高等数学《概率论与数理统计》讲义汇总.pdf

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1、1概率论与数理统计部分 第一讲 随机事件与概率 一、知识要点 1准备知识：熟悉加法原理，乘法原理，无重复排列，可重复排列，组合等知识2随机事件（样本空间的子集）的关系与运算（1）事件的包含，相等，和事件，积事件，差事件，对立事件，互斥事件，独立事件（2）交换律，结合律，分配律，吸收律，De Morgan 律（3）常用结论：;();,AABAABABABA AAAA =1111;(),;(),()=iiiiiiiiABABABABABAB ABABAAAA3随机事件的概率（本部分是核心问题）（）定义统计定义：大量重复试验的条件下，事件发生频率的稳定值称作发生的概率。古典概率定义：随机试验的样本空

2、间含有有限个基本事件，每个基本事件等可能发生，事件发生的概率规定为=包含的基本事件（）包含的基本事件AkP An几何概率定义：随机试验的样本空间是一个区域（直线上的区间，平面或空间的区域），每个基本事件等可能发生，规定事件的概率为公理化定义：随机试验的样本空间为，对任意事件A ，赋予一个实数（）称之为事件的概率，集合函数（1）满足三公理（）（）（）（）（）iA为一列事件，()ijAAij=，则()iii 1i 1PAP A=概率论与数理统计讲义1 2 条件概率：，为二事件，()P A0，在事件发生的条件下，发生的概率称作条件概率，规定()()P ABP B|A=（2）性质()P0=()()()

3、iiiji 1i 1PAP AAAij=AB时，()()()P BAP BP A=()()P A1 P A=()()()()nnn 1ii12ni 1i 11 i j nPAP AP AiAj1P A AA=+LL()()()()()12n121312n12n 1P A AAP AP A|AP A|A AP A|A AA=LLL （3）计算 直接计算（）用古典概型公式（适用于有限等可能概型）（）用几何概型公式（适用于“无限等可能”概型）（）用 Bernoulli 独立试验序列概型（适用于有限，不等可能概型）间接计算（）用概率的基本性质及推论（）用事件的关系及运算法则，将问题转化为与之等价事件的

4、概率（）用加法公式，乘法公式（）用全概公式：()iB i1,2n=L为完备事件组，则对A,有()()()njii 1P AP BP A|B=（）用 Bayes 公式：()iB i1,2n=L为完备事件组，则对A,有()()()()()()()jjjjnji 1P B AP BP A|BP B|AP AP BP A|B=()j1,2,n=L 2 3二、例题分析 （一）关于事件运算及概率的基本性质 1A,B,C 为三个随机事件，与事件()()ABABCAC相等的是 （）AABC BABABACABC DABC 2 A,B,C 为三个随机事件，且()()()()()P Ax,P B2x,P C3x;

5、P ABP BCy,=又 则与的最大值为 （）A13 B14 C 15 D16 3A,B,C 为三个随机事件，且()P C|AB1=，则下列结论正确的是 （）A()()()P CP AP B1+B()()()P CP AP B1+C()()P CP AB=D()()P CP AB=4已知2()(),3P AP B=则(|)P A B最小可能取值等于（）A.16 B.14 C.13 D.12 （二）用古典概型，几何概型，独立试验序列概型计算概率 5袋中有 13 个球，（白，7 红）求“从袋中取出 2 个球中至少有一红球”的概率。610 件产品中有 4 件次品，则“逐个检查，不连续出现 2 个次品

6、”的概率()P A=（）A16 B15 C14 D25 7.在区间(0,1)中随机地取两个数，则两数之差绝对值小于13的概率是多少？8.n个人将帽子混在一起，蒙上眼，然后每人任取一顶，求至少有一人拿对自己帽子的概率。9将一枚硬币，独立重复掷 5 次，求“正，反面都至少出现 2 次”的概率。10（1）A，B 为随机事件，()0P B1，且ABAB=，则()()P A|BP A|B+=。（2）已知 A，B 仅有一个发生的概率为 0.3，且()()P AP B0.5+=，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 。3 4 11设一枚高射炮弹击落来犯敌机的概率为13，击伤敌机概率为12，击不中的概率为16

