六年级数学奥数习题讲义《“牛吃草”问题》.pdf

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1、1六年级数学奥数习题讲义-第 39 讲“牛吃草”问题一、知识要点一、知识要点牛吃草问题是牛顿问题,因牛顿提出而得名的.“一堆草可供 10 头牛吃 3 天,供 6 头牛吃几天?”这题很简单,用 3106=5（天）,如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了.因为草每天走在生长,草的数量在不断变化.这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题.解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量.牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天新长出的草是不变的.正确计算草地上原有的草及每天长出的草,问题就容易解决了.二、精讲精练二、精讲精练【例题例题

2、 1】1】一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃9 周,那么这片草地可供 21 头牛吃几周?这片草地上的草的数量每天都在变化,解题的关键应找到不变量即原来的草的数量.因为总草量可以分成两部分:原有的草与新长出的草.新长出的草虽然在变,但应注意到是匀速生长,因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的.假设 1 头牛一周吃的草的数量为 1 份,那么 27 头牛 6 周需要吃 276=162（份）,此时新草与原有的草均被吃完;23 头牛 9 周需吃 239=207（份）,此时新草与原有的草也均被吃完.而 162 份是原有的草的数量与 6 周新长出的草的数量

3、的总和;207 份是原有的草的数量与9 周新长出的草的数量的总和,因此每周新长出的草的份数为:（207-162）（9-6）=15（份）,所以,原有草的数量为:162-156=72（份）.这片草地每周新长草 15 份相当于可安排 15 头牛专吃新长出来的草,于是这片草地可供 21 头牛吃 72（21-15）12（周）练习练习 1 11、一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供 24 头牛吃 6 天,20 头牛吃 10 天,那么可供19 头牛吃几天?22、牧场上一片草地,每天牧草都匀速生长,这片牧草可供 10 头牛吃 20 天,或者可供 15头牛吃 10 天,问可供 25 头牛吃几天?3、牧场上的青

4、草每天都在匀速生长,这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周,那么这片草地可供 21 头牛吃几周?【例题例题 2】2】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少.已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 15 头牛吃 6 天.照此计算,可供多少头牛吃 10 天?与例 1 不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少,但是,我们同样可以利用与例 1 类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量.设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份,20 头牛 5 天吃 100 份,15 头牛 6 天吃 90 份,100-90=10（份）,说明寒冷的天气使牧场

5、1 天减少青草 10 份,也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于 10 头牛在吃草.由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”,再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于 10 头牛同时在吃草,所以原有草两有（20+10）5=150（份）,由15010=15 知道,牧场原有的草可供 15 头牛吃 10 天.由寒冷导致的原因占去 10 头牛吃的草,所以可供 5 头牛吃 10 天.练习练习 2:2:1、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草每天以均匀的速度在减少.经计算,牧场上的草可供20 头牛吃 5 天或可供 16 头牛吃 6 天.那么,可供 11 头牛吃几天?32、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草以固定速度在减

6、少.已知牧场上的草可供 33 头牛吃5 天或可供 24 头牛吃 6 天.照此计算,这个牧场可供多少头牛吃 10 天?3、经测算,地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年,或可供 80 亿人生活 300 年.假设地球新生成的资源增长速度是一样的,那么,为满足人类不断发展的需要,地球最多能养活多少亿人?【例题例题 3】3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼.已知男孩每分钟走 20 级台阶,女孩每分钟走 15 级台阶,结果男孩用 5 分钟到达楼上,女孩用了 6 分钟到达楼上.问:该扶梯共有多少级台阶?与前两个题比较,“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”,“草”变成了“

7、台阶”,“牛”变成了“速度”,也可以看成是牛吃草问题.上楼的速度可以分为两部分:一部分是男、女孩自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度.男孩 5 分钟走了 205=100（级）,女孩 6 分钟走了 156=90（级）,女孩比男孩少走了 10090=10（级）,多用了 65=1（分钟）,说明电梯 1 分钟走 10 级.因男孩 5 分钟到达楼上,他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和.所以,扶梯共有（20+10）5=150（级）练习练习 3:3:1、自动扶梯以均匀速度行驶着,渺小明和小红从扶梯上楼.已知小明每分钟走 25 级台阶,小红每分钟走 20 级台阶,结果小明用 5 分钟,小红用了 6 分钟

