直线的参数方程的几何意义.pdf

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1、-.课课题题教学目标教学目标要要求求教学重难点教学重难点分分析析教教学学过过程程知识要点概述知识要点概述过定点M0(x0,y0)、倾斜角为的直线l的参数方程为直线的参数方程的几何意义与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题x x0tcost 为参数，y y0tsin其中 t 表示直线l上以定点M0为起点，任意一点 Mx，y为终点的有向线段M0M的数量，的几何意义是直线上点到M的距离.此时,假设t0,那么那么的方向向上;假设t0,的方向向下;假设 t=0,那么点与点 M 重合.由此，易得参数 t 具有如下 的性质：假设直线l上两点 A、B 所对应的参数分别为tA,tB，那么性

2、质一：A、B 两点之间的距离为|AB|tAtB|，特别地，A、B 两点到M0的距离分别为|tA|,|tB|.性质二：A、B 两点的中点所对应的参数为tA tB，假设M0是线段 AB 的中点，那么2tAtB 0，反之亦然。-.word.zl.-.精编例题讲练精编例题讲练一、求直线上点的坐标一、求直线上点的坐标例例 1 1一个小虫从P1，2出发，它在x轴方向的分速度是3，在y轴方向的分速度是 4，问小虫 3s 后的位置 Q。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程x=x0+at，y=y0+bt(t是参数)。x=1 3t，解：由题意知那么直线PQ的方程是，其中时间t是参数，将t=3s 代入得y=2

3、+4tQ8，12。例例 2 2求点A1，2关于直线l：2x3y+1=0 的对称点A 的坐标。x=1 解：由条件，设直线AA 的参数方程为y=2+2t，13(t是参数)，3t13A到直线l的距离d=5，t=AA=13334，)。131310，13代入直线的参数方程得A(点评：求点关于直线的对称点的根本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处那么是充分利用了参数t的几何意义。二二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离例例 1 1.设直线 经过点1)求直线 和直线2)求直线 和圆(1,5),倾斜角为,的交点到点的两个交点到点的距离;的距离的和与积

4、.解:直线 的参数方程为(t 为参数)-.word.zl.-.1)将直线 的参数方程中的 x,y 代入直线的交点到点的距离为,得,得 t=.所以,直线 和2)将直线 的方程中的 x,y 代入根 为=,那 么=设此方程的两均 为 负 值,所 以=10.可 知点评：解决此题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。三 求直线与曲线相交的弦长求直线与曲线相交的弦长例例 1 1 过抛物线解 因直线的倾角为程为的焦点作斜角为的直线与抛物线交于 A、B 两点，求|AB|.，那么斜率为1，又抛物线的焦点为 F(1，0)，那么可设 AB 的方(为参数)代入整理得由韦达定理得 t1t2

5、=，t1t2=16。=.例例 2 2 直线 L:x+y-1=0 与抛物线 y=点的距离之积.交于 A,B 两点,求线段 AB 的长和点 M(-1,2)到 A,B 两解:因 为 直 线 L 过 定 点 M,且 L 的 倾 斜 角 为,所 以 它 的 参 数 方 程 是(t 为参数)-.word.zl.-.即把它代入抛物线的方程,得解得由参数 t 的几何意义得(t 为参数)点评:此题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点 M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数 t 的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.四、求解中点问

6、题四、求解中点问题例例 1 1,经过点 P(2,0),斜率为为 M,求点 M 的坐标.的直线和抛物线,由可得:相交于 A,B 两点,设线段 AB 的中点解:设过点 P(2,0)的直线 AB 的倾斜角为cos,所以,直线的参数方程为代入,整理得(t 为参数)中点 M 的相应的参数是=所以点 M 的坐标为的方向向上;当t0,那么A,B 中点的 M 所对应的 t 的值等于,这与二点之点的中点坐标有点一样.-.word.zl.-.例例 2 2双曲线x=1，过点P2，1的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M22y2的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2

7、=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，那么直线P1P2的方程是x=x0+tcos，y=y0+tsin(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2sin2)t2+2(2x0cosy0sin)t+(2x02y022)=0，由题意t1+t2=0，即 2x0cosy0sin=0，得tan=2x0。y0又直线P1P2的斜率k=tan=yy0，点P2，1在直线P1P2上，xx01 y02x0=，即 2x2y24x+y=0 为所求的轨迹的方程。2 x0y0五五,求点的轨迹问题求点的轨迹问题例例 1 1双曲线，过点P2，1的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长