7、。设击伤两次也能导致将敌机击落，求 4 门高射炮同时各射击一枚炮弹，能击落敌机的概率。12甲袋中有 4 个红球，乙袋中有 8 个球（4 白，4 红）“先从乙袋取一球放入甲袋，再从甲袋取一球放入乙袋”称为一次交换，求“4 次交换后，甲袋中有 4 个白球”的概率。13（1）若()P A1=，试证，对任意随机事件()()P ABP B=。（2）已知离散型随机变量的分布律为 ，1p Y12=，又 n 维列向量123,线性无关，求向量组122331,2,XY +线性相关的概率。14一批元件的合格率为 95，用某种方法检测时，合格品被误检为不合各品的概率为0.02；不合格品被误检为合格品的概率为 0.03

8、。求（1）检测合格率？（2）用此法测出合格品的可信度。（3）用此法检测的可靠性。（四）有关独立性的讨论。15.某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)PP，则B=“此人第 4 次射击恰好第二次命中目标”的概率为（）A.23(1)PP B.26(1)PP C.223(1)PP D.226(1)PP 16.,A B C为三个随机事件，它们相互独立，如果成立条件（）A.,A B C两两独立 B.()()()()P ABCP A P B P C=C.()1P AB=D.()0P AB=4 5 第二讲 随机变量及其概率分布 一、知识要点 一维随机变量的概率分布 1随机变量：随机试验的样本

9、空间为=对，存在惟一实数值()XX=与之对应，则称()XX=为一个随机变量（注意：严格地讲“对任意实数x，集合()|Xx（即使得()Xx 的所有样本点组成的集合）有确定的概率”这一要求应包括在随机变量的定义之中，一般来说，不满足这一条件的情况，在实际中很少遇到，故定义中未提及这一要求）2分布函数：为随机变量，对xR，称()F xp Xx=(x)+求的分布函数。分布函数有以下性质()0F x1()()xxlim F x0,lim F x1+=当12xx时，()()12F xF x ()()xa 0lim F xF a+=由分布函数可求得概率：()()()()P aXbF bF aP XaF aF

10、 a0=L L 5 6 分布函数是非降的阶梯函数，对xR ()kkxxF xP XxP=在kx处的跃度为，()()()kkkPF xF x0k1,2=L L 4连续型随机变量及其概率密度。若随机变量 X 的分布函数()F x可以表示成()()xF xf t dt=（）则称为连续型随机变量，其中非负可积函数()f x叫的概率密度函数，它必须满足（）()f x0 （）（）()f x dx1+=为连续型随机变量，对a,bR,ab,可算得概率：()baP aXbP aXbP axbP axbf x dx=的 Poisson 分布，记为()XP:超几何分布：的分布律为 X0 1P1-PP6 7()()(

11、)kn kMN MnNC CP Xkk0,1,2,llmin M,nC=L L 其中，为正整数且，称服从参数为 n，N，M 的超几何分布 均匀分布：若的概率密度为()0axbf x其它 则称服从区间,a b上的均匀分布，记为,:XU a b 指数分布：若的概率密度为 0()0 xexf x=x0 其中常数，则称服从参数为的指数分布，记为()XE:正态分布：若的概率密度为()()2221()2=+xf xex 其中常数2,0，则称服从参数为，2的正态分布，记为2,:XN。注（）当0,1:XN时，概率密度记为()221()2=+xxex 而分布函数记为()221()2=txxxt ateat （）

12、()x有以下性质：()()()10;21=xx（）当()2,:XN 时，对,a bR ab有=baP aXb 7 8 6随机变量函数的分布 设()g x是一个定义于(),+的函数（()g x一般为连续函数）随机变量的函数()g X是指这样的一个随机变量：当取值时，它取值()=Yg x，记作()=Yg X 当为离散型随机变量时，已知的分布律，如何求()Yg X=的布律，设()1,2,=L LkkP XxP k 则()=Yg x的分布律为()()1,2,=L LkkP Yg xP k 注意取相同()kg x值对应的那些概率应合并相加 当X为连续随机变量时，已知的概率密度如何求()Yg X=的概率密

