小学数学知识点例题精讲《差倍问题（一）》教师版.pdf

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1、11.掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题.2.熟练应用通过图示来表示数量关系差倍问题就是已知大小两数的差,以及大小两数的倍数关系,求大小两数的问题差倍问题的特点与和倍问题类似.解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差,一般情况下,在题目中不直接给出,需要经过调整和计算才能得到.解题思路：首先要在题目中找到 1 倍量,然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应,相除后得到的结果是一倍量差倍问题的基本关系式：差(倍数1)=1倍数(较小数)1倍数几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数解决差倍问题,关键是学会画线段图,这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关

2、系 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变.【例例 1】两个整数,差为 l6,一个是另一个的 5 倍这两个数分别是（）和（）【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】走美杯,3 年级,初赛【解析】本题属于和差问题.小数：16（5-1）=4;大数：45=20 或 4+16=20.【答案】小数4,大数20【例例 2】李爷爷家养的鸭比鹅多18只,鸭的只数是鹅的3倍,你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗?【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】引导学生画图,但是一定要强调差所对应的份数,这样我们就可以求一份量（一倍量）,从而解决题目与18只相对应,这样就可以求出一倍数也就

3、是鹅的只数,求出了鹅的只数,鸭的只数就容易求出来了鸭与鹅只数的倍数差是3 12（倍）,鹅有1829(只),鸭有 9327(只).【答案】鹅9只,鸭27只【巩固巩固】甲班的图书本数比乙班多 80 本,甲班的图书本数是乙班的 3 倍,甲班和乙班各有图书多少本?【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】乙班的本数：80（3-1）=40（本）甲班的本数：403=120（本）或 4080=120（本）.【答案】甲班120本,乙班40本例题精讲例题精讲知识精讲知识精讲教学目标教学目标6-1-6.6-1-6.差倍问题（一）差倍问题（一）2【巩固巩固】两个书架,甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍,

4、甲书架比乙书架存书多120本,则乙书架存书多少本?【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】多的120本相当于乙书架的4倍,则乙书架的书为：120430（本）【答案】30本【例例 3】开学前 6 天,小明还没做寒假数学作业,而小强已完成了 60 道题,开学时,两人都完成了数学作业.在这 6 天中,小明做的题的数目是小强的 3 倍,他平均每天做（）道题.【例例 4】（A）6 (B)9 (C)12 (D)15【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】选择【关键词】华杯赛,初赛,第 2 题【解析】由于开学前 6 填时小强比小明多做了 60 道题,而开学时两人做的题一样多,所以这 6 填中

5、小明比小强多做了 60 道题,而这 6 天中小明做的题的数目是小强的 3 倍,所以这 6 天小明做了 60（3-1）3=90 道题,他平均每天做 906=15 道题.正确答案为 D.【答案】D【例例 5】小芳在看一本图画书,她说：由她所说,可知这本书共有 页.【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,二试,第 5 题【解析】方法一：看完的是没有看完的2.4倍,且比没有看完的多42页,所以没有看完的是422.41=30（页）,书的页数为：3012.4=102（页）.方法二：设没看的页数为x,2.4x=x+42,x=30,看完的页数为 30+42=72 页,所以全书共

6、有 30+72=102 页【答案】102页【例例 6】6】箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球每次取出 5 个乒乓球和 3 个羽毛球,取了几次之后,乒乓球恰好没有了,羽毛球还有 6 个,则一共取了_次,原来有乒乓球和羽毛球各_个【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,4 题【解析】共取了6(53)3(次),原有乒乓球5315(个),所以原有羽毛球也是 15 个【答案】取3次,羽毛球15个,乒乓球15个【例例 7】7】小张有 200 支铅笔,小李有 20 支钢笔每次小张给小李 6 支铅笔,小李还给小张 1 支钢笔经过_次这样的交换后,小张手中铅笔的数量是小李手

7、中钢笔数量的 11 倍【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初试,2 题【解析解析解析】方法一：题目中所求为小张手中铅笔的数量和小李手中的钢笔数量,而每一次交换,小张会减少支铅笔,而小李会少一支钢笔;设经过x次这样的交换后,小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔的数量的 11 倍.则200611 20 xx,解之得x.3方法二：为了使得每次都交换 6 支,那么设小李有钢笔 206120 支,每次交换后的差不（1）如右表,调整不变量（差）;（2）共交换了（2001116）64 次.【答案】4次【例例 8】甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同若甲每天增加自学时间半小时,

