 3 除时,余数为 2;当被 4 除时,余数为 3;当被 5 除时,余数为 4;当被 6 除时,余数

11、为 5问：具有这种性质的三位数还有几个?【巩固巩固巩固】有一批图书总数在 1000 本以内,若按 24 本书包成一捆,则最后一捆差 2 本;若按 28 本书包成一捆,最后一捆还是差 2 本书;若按 32 本包一捆,则最后一捆是 30 本那么这批图书共有本【例例 7】7】某个自然数除以 2 余 1,除以 3 余 2,除以 4 余 1,除以 5 也余 1,则这个数最小是 .【例例 8】8】一个大于 10 的自然数,除以 5 余 3,除以 7 余 1,除以 9 余 8,那么满足条件的自然数最小为多少?【巩固巩固巩固】一个大于 10 的数,除以 3 余 1,除以 5 余 2,除以 11 余 7,问满足

12、条件的最小自然数是多少?【例例 9】9】a是一个三位数.它的百位数字是 4,9a 能被 7 整除,7a 能被 9 整除,问a是多少?【例例 10】10】一个八位数,它被 3 除余 1,被 4 除余 2,被 11 恰好整除,已知这个八位数的前 6 位是 257633,那么它的后两位数字是_.5模块二、中国剩余定理【例例 11】11】“民间流传着一则故事韩信点兵 秦朝末年,楚汉相争一次,韩信将 1500 名将士与楚王大将李锋交战苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人忽有后军来报,说有楚军骑兵追来,韩信便急速点兵迎敌他命令士兵 3 人一排,结果多出 2 名;接着命令士兵 5 人一排,结果多

13、出 3 名;他又命令士兵 7 人一排,结果又多出 2 名韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人”根据故事中的条件,你能算出韩信有多少将士么?【例例 12】12】一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 4,问满足条件的最小自然数_.【例例 13】13】一个自然数在 1000 和 1200 之间,且被 3 除余 1,被 5 除余 2,被 7 除余 3,求符合条件的数【例例 14】14】一个数除以 3、5、7、11 的余数分别是 2、3、4、5,求符合条件的最小的数 6【例例 15】15】有连续的三个自然数a、1a、2a,

14、它们恰好分别是 9、8、7 的倍数,求这三个自然数中最小的数至少是多少?模块三、余数性质的拓展应用新中国剩余定理【例例 16】16】有一个数,除以 3 余 2,除以 4 余 1,问这个数除以 12 余几?【例例 17】17】如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个),小明像玩跳棋那样,从A孔出发沿着逆时针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到 A 孔他先试着每隔 2 孔跳一步,结果只能跳到 B 孔他又试着每隔 4 孔跳一步,也只能跳到 B 孔最后他每隔 6 孔跳一步,正好跳回到 A 孔,你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?BA【例例 18】18】三个连续三位数的和能够被 13 整除,且这

15、三个数中最大的数被 9 除余 4,那么符合条件的三位数中最小的数最大是 .7【例例 19】19】某小学的六年级有一百多名学生若按三人一行排队,则多出一人;若按五人一行排队,则多出二人;若按七人一行排队,则多出一人该年级的人数是 【例例 20】20】智慧老人到小明的年级访问,小明说他们年级共一百多名同学,老人请同学们按三人一行排队,结果多出一人,按五人一行排队,结果多出二人,按七人一行排队,结果多出一人,老人说我知道你们年级原人数应该是（）人.【例例 21】21】三个连续的自然数,从小到大依次是 4、7、9 的倍数,这三个自然数的和最小是 【例例 22】22】在 200 至 300 之间,有三个连续的自然数,其中,最小的能被 3 整除,中间的能被 7 整除,最大的能被13 整除,那么这样的三个连续自然数分别是多少?【例例 23】23】有三个连续自然数,其中最小的能被 15 整除,中间的能被 17 整除,最大的能被 19 整除,请写出一组这样的三个连续自然数