13、度为求()=Yg X的概率密度，可先求它的分布函数（所谓的分布函数法）设X的概率密度为()f x，则()=Yg x的分布函数为，对 yR，()()()1=yYyFyP YyP g XyP XIf x dx 其中yXI是与()g Xy相等的随机事件，而()|=yIx g xy是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）两个定理 定理 设随机变量有概率密度()()gx（或恒有()0gx），而()=yg x的反函数为()=xh y，则()=Yg X为连续型随机变量，其概率密度为()()|()0 xYfh yhyyfy=xexf xxx 其中常数2,0 服从参数为2,的对数正态分布 涉

14、及形如()0tnP t e dt+的积分时（()nP t是t的n次多项式）使用函数及其性质，往往可化简运算，带来方便 函数定义：()10tte dt+=函数性质：（）()()()10+=（）()()121=（）12=二、例题分析（一）用分布的充要条件（分布函数；分布律或概率密度）确定分布中的参数，分布函数与分布律，概率密度的转化。1随机变量的分布函数为()011141111=+=FxG xxx B2111()01=FxG xxx C()311()01+=F xFxG xxx()11()01=F xFxG xxx 4随机变量X服从参数为()0的指数分布0()00=即xexf xx则随机变量min

15、,3=YX的分布函数是（）A恰有一个间断点的函数 B阶梯函数 C至少有两个间断点的函数 D连续函数 （二）利用概率分布计算事件的概率，或求分布中未知参数 512,x x为二不相等的实数，且12xx，若211,1.=P XxP xx则12=P xXx 6已知离散型随机变量中能取值为2,0,2,5，相应的概率依次为1357,248aaaa则|2|0=PXX 7随机变量()()22112212,|1|1 B12 C12 8如果随机变量X，Y都服从正态分布()23,N，相互独立，且124=P X，求()()max,3,min,2 PX YX Y 9已知二次型()12322212323,22=+f x

16、xxxxxx x，其中是在()0,5上服从均匀分布的随机变量，求此二次型为正定二次型的概率。10 1110到某商店的顾客数服从参数为()0的 Poisson 分布，假设每名顾客要求售货服务的概率相同，均为()01:XN，事件,=+AXBXCX，如果()()=P AP B，求,A B C至多有一个发生的概率。12设人的身高X（单位：厘米）服从正态分布()2175,5N，公共汽车设计车门时，问门多高才能使需要低头的人不超过 0.5%?（已知()()()1.50.933,20.977,2.550.995=）13.一个房间有三扇完全相同的玻璃窗，其中只有一扇是打开的，两只麻雀飞入房间后，试图飞出房间。

17、（1）第一只麻雀是无记忆的，求它飞出房间时，试飞次数X的分布；（2）第二只麻雀是有记忆的，求它飞出房间时，试飞次数Y的分布；（3）求(),()P XYP XY。（三）随机变量或其函数的分布 设随机变量X的概率密度为 令()2,=YXF x y为二维随机变量(),X Y的分布函数（1）求Y的概率密度（2）求1,42F 15设X的分布列为()11,2,2=L LiP Xii，求sin2=YX的分布列。11 12 16设随机变量1234,XXXX相互独立且同分布，()100.6,0.4,1,2,3,4=iiP XP Xi，求行列式1234XXXXX=的概率分布。12 13 第三讲 二维随机变量及其概

18、率分布 一、知识要点 1.二维随机变量的分布函数（1）概念:(),X Y是二维随机变量,对,x yR(),+=+xF x yPXxYyP Xx Yyy 为二维随机变量(),X Y的分布函数,或随机变量X与随机变量Y的联合分布函数.（2）性质 1(),F x y对x和y分别是单调不减的 2()0,1F x y,且（固定的）()()():,lim,0;,0=xy FyF x yF（固定的）()()():,lim,0;,1=+=xx F xF x yF 3(),F x y对x和y分别是右连续的即()()()()0,;,0,+=+=F xyF x yF x yF x y 4()()()()121222

