小学数学知识点例题精讲《余数性质（一）》学生版.pdf

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1、11.学习余数的三大定理及综合运用2.理解弃 9 法,并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数之和,或这个和除以 c 的余数.例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23+1639 除以 5 的余数等于 4,即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数.例如：23,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4,所以 23+1942 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 22.余数的加法定理a 与 b 的差除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以

2、c 的余数之差.例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23167 除以 5 的余数等于 2,两个余数差 312.当余数的差不够减时时,补上除数再减.例如：23,14 除以 5 的余数分别是 3 和 4,23149 除以 5 的余数等于 4,两个余数差为 35443.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数的积,或者这个积除以 c 所得的余数.例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 2316 除以 5 的余数等于 313.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数.例如：23,19 除以 5

3、 的余数分别是 3 和 4,所以 2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数,即 2.乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同,那么na与nb除以 m 的余数也相同二、弃九法原理在公元前 9 世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本花拉子米算术,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式12341898189226789671789028899231234 除以 9 的余数为 11898 除以 9 的余数为 818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为

4、7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同.知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-5-3.5-5-3.余数性质（三）余数性质（三）2而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了,在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去,所以这种方法被称作“

5、弃九法”.所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被 9 除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被 9 除的余数即可.利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确.例如：检验算式 9+9=9 时,等式两边的除以 9 的余数都是 0,但是显然算式是错误的但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题.模块一、余数的加减法定理【例例例

6、例 1 1 1】幼儿园的老师给班里的小朋友送来 40 只桔子,200 块饼干,120 块奶糖.平均分发完毕,还剩 4 只桔子,20 块饼干,12 粒奶糖.这班里共有_位小朋友.【例例例例 2 2 2】在 1995,1998,2000,2001,2003 中,若其中几个数的和被 9 除余 7,则将这几个数归为一组这样的数组共有_组【例例例例 3 3 3】号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例例例例 4 4 4】有一个整数,用它去除 70,110,160 所得到的

7、3 个余数之和是 50,那么这个整数是_【巩固巩固巩固】用自然数 n 去除 63,91,129 得到的三个余数之和为 25,那么 n=_例题精讲例题精讲3【例例例例 5 5 5】如果 11！,122！,1233！12399100100！那么1！+2！+3！+100！的个位数字是多少?【例例例例 6 6 6】六名小学生分别带着 14 元、17 元、18 元、21 元、26 元、37 元钱,一起到新华书店购买成语大词典 一看定价才发现有 5 个人带的钱不够,但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本,丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本这种成语大词典的定价是_元【巩固巩固巩固】商

8、店里有六箱货物,分别重 15,16,18,19,20,31 千克,两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍,那么商店剩下的一箱货物重量是_千克【巩固巩固巩固】六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数,甲取 3 张,乙取 2 张,丙取 1 张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的 2 倍,则丙手中卡片上的数是_【例例例例 7 7 7】从 1,2,3,4,2007 中取 N 个不同的数,取出的数中任意三个的和能被 15 整除N 最大为多少?【例例例例 8 8 8】一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人

9、的岁数之和都是 3 的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是 100,父亲岁数最大,问：母亲是多少岁?【例例例例 9 9 9】有三所学校,高中 A 校比 B 校多 10 人,B 校比 C 校多 10 人三校共有高中生 2196 人有一所学校初中人数是高中人数的 2 倍;有一所学校初中人数是高中人数的 1.5 倍;还有一所学校高中、初中人数相等三所学校总人数是 5480 人,那么 A 校总人数是_人4模块二、余数的乘法定理【例例例例 10 10 10】求2461 135604711的余数【巩固巩固巩固】求478296351除以 17 的余数【巩固巩固巩固】求437309 1993被 7

10、除的余数【例例例例 11 11 11】求4782569352除以 9 的余数【例例例例 12 12 12】一个数被 7 除,余数是 3,该数的 3 倍被 7 除,余数是 .【例例例例 13 13 13】在图表的第二行中,恰好填上8998这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所得的余数都是 35【例例例例 14 14 14】222212320012002除以 7 的余数是多少?【例例例例 15 15 15】求12644319的余数【巩固巩固巩固】求89143除以 7 的余数【巩固巩固巩固】求4063写成十进制数时的个位数【巩固巩固巩固】20102009200920092009 个的个位数字是_【巩固巩固巩固】200720072007（2008 个 2007）的个位数字是 .【例例例例 16 16 16】今天是星期四,100010天之后将是星期几?6【例例例例 17 17 17】求19973的最后两位数【例例例例 18 18 18】求1 2008的所有自然数中,有多少个整数 a 使2a与2a被 7 除余数相同?