小学数学知识点例题精讲《公式运用》教师版.pdf

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1、1一、常用公式1.(1)1232nnn;2.2222(1)(21)1236nnnn;3.2223333(1)1231234nnnn;4.213572112311321nnnnn ;5.等比数列求和公式：0111111(1)1nnna qSa qa qa qq(1q);6.平方差公式：22ababab;7.完全平方公式：2222abaabb,2222abaabb;用文字表述为：两数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,两条公式也可以合写在一起：2222abaabb为便于记忆,可形象的叙述为：“首平方,尾平方,2倍乘积在中央”二、常用技巧1.1001abcab

2、cabc;2.10101abababab;3.10.1428577,20.2857147,30.4285717,40.5714287,50.7142857,60.8571427;4.111111 1111123321nnn 个个,其中9n 一、前n项和【例例 1 1】222213519【考点】公式法之求和公式 【难度】2 星 【题型】计算【解析】2222135192222222(12319)(2418)222119203941296（）例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨公式法计算公式法计算2124709 10 196 24702852185【答案】2185【巩固巩固巩固】222222222221

3、245781011131416【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算【解析】原式22222222(1216)(3691215)22222222216 173356 11(1216)3(12345)96614964951001 【答案】1001【例例 2 2】计算：36496481400【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算【解析】原式222267820 2222222221232012345112021 4156 1166 2870552815【答案】2815【例例 3 3】计算：3333333313579111315【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【

4、题型】计算【解析】原式333333333123414152414223331515181274 22576002784 8128【答案】8128【巩固巩固巩固】计算：333313599_【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空【解析】与公式222333112124nnnn相比,333313599缺少偶数项,所以可以先补上偶数项原式 3333333123100241002233331100101212504223221110010125051442225010125112497500【答案】124975003【例例 4 4】计算：33312320061232006【考点】公式法之求

5、和公式 【难度】3 星 【题型】填空【解析】原式2123200612320061232006 120062006122013021【答案】2013021【例例 5 5】计算：2004200320032002200220012001 20002 1 .【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】原式200322001 2321 2 213520012003 21200310022 2008008其中也可以直接根据公式2135721nn得出2135200120031002【答案】2008008【例例 6 6】计算：222221 2233418 191920【考点

6、】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算【解析】分拆(21)232222,(3 1)232333再用公式原式323232333222(22)(33).(2020)(123.20)(123.20)221120212021 414123046【答案】41230【例例 7 7】对自然数a和n,规定1nna naa,例如23 23312,那么：1 22 23 299 2 _;2 12 22 32 99 _【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空【解析】原式222991122339999 22221239912399199 100 199495063283504950333300原

7、式102132999822222222 01298123992222222201298222239921399323【答案】333300 99323【巩固巩固巩固】看规律 3211,332123,33321236,试求33.36714【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算【关键词】人大附中4【解析】原式 33.333.31214125221231412345221051510515 1051590 12010800【答案】10800【例例 8 8】计算：234561111111333333【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算【解析】法一：利用等比数列求和公式.

8、原式711131137132641132729法二：错位相减法设234561111111333333S 则23451111133133333S ,61333SS,整理可得3641729S 法三：本题与例 3 相比,式子中各项都是成等比数列,但是例 3 中的分子为 3,与公比 4 差 1,所以可以采用“借来还去”的方法,本题如果也要采用“借来还去”的方法,需要将每一项的分子变得也都与公比差 1由于公比为 3,要把分子变为 2,可以先将每一项都乘以 2 进行算,最后再将所得的结果除以 2 即得到原式的值由题设,2345622222222333333S,则运用“借来还去”的方法可得到61233S,整

9、理得到3641729S【答案】3641729【例例 9 9】计算76524334256722323232323233 的值.（已知732187,836561,9319683,10359049,72128,82256,92512,1021024）【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算【解析】注意到式子的特点是从第一个加数开始,每一个加数比前一个加数2的指数减少1,3的指数增加1.所以每一个加数是前一个加数的32倍,如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为32的等比数列,于是按照错位减法进行运算即可.【解析】记76524334256722323232323233S ,865

10、24334256733232323232323322S 87332222SSS,那么883265612566305S,即原式的值为6305.【答案】6305【例例 10 10】11111111111357911131517192481632641282565121024 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】浙江省,小学数学活动课夏令营【解析】原式11111111111357911 131517192481632641282565121024 510101112211 1910121211023100110021024【答案】10231001024【解析解析解析】计算

11、：3333334166425610244096 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空【解析】原式234566633333311()444444442345563333311()444444463114095()4444096【答案】40954096【解析解析解析】33332416_248512【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空【解析】原式333324616248512111212383245121509723174512512 【答案】50974512【例例 11 11】计算：234562345671333333【考点】公式法之求和公式 【难度】4 星 【

12、题型】计算【解析】设算式的值为S,那么23453456733233333S,23456324354657673321333333SS,即12345611111724333333S,故612345142222248333333S,则5611448133S,所以66614317499333S,69171636443729S【答案】16367296二、平方差与完全平方公式【例例 12 12】23141592631415925 31415927_;22123487662468 8766_【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】浙江省,小学数学活动课夏令营【解析】