19、211112,0=+P xXxyYyF xyF xyF x yF x y （3）边缘分布:分量X的概率分布称作(),X Y关于X的边缘分布;分量Y的概率分布称作(),X Y关于Y的边缘分布。(),X Y关于X,关于Y的边缘分布函数分别为()()(),lim,XyFxP XxP Xx YF xF x y+=+=+=()()(),lim,YyFxP YyP XYyFyF x y+=+=+=2二维离散型取随机变量 13 14（1）概念:(),X Y可能取值为()(),1,2=L Lijx yi j,记(),1,2,ijijP Xx YyP i j=L L即 为(),X Y的分布律或X与Y的联合分布律

20、.（2）性质 1()0,1,2ijPi j=L L 2111ijijp=（3）边缘分布函数和边缘分布律.(),X Y关于X,关于Y的边缘分布函数,分别为()()1,iXijxx jFxP XxF xp=+=()()1,jYijyy iFyP YyFyp=+=(),X Y关于X,关于Y的边缘分布函数,分别为()11,2iijijP XxpPi=gL L()11,2jijjiP YypPi=gL L 3.二维连续型随机变量.（1）概念:(),X Y的分布函数为(),F x y若存在一个非负函数(),f x y,使得对,x yR()(),yxF x yf u v dudv=(),x y +14 15

21、则称(),X Y为二维连续型随机变量,而函数(),f x y称作(),X Y的概率密度或X与Y的联合概率密度（2）性质 1.()(),0,f x yx y +2.()(),1f x y dxdyF+=+=3.若(),f x y在点(),x y连续,则有()()2,F x yf x yx y=4.G为xoy平面的一区域,随机点(),X Y落于G内的概率为()(),GPX YGf x y dxdy=（3）边缘分布函数与边缘概率密度(),X Y关于X,关于Y的边缘分布函数,分别为()()()(),xXFxF xf u v dv duy+=+=+()()()(),yYFxFyf u v du dvy+

22、=+=+(),X Y关于X,关于Y的边缘概率密度,分别为()()(),Xfxf x y dyx+=+.()()(),Yfyf x y dxy+=，称(),|1,2ijijijjjP Xx YYPP Xx YyiPP Yy=L L 为在jYy=条件下,随机变量X的条件分布律.对(固定的)i，若0iP Xx=，称(),|1,2ijijjiiiP Xx YyPP YyXxiP XxP=L L 为在iXx=条件下,随机变量Y的条件分布律.（3）连续型随机变量的条件概率密度,条件分布函数:设(),X Y的概率密度为(),f x y，(),X Y关于Y的边缘密度为()Yfy，若对固定的y，()0Yfy,则

23、称()(),Yf x yfy为在Yy=的条件下，随机变量X的条件概率密度,记作()()()|,|X YYf x yfx yfy=而称()()()|,xxX YYfyfy ddfy=为在Yy=的条件下,随机变量X的条件分布函数,记为()|X YP Xx YyFx Y=或，即()()()|,|xX YYfyFx yP Xx Yydfy=类似，(),X Y关于X的边缘概率密度为()Xfx，若对固定的x，()0Xfx，称()()()|,|Y XXf x yfy xfx=为在Xx=条件下,随机变量Y的条件概率密度,而称()()()|,|xY XXf xFy xP Yy Xxdfx=16 17为在Xx=条

24、件下,随机变量Y的条件分布函数.注意:1条件概率密度性质.（1）()()()()|,|0;|0X YY XYXf x yf x yfx yfy xfyfx=（2）()()()|,|1X YYf x yfx y dxdxfy+=，()()()|,|1Y XXf x yfy x dydyfx+=6.常用的连续型二维随机变量的分布.（1）二维均匀分布:如果(),X Y的概率密度为()1,(,)0 x yGf x ymG=其它 其中G为平面区域，mG为G的测度(可理解为面积)，则称(),X Y在平面区域G上服从均匀分布.（2）二维正态分布:如果(),X Y的概率密度为()()()()()()22112