8、乙每天减少自学时间半小时,则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间问：甲、乙原定每天自学的时间是多少?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】改变后,甲每天比乙多自学1小时,即60分钟它是乙现在五天自学的时间,即乙现在每天自学：60(61)12（分）,原来每天自学的时间是：123042（分）【答案】42分钟【巩固巩固】某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人,现在把室内活动的50人改为室外活动,这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍,则参加室内、室外活动的共有多少人?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】原来室外、室内活动人数相差480人,现把

9、室内的50人改为室外活动,这样室外活动人数比室内人数多480502580(人),这时室外活动人数正好是室内人数的5倍,580人相当于现在室内活动人数的514(倍),这样可先求出现在室内活动人数为5804145,再求出室内、外人数之和：145(51)870人【答案】870人【例例 9】某校五年级比六年级人数少154人,若六年级学生再转来46人,则六年级学生是五年级学生的3倍,问五、六年级各有多少人?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】五年级人数为：(15446)(3 1)100（人）,六年级的人数：100154254（人）【答案】五年级100人,六年级254人【巩固】小云比小雨

10、少 20 本书,后来小云丢了 5 本书,小雨新买了 11 本书,这时小雨的书比小云的书多 2 倍.问：原来两人各有多少本书?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】小雨的书比小云的书多 2 倍”,即小雨的书是小云的书的 3 倍.这个“倍数”是变化后的,所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图).“差”是 2051136(本).,小云现有书：(20511)(3-1)18(本);小云原来有书 18523(本),小雨原来有书 232043(本).【答案】小云23本,小雨43本【例例 10】学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱,白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱,学而思学校买来白粉笔和

11、彩色粉笔各多少箱?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】这不是一道典型的“差倍问题”,但我们可以通过适当的变形,将其作为一个典型的“差倍问题”来解决见上图,由于白笔比彩笔的4倍多3箱,故把彩笔看做1倍数,(白笔3)就相当于彩笔的4倍,即彩笔比(白笔3)少3倍,注意此时白笔比彩笔多15312（箱）彩色粉笔的箱数1234(箱),白色粉笔的箱数：4+15=19(箱)【答案】白粉笔19箱,彩色粉笔4箱【巩固】学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱,白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱,学而思学校买来白4粉笔和彩色粉笔各多少箱?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】把彩笔看做

12、1倍数,(白笔3)就相当于彩笔的4倍,即彩笔比(白笔3)少3倍,注意此时白笔比彩笔多15+3=18箱彩色粉笔的箱数1836(箱),白色粉笔的箱数：61521(箱)【答案】白粉笔21箱,彩色粉笔6箱【例例 11】有两根铁丝,第一根长18米,第二根长10米,两根铁丝用去同样长的一段后,第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍,两根铁丝各剩下多少米?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】引导学生画图,并找出本题中数与份数之间的关系以学生探索为主,教师指导为铺用去同样长的一段后,两段长度差为：18108（米）,且第一根比第二根多：3 12（倍）,则第二根剩下：824（米）,第一根剩下：4

13、312（米）【答案】第一根剩下12米,第二根剩下4米【巩固】有两条纸带,一条长21厘米,一条长13厘米,两条纸带都剪下同样的一段后,长纸带剩下的长度是短纸带剩下的3倍,问剪下的一段有多长?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长：21 138（厘米）,短纸带剩下：8(3 1)4（厘米）,剪下：1349（厘米）【答案】9厘米【巩固巩固】两根绳,第一根长64米,第二根长52米,剪去同样长后,第一根是第二根的3倍,求每根绳减去几米?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】剪去同样长后,第一根比第二根长(6452)米,因此,第二根剩下的长为

14、(6452)(3 1)6米,从而剪去的长度为52646米【答案】46米【巩固巩固】两条纸带,较长的一条为 23cm,较短的一条为 15cm.把两条纸带剪下同样长的一段后,剩下的两条纸带中,要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍,那么剪下的长度至少是()cm.（A）6（B）7（C）8（D）9【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】选择【关键词】华杯赛,初赛,第 2 题【解析】B,设剪下的长度为x厘米则可以列出不等式：23-x2（15-x）,整理得x7,所以剪下的长度至少是 7 厘米.【答案】B【例例 12】有大小两个桶原来水一样多,如果从小桶倒8千克水到大桶,则大桶中水是小桶的3倍,求

