小学数学知识点例题精讲《图形的分割》教师版.pdf

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1、1几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外,还可以用图形分割的思想来做.我们发现,在迎春杯几何问题中,这类题目很多.掌握好这种思想方法,可以帮助我们解决很多几何难题.解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得,所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题.解题思想：这其实就是一种化整为零的思想,各位同学不仅要学会几何题中的这种方法,更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用.模块一、简单分割【例例 1】1】3 个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图),顶点 A 和 B 分别与正方形中心点重合,如果所构成图形的周

2、长是 48 厘米,那么这个图形覆盖的面积是_平方厘米.【考点】图形的分割 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级组,复试,4 题【解析】将这 3 个正方形分割,可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和,故正方形边长为488=6（厘米）,则图中每个分割得到的小正方形边长为 62=3（厘米）,所以这个图形覆盖的面积为 662+332=90（平方厘米）.【答案】90平方厘米【例例 2】2】正方形ABCD的面积是 1 平方米,将四条边分别向两端各延长一倍,连结八个端点得到一个正方形(如图),求大正方形的面积DCBA【考点】图形的分割 【难度】2 星 【题型】解答【解析】四条边分别向

3、两端各延长一倍,很容易可以观察出,大正方形有 9 个小正方形组成,所以,大正方形的面积是：1 99(平方米)【答案】9平方米【例例 3】3】将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形,再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形,依此规律,继续下去,得到下图那么,边长为a的正方形面积是图中阴影部分面积的_ 倍.例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨4-2-4.4-2-4.图形的分割图形的分割2【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 6 题,4 分【解析解析解析】阴影部分是大正方形的 0.50.50.50.5=116,所以正方形是阴影的 16 倍【答案】

4、16倍【例例 4】4】正三角形ABC的面积是 1 平方米,将三条边分别向两端各延长一倍,连结六个端点得到一个六边形(如右图),求六边形的面积 CBA 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答【解析】采用分割法,过A、B、C分别作平行线,得到右上图,其中所有小三角形的面积都相同,所以六边形面积等于 13 平方米【答案】13平方米【例例 5】5】正六边形ABCDEF的面积是 1 平方米,将六条边分别向两端各延长一倍,交于六个点,组成如下图的图形,求这个图形的面积FEDCBAFABCDE【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答【解析】采用分割法,连接正六边形的对角线,会发现,所有的三

5、角形面积都相同,一共有 12 个小三角形,原来正六边形的面积是 1 平方米,由 6 个小三角形组成,所以现在的大图形的面积是：1 22(平方米)【答案】2平方米【例例 6】6】长方形 ABCD 的面积是 40 平方厘米,E、F、G、H 分别为 AC、AH、DH、BC 的中点.三角形 EFG 的面积是 平方厘米.HGFEDCBA【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,初赛,第 3 题【解析解析解析】1140524 （平方厘米）【答案】5平方厘米【例例 7】7】把同一个三角形的三条边分别 5 等分、7 等分(如图 1,图 2),然后适当连接这些等分点,便得到了若干

6、个面积相等的小三角形已知图 1 中阴影部分面积是 294 平方分米,那么图 2 中阴影部分的面3积是_平方分米 1 2【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空【解析】图 1 中阴影部分占整个三角形面积的1225,图 2 中阴影部分占整个三角形面积的1649,故图 2 中阴影部分的面积为 29412162549=200(平方分米)【答案】200平方分米【例例 8】8】右图中的大正方形 ABCD 的面积是 1,其它点都是它所在的边的中点.请问：阴影三角形的面积是多少?ABCD【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】华杯赛,初赛,第 6 题【解析】图中有大、中、小三个正方形

7、,每个面积是前一个的12,所以小正方形面积是14,将小正方形各顶点标上字母如右图,很容易看出三角形 JFG 面积三角形 IHG 面积14正方形 EFGH 面积,三角形EJI 面积14三角形 EFH 面积18正方形 EFGH 面积.所以阴影三角形 JGI 面积(1141418)小正方形面积38小正方形面积332.【答案】332【例例 9】9】下图中有四条弦,每一条弦都把大圆分割成两个面积比为 1:3 的区域,而且这些弦的交点恰好是一个正方形的四个顶点.这些弦把圆分割成 9 个区域,则此正方形的面积是区域 P 面积的 倍.（3.14）P【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】学而