25、22221212122 12121,21xxyyf x ye +=g(),x y ，则称(),X Y服从参数为221212,的二维正态分布,记为(),X Y()221212,N :.性质 1.若(),X Y()221212,N :,则()()221122,XNYN :且二分量,X Y的非零线性组合也服从正态分布.(参看浙大书(三版)P136)2.仅知()()221122,XNYN :,不能断定(),X Y服从二维正态分布,只有,X Y相互独立时，才有()()(),XYf x yfx fy=.3.若(,)X Y()221212,N :则,X Y相互独立的充分必要条件是0=7.两个连续型随机变量的

26、简单函数的分布（1）设(),X Y的概率密度为(),f x y，则随机变量(),Zg X Y=的分布函数为对17 18 zR ()()()(),()Zg x yzFzP ZzP g X Yzf x y dxdyz=()()()()()()11NNXYYXdFzfzfzFzfzFzdz=+18 19（3）推广于n个相互独立的随机变量的情形，()1,2,iXin=L L相互独立.1212max,min,nnnnMXXXNXXX=LL 则()()()()12nnMXXXFzFz FzFz=L L()()()12111()1nnNXXXFzFzFxFz=特别，当()1,2,iXin=L L相互独立且有

27、相同的分布函数()F z时,有()()nnMFzF z=()()11nnNFzF z=二、例题分析（一）用二维随机变量的分布,计算有关事件的概率 1设随机变量(),X Y的概率密度为 102,01(,)20 xyf x y （2）2P XY=其它（1）求c的值。（2）求,X Y的边缘概率密度,并判断,X Y是否独立。5.设随机变量X（,Y）服从二维正态分布且,X Y不相关，()(),XYfxfy分别表示,X Y的概率密度，则在Yy=的条件下，X的概率密度()|X Yfx y为（）A.()Xfx B.()Yfy C.()()XYfx fy D.()()XYfxfy 6设随机变量X在区间()0,1

28、上服从均匀分布,当X到()01xx.7设二维随机变量(),X Y的概率密度为()220,0(,)0 xykxyexyf x y+=其它 求（1）常数k的值。（2）1|1P YX（3）()max,1PX Y 8二维随机变量(),X Y的概率密度为 401,01(,)0 xyxyf x y=其它 求(),X Y的分布函数(),F x y.9设(),X Y在平面区域(),|02,01Dx yxy=上服从均匀分布,求矩阵20 210020211YAX=的特征值全为实数的概率。（三）已知(),X Y的分布，求(),Zg X Y=的分布。10.设,X Y相互独立,都服从0,1ZXY=+的概率密度。11.设

29、二维随机变量(,)X Y的概率密度为 201,01(,)0 xyxyf x y（2）求ZXY=+的概率密度。12.将两封信投入编号,的 3 个邮箱,设,X Y分别表示投入号,号信筒中信的数目,求（1）(),X Y的分布。（2）0Y=时，X的条件分布。（3）2,XYXY=+=的分布。21 22 第四讲 随机变量的数字特征,大数定律与中心极限定理 一、知识要点（一）随机变量的数字特征.数学期望 1一维随机变量的数学期望（1）设X为离散型随机变量,其分布律为()1,2,kkP Xxpk=L L 如果级数1kkkx p=绝对收敛,则称此级数之和为随机变量X的数学期望,记作()E X.即()1kkkE

30、Xx p=规定随机变量函数()g X的数学期望为()()1kkkE g Xg xp=(当1()kkkg xp=绝对收敛时).（2）设X为连续型随机变量,其概率密度为()f x，若积分()xf x dx+绝对收敛,则称此积分值为随机变量X的数学期望，记作()E X，即()()E Xxf x dx+=规定随机变量函数()g X的数学期望为()()()E g Xg x f x dx+=（当()()g x f x dx+绝对收敛时)2二维随机变量函数的数学期望（1）设(),X Y为二维离散型随机变量,其分布律为(),1,2,ijijP Xx Yypi j=L L 22 23规定二维随机变量函数(),g

31、 X Y的期望为()()11,ijijjiE g X Yg x yp=(当()11,ijijjig x yp=绝对收敛时)特别有()111iijiiijiE Xx px p=g()111jijjjjijE Yy py p=（2）设(),X Y为二维连续型随机变量,其概率密度为(),f x y.规定二维随机变量函数(),g X Y的数学期望为()()(),E g X Yg x y f x y dxdy+=（当()(),g x y f x y dxdy+绝对收敛时）.特别有()()(),XE Xxf x y dxdyxfx dx+=()()(),YE Yyf x y dxdyyfy dy+=3数学