15、原来大桶有水多少千克?【考点】和倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】现在大桶水比小桶水多：8216（千克）,所以现在小桶中的水是：16(3 1)8（千克）,而原来大桶中有水是：8216（千克）【答案】16千克【例例 13】两筐千克数相同的苹果,甲筐卖出 7 千克,乙筐卖出 19 千克后,甲筐余下的千克数是乙筐的 3 倍,两筐苹果原来各有多少千克?【考点】和倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】用下图表示它们的关系：设乙筐余下的千克数为 1 份,则甲筐余下的千克数为 3 份,甲、乙两筐余下的苹果相差3 12 （份）原来甲、乙两筐苹果的千克数相同,甲筐卖出 7 千克,乙筐卖出 19

16、千克,说明甲筐比乙筐少卖出519712（千克）,也就是乙筐余下的苹果比甲筐少 12 千克,所以甲、乙两筐余下的差是 12 千克,所对应的份数差是 2,从而可以求出 1 份及两筐苹果原来的重量,甲、乙两筐余下的苹果数相差19712（千克）,乙筐余下苹果的数是123 16（）（千克）,甲、乙两筐原来各有苹果的数量61925（千克）【答案】25千克【巩固巩固】两块同样长的花布,第一块卖出 31 米,第二块卖出 19 米后,第二块是第一块的 4 倍,求每块花布原有多少米?【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】已知两块花布同样长,由于第一块卖出的多,第二块卖出的少,因此第一块剩下的少,第

17、二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多 31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的 4 倍,那么第二块比第一块多出的 12 米正好相当于所剩布的（4-1）倍,这 样,第一块所剩布的长度即可求出：第二块布比第一块布多剩多少米?31-1912（米）,第一块布剩下多少米?12（4-1）=4（米）第一块布原有多少米?4+31=35（米）（两块布原有长度相等）,综合列式：（31-19）（4-1）+31=123+31=431=35（米）【答案】两块花布原有长度相等为35米【巩固巩固】两筐苹果一样重.第一筐卖出 8 千克,第二筐卖出 16 千克.第一筐中剩下的苹果恰好是第二筐中剩下的 3 倍.原

18、来每筐苹果重 千克.【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,3 年级,决赛【解析】第一筐剩下的是第二筐的 3 倍,那么就多 2 倍,得到：161683 120千克.【答案】20千克【例例 14】有两根同样长的绳子,第一根截去 12 米,第二根接上 14 米,这时第二根长度是第一根长的 3 倍,这两根绳子原来长多少米?【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】用下图表示它们的关系：两根绳子原来的长度一样长,但是从第一根截去 12 米,第二根绳子又接上 14 米后,第二根的长度是第一根的 3 倍应该把变化后的第一根长度看作 1 倍,而121426（米）,正好相当

19、于第一根绳子剩下的长度的 2 倍所以,当从第一根截去 12 米后剩下的长度可以求出来了,那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了所以,第一根截去 12 米剩下的长度：12143 113（）（）（米）两根绳子原来的长度：131225（米）【答案】25米【巩固巩固】甲、乙两桶油重量相等,甲桶取走16千克油,乙桶加入14千克油后,乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍甲桶原来有油多少千克?【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】后来乙比甲多141630千克油,所以这时甲桶油的重量是：30(41)10(千克),甲桶原来有油101626(千克)【答案】26千克【巩固巩固】三（1）班与三（2）班

20、原有图书数一样多.后来,三（1）班又买来新书 74 本,三（2）班从本班原书中拿出 96 本送给一年级小同学,这时,三（1）班图书是三（2）班的 3 倍,求两班原有图书各多少本?6【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书 74 本,即增加了 74 本;三（2）班从本班原有图书中取出 96 本送给一年级同学,则图书减少了 96 本.结果是一个班增加,另一个班减少,这样两个班图书就相差 96+74170（本）,也就是三（1）班比三（2）班多了 170 本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的 3 倍,可见这 170 本图书就相当于三

21、（2）班所剩图书的 3-1=2 倍,三（2）班所剩图书本数就可以求出来了,随之原有图书本数也就求出来了（见下图）：后来三（1）班比三（2）班图书多多少本?7496=170（本）三（2）班剩下的图书是多少本?170（3-1）=85（本）三（2）班原有图书多少本?8596=181（本）（两个班原有图书一样多）综合算式：（7496）（3-1）961702+968596=181（本）【答案】两个班原有图书一样多为 181 本【例例 15】大桶里有油 60 千克,小桶里有油 30 千克将两个桶的油卖出同样多以后,所剩下的油中,大桶是小桶的 4 倍问两个桶各剩油多少千克?【考点】和倍问题 【难度】3 星