8、有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，那么直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2sin2)t2+2(2x0cosy0sin)t+(2x02y022)=0，由题意t1+t2=0，即 2x0cosy0sin=0，得。又直线P1P2的斜率，点P2，1在直线P1P2上，即 2x2y24x+y=0 为所求的轨迹的方程。六、求定点到动点的距离六、求定点到动点的距离x=1 t，例例 1 1 直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线 2x+y2=0y=2+t交于点Q，求PQ。-.word.zl.-.2x=1 2

9、t，32解：将直线l的方程化为标准形式，代入 2x+y2=0 得t=，22y=2+2t32。2PQ=|t|=点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。例例 2 2经过点P(1，2)，倾斜角为的直线l与圆x2+y2=9 相交于A，B两点，求4PA+PB和PAPB的值。2x=1+2t，解：直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：t+2y=2+2t22t4=0，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，那么t1+t2=2，t1t2=4，由t1与t2的符号相反知PA+PB=|t1|+|t2|=|t1t2|=(t1+t2)24 t1t2=32，PAPB=

10、|t1t2|=4。点评：解决此题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。七、求直线与曲线相交弦的长七、求直线与曲线相交弦的长例例 1 1抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求证：AB=2p。sin2分析：弦长AB=|t1t2|。px=+tcos，2解：由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程，y=tsin-.word.zl.-.2pcost1+t2=2，sin222得t sin2ptcosp=0，由韦达定理：，p2t1t2=2sinAB=|t1t2|=(t1t2)4 t1t2=24p2cos24p22p+=。sin4sin2s

11、in2例例 2 2椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为 60的直线交椭圆于A，B两点，假设FA=2FB，求那么椭圆的离心率。分析：FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=2t2或|t1|=2|t2|。1x=c+t，2xy解：设椭圆方程为+=1，左焦点Fc，0，直线AB的方程为，ab3y=2t2222113代入椭圆整理可得：(b2+a2)t2 b2ctb4=0，由于t1=2t2，那么44t+t=1b+3a=t，4413tt=b=2 t，2+得：2c=4b+4a，将b=ac代入，13b+a441222242222222122222b2cc2428 c=3 a+ac，得e=2

12、=，故 e=。a9322222在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，表达了等价转化和数形结合的数学思想。知识稳固训练知识稳固训练应用一：求距离应用一：求距离-.word.zl.-.例 1、直线l过点P0(4,0)，倾斜角为1求弦长 AB.2求P0A和P0B的长。应用二：求点的坐标应用二：求点的坐标例 2、直线l过点P0(2,4)，倾斜角为标。应用三：解决有关弦的中点问题应用三：解决有关弦的中点问题例

13、3、过点P0(1,0)，倾斜角为AB 的中点 M 点的坐标。，且与圆x2 y27相交于 A、B 两点。6，求出直线l上与点P0(2,4)相距为 4 的点的坐62的直线l和抛物线y2x相交于 A、B 两点，求线段4-.word.zl.-.教师课教师课后小结后小结签字签字教学主任：教学主任：教学组长：教学组长：学生学生/家长：家长：解：因为直线l过点P0(4,0)，倾斜角为，所以直线l的参数方程为63x 4tcosx 4t62，即t 为参数，代入圆方程，得y 0tsiny 1t62(4321t)(t)2 7，整理得t24 3t 9 0221设 A、B 所对应的参数分别为t1,t2，所以t1t2 4

14、 3，t1t2 9，所以|AB|t1t2|2(t1 t2)2 4t1t2 2 3.2解方程t 4 3t 90得，t1 3 3,t23，所以P0A|t1|3 3，P0B|t2|解：因为直线l过点P0(2,4)，倾斜角为3.，所以直线l的参数方程为63x 2tcosx 2t62，即，t 为参数，1y 4tsiny 41t62设直线l上与点P0(2,4)相距为 4 的点为 M 点，且 M 点对应的参数为 t，那么|P0M|t|4，所以t 4，将 t 的值代入1式，当 t4 时，M 点的坐标为(2 2 3,6)；当 t4 时，M 点的坐标为(22 3,2)，综上，所求 M 点的坐标为(2 2 3,6)

15、或(22 3,2).点评：假设使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦，而使-.word.zl.-.用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求 M 点的坐标较容易。解：直线l过点P0(1,0)，倾斜角为，所以直线l的参数方程为42x 1t2，t 为参数，因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2t2y2 2x中，得：(1222t)2(1t)，整理得t22t 2 0，2221 (2)2 4(2)6 0，设这个二次方程的两个根为t1,t2，2由韦达定理得t1t22 2，由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得tMt1t22，易知中点 M 所对应的参数为tM2，将此值代入直线的参数方程得，2M 点的坐标为2，1点评：对于上述直线l的参数方程，A、B 两点对应的参数为t1,t2，那么它们的中点所对应的参数为t1 t2.2-.word.zl.