32、期望的性质（1）()E cc=（c为常数）（2）()()E kXckE Xc+=+（,k c为常数）（3）()()()E XYE XE Y=（4）若,X Y相互独立，则()()()E XYE X E Y=.方差与标准差(均方差)1.概念 随机变量X的函数()()2g XXE X=的数学期望(当它存在时)称作随机变量X的方差,记作()D X，即()()2D XEXE X=而称()D X的算术平方根()D X为X的标准差(或均方差)2.计算公式：23 24()()()()22D XE XE X=3.性质（1）()0D c=（c为常数）（2）()()2D kXck D X+=（k c为常数）（3）若

33、,X Y相互独立,则()()()D XYD XD Y=+。.协方差 1.概念(),X Y为二维随机变量,称(),X Y的函数()()()()(),g X YXE XYE Y=的 数 学 期 望 为X与Y的 协 方 差,记 作()()cov,XYX Y或，即()()()()cov,XYX YEXE XYE Y=.2.计算公式()()()()cov,X YE XYE X E Y=当XY=时，()()cov,XXX XD X=.3.性质（1）()()()cov,cov,;cov,0X YY XX c=(c为常数)（2）()()cov,cov,aX bYabX Y=(,a b为常数)（3）()()()

34、1212cov,cov,cov,XXYX YXY=（4）()()()()1cov,2X YD XYD XD Y=+注意:（4）的变形为:()()()()2cov,D XYD XD YX Y=+.相关系数 1.概念:(),X Y为二维随机变量,称()()(),cov,XYX YXXYYX YD XD Y=或 为随机变量,X Y的相关系数 注意：相关系数XY反映了随机变量X与Y之间线性联系的紧密程度,当0XY=时,称X与Y不相关.2.性质 24 25（1）1XY（2）1XY=的充分必要条件是存在常数,0a b，使1P YabX=+=.若0b,则1XY=；若0b=则()()2,E XD X=.7.若

35、()()221212,X YN :时,则 25 26()()()()()22112212,cov,XYE XD XE YD YX Y=协方差矩阵()()1212122122222;det10CC =.协方差逆矩阵 2121221211detCC =.矩 设,X Y是随机变量 1.若()()1,2,kE Xk=L存在，称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩.2.若()()1,2,kEXE Xk=L存在，称它为X的k阶中心矩.3.若()(),1,2,klE X Yk l=L存在,称它为X和Y的kl+阶混合矩.4.若()()kkEXE XYE Y 存在,称它为X和Y的kl+阶混合中心矩.附录 几个常用公式

36、 1.()112nin ni=+=2.()()211216nin nni=+=3.()23112nin ni=+=4.()1111nnaaxxx=5.()()()12111111nnnniixaanxaxaxaxxx=6.()()()()()()21121112123111111111nnnnnnNnan xan nn xa xn nxnxaxaaxxxxx=+=+=+=26 277.()0!nxnxexn=有，()()2D XP XE X（等价形式:()()21D XP XE X如果存在随机变量Y（或存在常数a）,使得lim1nnP YY=（或lim0nnP YY=）（或lim1nnP Ya

37、=（或lim0nnP Ya=）则称随机变序列 nY依概率收敛于Y(或依概率收敛于a).记为()PnYY n（或()PnYa n）.（2）性质:1设 nnXY是两个随机变量序列；,a b为二常数且(),PPnnXa Yb n 而函数(),g x y在点(),a b连续,则()()(),Pnng XYg a bn 2若()PPnnXaYb n ,则()PnnXYab n ()PnnX Yab n ()()0PnnXabnYb 2.大数定律:设nX是一列随机变量，()nE X存在()1,2n=L.若()()1111nnpnnniiiYXE YEXnnn=.则称随机变量序列nX服从大数定律.27 28