8、分别到达楼上.该扶梯共有多少级台阶?42、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走.在 20 秒钟里,男孩可走 27 级台阶,女孩可走 24 级台阶,男孩走了 2 分钟到达另一端,女孩走了 3 分钟到达另一端,该扶梯共有多少级台阶?3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶逃向井底.白天往下爬,两只蜗牛白天爬行的速度是不同的.一只每天白天爬 20 分米,另一只爬 15 分米.黑夜里往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同的.结果一只蜗牛恰好用了 5 个昼夜到达井底,另一只蜗牛恰好用了 6 个昼夜到达井底.那么,井深多少米?【例题例题 4】4】一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些

9、水.如果用 12 人舀水,3 小时舀完.如果只有 5 个人舀水,要 10 小时才能舀完.现在要想 2 小时舀完,需要多少人?已漏进的水,加上 3 小时漏进的水,每小时需要（123）人舀完,也就是 36 人用 1 小时才能舀完.已漏进的水,加上 10 小时漏进的水,每小时需要（510）人舀完,也就是 50 人用1 小时才能舀完.通过比较,我们可以得出 1 小时内漏进的水及船中已漏进的水.1 小时漏进的水,2 个人用 1 小时能舀完:（510123）（103）=2已漏进的水:（122）3=30已漏进的水加上 2 小时漏进的水,需 34 人 1 小时完成:30+22=34用 2 小时来舀完这些水需要

10、 17 人:342=17（人）5练习练习 4:4:1、有一水池,池底有泉水不断涌出.用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干,用 15 部相同的抽水机 10 小时可以把水抽干.那么用 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干?2、有一个长方形的水箱,上面有一个注水孔,底面有一个出水孔,两孔同时打开后,如果每小时注水 30 立方分米,7 小时可以注满水箱;如果每小时注水 45 立方分米,注满水箱可少用 2.5 小时.那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）?3、有一水井,连续不段涌出泉水,每分钟涌出的水量相等.如果用 3 台抽水机来抽水,36分钟可以抽完;如果使用 5 台

11、抽水机,20 分钟抽完.现在 12 分钟内要抽完井水,需要抽水机多少台?【例题例题 5】5】有三块草地,面积分别为 5,6,和 8 公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.六年级数学奥数习题讲义-第一块草荐地可供 11 头牛吃 10 天,六年级数学奥数习题讲义-第二块草地可供 12 头牛吃 14 天.问六年级数学奥数习题讲义-第三块草地可供 19 头牛吃多少天?前几天我们接触的是在同一块草地上,同一个水池中,现在是三块面积不同的草地.为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来.即5,6,8=120这样,六年级数学奥数习题讲义-第一块 5 公顷可供 11 头牛吃 10 天,1205=24,变

12、为 120公顷草地可供 1124=264（头）牛吃 10 天六年级数学奥数习题讲义-第二块 6 公顷可供 12 头牛吃 14 天,1206=20,变为 120 公6顷草地可供 1220=240（头）牛吃 14 天.1208=15.问题变成:120 公顷草地可供 1915=285（头）牛吃几天?因为草地面积相同,可忽略具体公顷数,原题可变为:一块草地匀速生长,可供 264 头牛吃 10 天或供 240 头牛吃 14 天,那么可供 285 头牛齿及天?即每天新长出的草:（2401426410）（1410）=180（份）草地原有草:（264180）10=840（份）可供 285 头牛吃的时间:840

13、（285180）=8（天）答:六年级数学奥数习题讲义-第三块草地可供 19 头牛吃 8 天.练习练习 5:5:1、某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多.从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开 4 个检票口需 30 分钟,同时开 5 个检票口需 20 分钟.如果同时打开 7 个检票口,那么需多少分钟?2、快、中、慢三车同时从 A 地出发,追赶一辆正在行驶的自行车,三车的速度分别是嵋小时 24 千米、20 千米、19 千米.快车追上自行车用了 6 小时,中车追上自行车用了 10 小时,慢车追上自行车用多少小时?3、一个牧场上的青草每天都匀速生长.这片青草可供 17 头牛吃 30 天,或供 19 头牛吃24 天.现有一群牛吃了 6 天后卖掉 4 头,余下的牛又吃了 2 天将草吃完.这群牛原来有多少头?