8、思杯,6 年级,第 1 题【解析解析解析】去掉两边的弓形之后,中间部分面积是整个圆的一半,横竖两块中间部分面积和就等于圆面积,所以重叠部分面积等于 4 个 P 面积的和.即正方形面积是 P 的 4 倍.【答案】4模块二、化整为零4【例例 10】10】在图中,三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形,其中 DF 长 9 厘米,CF 长 3 厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?FEDCBA【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答【解析】方法一：如图,将原题中图形分为 12 个完全一样的小等腰三角形ABC 占有 9 个小等腰三角形,其中阴影部分占有 6 个小等腰三角形,

9、ABCS=992=40.5(平方厘米),所以阴影部分的面积为40.596=27(平方厘米)HIGABCDEF方法二：如图,连接 IG,有四边形 ADGI 为正方形,易知 FG=FC=3(厘米),所以 DG=DF-FG=9-3=6(厘米),于是 SHIGSA=14AIGDS正方形=1426=9.而四边形 IGFB 为长方形,有 BF=AD=DG=6(厘米),GF=3(厘米),所以IGFBS长方形=63=18阴影部分面积为 A HIG 与长方形 IGFB 的面积和,即为 9+18=27(平方厘米)GIHABCDEF方法三：如图,为了方便叙述,将图 6-10 中某些交点标上字母GIHABCDEF易知

10、三角形 BIE、CGF、AIH、DGH 均为等腰直角三角形先求出等腰直角三角形 AHI、CGF 的面积,再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与其作差,即为需求阴影部分的面积有 SABC=DEFS=12EFDF=812,CGFSA=12CFFG=92因为 CF=FG=3,所以 DG=DF-FG=6如图,可以将 4 个三角形 DGH 拼成一个边长为 DG 的正方形HDG5所以,ACDSDGHS=14DGDG=9,而AIHS=DGHS=9,所以BFGHIS阴影=SABC-CGFS-AIHS=812-92-9=27(平方厘米)即阴影部分的面积为 27 平方厘米【答案】27平方厘米【例例 11】11】正

11、方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 放在一起（如图）,M、N 点为正方形的边的中点,阴影部分的面积是 14cm2,三角形 BEF 的面积是_ cm2.NMFEDCBA【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,四年级,初赛,第 8 题【解析解析解析】因为 M、N 是中点,故我们可以将该图形进行分割,所得图形如下ABCDEFMN图形中的三角形面积都相等,阴影部分由 7 个三角形组成,且其面积为 14 平方厘米,故一个三角形的面积为 2 平方厘米,那么三角形 BEF 的面积是 18 平方厘米.【答案】18平方厘米【例例 12】12】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放

12、,、这三块的面积分别是 2、8、58,则、这两块的面积差是 【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,7 题【解析解析解析】由于的面积是的 4 倍,所以可以把分成 4 倍的,而两个为一个方格,一个方格的面积为224根据58260,则与一共是60415格,所以与是3 5的长方形所以正方形边长是的直角边长的 5 倍,等腰直角三角形直角边长是的直角边长的 7 倍,则的格数为 8 格,的格数为 10 格,、这两块的面积差是1082(格),1 格的面积为 4,所以、这两块的面积差为428【答案】8【例例 13】13】如图 4,在长方形ABCD中,E、F、G分别是BC

13、、CD、DA上的点,且使得四边形AEFG是直角梯形,45GAE,2 3 GFAE如果梯形AEFG的面积是15平方厘米,那么长方形ABCD的面积是 平方厘米6EFGDCBA【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级组,初试,9 题【解析解析解析】这是一道几何问题,重点考察同学们对等腰直角三角形性质的认识方法一：在长方形ABCD中,由于四边形AEFG是直角梯形,45GAE,可知45 DGFDFGCFEFECEABBEA,所以,DGF、CEF、ABE都是等腰直角三角形故可将长方形ABCD分割,如图 6：ABCDGFE显然,10梯形CEFAEFGSS,24ABCDCEFS