22、【题型】解答【解析】用下图表示它们的关系：卖出同样多的油,可知两个桶里所有油的差总保持不变,因此这是一个差倍问题小桶所剩的油为倍数,大桶剩油是小桶剩油的 4 倍,所以大桶剩油比小桶剩油多413（倍）而大桶比小桶多的油总保持不变,是603030（千克）再利用差倍问题的公式就可解决小桶剩下的油是：30310（千克）,大桶剩下的油是：10440（千克）【答案】小桶10千克,大桶40千克【巩固】食堂里有 94 千克面粉,138 千克大米,每天用掉面粉和大米各 9 千克,几天后剩下的大米是面粉的 3倍?【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】因每天用掉的面粉和大米数量相等,不论经过多少天,

23、面粉和大米的数量差都不变,仍然是：138-94=44（千克）.我们把几天后剩下的面粉重量看作 1 份,大米重量也就是 3 份,则几天后剩下面粉：44（3-1）=22（千克）.用掉的面粉总量除以每天用面粉数量,可以得出所求的天数：（94-22）9=8（天）.【答案】8天【巩固巩固】实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少 540 人,因为第三校区建成,从两个校区各调走 200人,这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的 4 倍,那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人?【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】两校区各调走 200 人之后还是相差 540 人,对应的倍

24、数是：413 倍,实验小学一校区调走 200 人后剩下的人数是：540(41)180(人),实验小学一校区原有：180200380(人),实验小学二校区为：380540920(人).【答案】实验小学一校区380人,实验小学二校区920人.【例例 16】有两盘苹果,如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里,那么两盘的苹果数相同;如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里,那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍第一盘有苹果多少个?【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 7【解析】原来第一盘比第二盘多：224(个),从第二盘拿2个到第一盘里,第一盘就比第二盘多：4(22)8(个),第二盘拿走2个后剩下的苹果数为

25、：8(21)8(个),第一盘原有苹果：82214(个)【答案】14个【巩固】小青和小红每人都有一些水彩笔,如果小青给小红 1 支,两人就一样多,如果小红给小青 1 支,小青的水彩笔就是小红的 2 倍,那么小青和小红各有多少支水彩笔?【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】“小青给小红 1 支,两人就一样多”说明小青原来比小红多1 12(支),“如果小红给小青 1 支,小青的水彩笔就是小红的 2 倍”则小红给小青 1 支后,小青就比小红多21 14 (支),这与倍数差211（倍）相对应,这样就可以求到小红的水彩笔现在是414(支),她原来就是415(支),小青原来是：527(支).

26、【答案】小青7支,小红4支【巩固巩固】小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说：“我若给你两个,我们的玻璃弹球一样多.”小刚说：“我若给你两个,你的弹球数量将是我的 3 倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个?【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】由小明说的话推知小明的玻璃球比小刚多 4 个,如果小刚给小明 2 个,那么小明比小刚多 8 个.8 个是小刚还剩下玻璃球数量的 3-12 倍,此时小刚有玻璃球 824（个）,小明有玻璃球 4+812（个）,两人共有玻璃球 4+1216（个）【答案】16个【巩固巩固】小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说“我若给你 2 个,我们的玻璃

27、弹球将一样多.”小刚说“我若给你 2 个,我的弹球数量将是你的弹球数量的三分之一.”小明和小刚共有弹球 个.【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,六年级,一试,第 10 题【解析】由小明的话可以知道,他比小刚多 4 个,若小刚给小明 4 个,小明就比小刚多 8 个,假设小刚的弹球数为 1 份,那么小明的弹球则为 3 份,比小刚多 2 份,1 份即为 82=4 个,两人共有 4 份即 44=16 个.【答案】16个【例例 17】某迎春茶话会上,买来苹果4箱,已知每箱苹果取出24千克后,剩余的各箱苹果总和等于原来一箱苹果的重量,问原来一箱苹果多重?【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】此题目较难找出数量间的关系,但是一定还的让学生自己动脑想一想,之后,教师再引导学生画图,共同探讨分析取出24496千克,即原来的比剩下的多96千克,原来有4箱,剩下一箱的重量,即原来的是剩下的4倍,所以96(41)32（千克）为剩下的重量,即一箱的重量【答案】32千克