13、观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1,设31415926a,原式2221111aaaaa原式22123487662 1234 8766221234876610000100000000【答案】1 100000000【巩固巩固巩固】2009200920082008 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】走美杯,3 年级,初赛【解析】方法一：原式 200920081200912008 200920082009200920082008 200920084017 方法二：原式22=20092008=2009+2008

14、20092008=4017 1=4017【答案】4017【巩固巩固巩固】3737263 3763 63 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】走美杯,3 年级,初赛【解析】原式22376310010000【答案】10000【巩固巩固巩固】计算：31431.462868.668.6686 .【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,6 年级,决赛【解析】题目分析：答案为 100000.记原式为 X,则10X=314314+628686+686686=3142+2314686+6862=(314+686)2=1

15、000000,所以,X=100000.【答案】100000【例例 13 13】有一串数1,4,9,16,25,36它们是按一定规律排列的,那么其中第1990个数与第1991个数相差多少?【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空7【解析】这串数中第1990个数是21990,而第1991个数是21991,它们相差2219911990(1991 1990)(1991 1990)1991 19903981【答案】3981【巩固巩固巩固】ab、代表任意数字,若()()ababaabb,这个公式在数学上称为平方差公式根据公式,你来巧算下列各题吧 98 102 67736428

16、 2293 31【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】计算【解析】这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们就依据公式()()ababaabb来进行下面的计算:98 102(1002)(1002)100 1002210000499966773(703)(703)70703 3490094891 6428232282(302)(302)2(303022)17922293 3123(301)(301)6(9001)540065394 【答案】9996 4891 1792 5394【例例 14 14】计算：11 1912 1

17、813 1714 16 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级组,决赛【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和,也可以采用平方差公式原式 2222222215415315215122222154123490030870 其中22221234可以直接计算,但如果项数较多,应采用公式2221121216nn nn进行计算【答案】870【例例 15 15】20078.5 8.51.5 1.5101600.3 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,初赛【解析】原式20078.51.58.51.51

18、01600.32007108.51.5101600.3200771600.312.50.312.2【答案】12.2三、公式综合运用【例例 16 16】计算：1 43 75 1099 151 8【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】仁华学校【解析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列,被乘数依次为 1,3,5,99,乘数依次为 4,7,10,151,根据等差数列的相关知识,被乘数可以表示为21n,乘数可以表示为31n,所以通项公式为 2213161nnnn所以,原式 2226 11 16221650501 2226125012505015051 1015

19、051502256225另解：如果不进行通项归纳,由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等,可以先将这个差变为相等再进行计算原式13 89 1415202973026 133599515155297297562222133 59951515529729756 222213915297539152976 2222191359953135996 222235135991359922而222213599和13599都是我们非常熟悉的 2222222222221359912310024610011100 101 20145051 101661100 101201 1026199 100 101616

20、6650,213599502500,所以原式35166650250025622522小结：从上面的计算过程中可以看出,222211359999 100 1016,而11 22399 10099 100 1013,所以有22221359921 22399 100【答案】256225【例例 17 17】计算：22222211111124234520211121210 【考点】公式法之综合运用 【难度】4 星 【题型】填空9【解析】2221624121 21221 22nn nnnnn 111222121 22nnnn,所以,2222221111121210111111122334455620212

21、1 22,所以原式11111111124122345202123344556202121 221111111223344556202121 221111111223342122111222266115511【答案】5511【例例 18 18】计算：22222221234200520062007【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算【关键词】北京二中,入学测试【解析】原式22222222007200654321(20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)12007200620052004321120071200720150282

22、【答案】2015028【巩固巩固巩固】计算222222222123456.171819【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算【解析】这个题目重新整理得：2222222221(32)(54)(76).(1918)1(32)(32)(54)(54).(1918)(1918)13254.1918 1234.171819 20910190【答案】190【巩固巩固巩固】计算：202019 1918 1817 17221 1【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算【解析】做这道题的时候,可能有些以前记住了 20 以内平方数的同学就高兴了,但是其实并不需要,大家看,利用平方差公

23、式：202019 19(2019)(2019)2019,18 1817 171817,221 121 10于是,原式2019181721201202210（）【答案】210【例例 19 19】1 3243 59 11 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算【解析】原式 21213 1 31101 101 2222131101222222223109123101010 11 21103756【答案】375【例例 20 20】计算：11 2912281921 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空【解析】原式 2222222092082012222209129136

24、009 10 1933156【答案】3315【巩固巩固巩固】计算：1 992983 974951 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的,可以采用平方差公式原式 5049504950485048501501 222222504950485012222504912492222504912492150494950996250494925 3349251003349256782075【答案】82075【巩固巩固巩固】50 5049 5148 5247 5346 54_【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而

25、思杯,4 年级11【解析】原式 250501501502502503503504504 2222222222250501501502503504 5250014916 125003012470【答案】12470【例例 21 21】计算：1 992973 9550 1【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算【解析】原式(999731)(9731)(31)1222250492115051 101429256【答案】42925【巩固巩固巩固】计算：1 4924734525 1 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空【解析】原式 494714745131122222524

26、21125265165525【答案】5525【例例 22 22】计算：1 2323434589 10 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算【解析】原式2222221331441991 3333234923492123912349 245451980【答案】1980【例例 23 23】计算：22222222(246100)(13599)12391098321【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算【解析】原式222222222(21)(43)(65)(10099)10(21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099)10012349910050501501001002【答案】1502