14、S,2410ABCDS24153610梯形AEFGS平方厘米方法二：在直角梯形AEFG中,AEGF,由45GAE,可知45GDF,因为直角三角形GDF 与ABE的斜边2 3 GFAE,所以直角边2 3 DFAB,故1 3 FCAB于是,2 1 3 DF FCAB,4 1 9DFGCEFABESSS连结DE,则3DECFECSS,12DECAEBABCDSSS,24ABCDCEFSS,101024梯形CEFABCDAEFGSSS,所以242415361010梯形ABCDAEFGSS平方厘米【答案】36平方厘米【例例 14】14】一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置,图中六块的面积分别为 1,1

15、,l,l,2,3大长方形的面积是 111123【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯,5 年级,决赛,第 3 题,8 分【解析解析解析】面积为 2 的部分可以划分为两个单位三角形,并可观察出,空白部分可以划分为 14 个单位三角形.所以,大长方形的面积为 1+1+14+3=19.【答案】19【例例 15】15】如右图,一个面积为 2009 平方厘米的长方形,被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三个梯形已知除了阴影长方形外,其它的五块面积都相等,且 B 是 AC 的中点;那么阴影长方形的面积是 平方厘米ACB7【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键

16、词】迎春杯,五年级,初赛,7 题【解析解析解析】方法一：设等腰直角三角形的腰长为a,那么等腰直角三角形的面积为22a因为B是AC的中点,那么可以判断三个梯形的高都是2a这样每个梯形的两底之和为22222aaa,其中左右两个梯形,上底比下底短2a,可求得左右两个梯形的上底为34a,下底为54a上边的梯形,上底比下底短a,可求得上边的梯形上底长为2a,下底长32a所以长方形的宽为3744aaa,长为522aaaa所以大长方形的面积为27535428aaa,而阴影长方形的面积为2158a,所以阴影长方形的面积为3515200986188方法二：利用图形分割如下图知道左右两个角上的直角三角行可以分割为

17、四个小直角三角行看做 4份,因为两个等腰直角三角形、三个梯形的面积相等,所以这五部分共可以看作 20 份,长方形的面积可以看作 15 份,所以整个图形被2015=35（份）,那么阴影长方形的面积是200935 15=861（平方厘米）【答案】861平方厘米【例例 16】16】如图中正六边形的面积为 24,其中 A、B、C 都是所在边的中点,D 是 BC 的三等分点,阴影部分的面积是_.DABC【考点】图形的分割 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4 年级,第 7 题【解析解析解析】5 在格点图中,每个小三角形的面积是1,可以数出阴影外面的部分 19,那么阴影部分的面积是5.【答案

18、】5【例例 17】17】正六边形 A1A2A3A4A5A6 的面积是 2009 平方厘米,B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米8B1B6B5B4B3B2A2A6A5A4A3A1【考点】图形的分割 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,六年级,初赛,14 题【解析解析解析】如图,设62B A与13B A的交点为O,则图中空白部分由6个与23A OA一样大小的三角形组成,只要求出了23A OA的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积.OB3B1B2B4B5B6A2A3A6A5A4A1连接63A A、61B B、63B

19、A设116AB B的面积为“1”,则126B A B面积为“1”,126A A B面积为“2”,那么636A A B面积为126A A B的2倍,为“4”,梯形1236A A A A的面积为224212,263A B A的面积为“6”,123B A A的面积为2根据蝴蝶定理,126326131 6B A BA A BBOA OSS,故21233612167A OAB A ASS,所以231236A A A A121277A OASS梯形1,即23A OA的面积为梯形1236A A A A面积的17,故为六边形123456A A A A A A面积的114,那么空白部分的面积为正六边形面积的13

20、6147,所以阴影部分面积为32009111487(平方厘米).方法二：分割如下图：整个图形被分成7个小的正六边形,每个面积为20097=287,根据下图知道,阴影部分是由一个小正六边形和六个半个小六边行组合而成,合计为 4 个小六边形,面积是2874=1148（平方厘米）【答案】1148平方厘米【例例 18】18】如右图,长方形 ABCD 中被嵌入了 6 个相同的正方形已知 AB=22 厘米,BC=20 厘米,那么每一个正方形的面积为 平方厘米DCBA【考点】图形的分割 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,15 题9【解析解析解析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为a,短直角边长为b,那么根据大长方形的长宽可列出方程组：3222320abab,解得62ab,所以每个小正方形的面积为222622 6 22640 平方厘米DCBA【答案】40平方厘米