38、 注意:当说随机变量序列nX服从大数定律时,指的是随机变量序列()11212111,2nniiYX YXXYXn=+=LL L的极限行为,而并不是指随机变量序列nX本身的极限行为.3.切比雪夫大数定律:设随机变量序列相互独立（指对12,iiN XXX L相互独立,没说同分布）且具有相同的数学期望和方差：()()()2,1,2,iiE XD Xi=L L,则()11nPniiYXnn=4.伯努利大数定律:设n次伯努利试验中事件A发生的次数为An，每次试验中A发生的概率是()01PP，则()PAnP nn 5.辛钦大数定律:设随机变量序列iX相互独立,服从同一分布,且具有数学期望()()1,2,i

39、E Xi=L L()11nPniiYXnn=注意:辛钦大数定律是切比雪夫大数定律的推广，在iX同分布的条件下，它把iX的方差存在且()()21,2,iD Xi=L L的条件去掉.使得辛钦大数定律应用更广泛、更方便,尤其在数理统计的参数点估计的讨论中有重要的应用.中心极限定理 1.LindbergLery中心极限定理（独立同分布中心极限定理）：设随机变量列iX相互独立，服从同一分布.且()()()2,1,2,iiE XD Xi=L L，则（1niiX=经过标准化得到的随机变量)1111nnniiiiiinniiXEXXnYnDX=的分布函数()nFx，对xR，有 28 29()2121limli

40、m2nxtiinnnXnFxPxedtn=2.DeMoiver-Laplace 中心极限定理 二项分布以正态分布为极限分布定理):设nX服从二项分布()()(),011,2,B n ppn=L L，则对xR，有()221lim21xtnnXnPPxetnPP=注意:当n很大，P很小，而nP=是一个不大的常数时，用 Poisson 分布近似二项分布效果较好.当n很大，P不是很小,也不很接近 1 时（一般指当1,5PnP时，或()1,152PnP时），则必须用正态分布去近似二项分布,这样效果会更好.二、例题分析(一)已知分布求数字特征 1.设某图书馆的读者借阅甲种书的概率为()01，借阅乙种书的概

41、率为()01，且每人借阅甲、乙两种图书的行动相互独立,读者之间的行动也相互独立,某天来了n位读者，则甲、乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望为 ，方差为 2.离散型随机变量X的分布律为()()111,2,nP Xnppn=L L其中01p，而cosYX=，则()E Y=，()D Y=。3.已知随机变量,X Y Z相互独立,且()222,0,23XNYNZN:，00.2P X=则5437PXYZ+=。4.澳门赌场“押对子”是一种赌法，其规则为：庄家从 6 副（每副 52 张）扑克中，随机发给你两张，如果你下注a元，当得到的两张是一对时（无论何种花色，号码一样），庄家赔你 10 倍，否则输掉你的

42、赌注，如果你下注 100 元，你和庄家在每局中各期望赢多少元？5.设随变量()()221212,X YN :其中0=即概率密度，,X Y的相关系数为14XYP=，而34ZXY=，则Z的方差为 7.设1,2,nX XX是 取 自 正 态 总 体()()20,0N的 简 单 随 机 样 本，记()111kkiiXXknk=，则()1cov,kkXX+=（）。A.2 B.2k C.21k+D.()21k k+8.设(),的概率密度为 20(,)0 xeyxf x y 求（1）()()|0Eyy=（2）()()|0Dyy=（二）与数字特征的有关应用题 9.两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参

43、数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时，停用，而启用另一台。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度()f t，数学期望和方差。10.按季节出售的某种应时商店，每出售一公斤，获利 6 元，如果到季未尚有剩余商品，则每公斤净亏损l元,设某商店在季度内这种商品销售量X(单位:公斤)是一随机变量，X在()12,s s上服从均匀分布，为使商店所获利润的数学期望最大，问商店应进多少货？（三）不相关与独立性判定 11.设随机变量X与Y相互独立，且()()()1,2,01XBPYBPP:，令 0111XYXY+=+；0212YXYX=试确定P的值，使()cov,达到最小。30 3112.

44、设(),X Y的分布函数为()()()(),F x yG xH yH=且()()(),GHH+都存在。试证明：,X Y相互独立。13.设连续型随机变量X的概率密度是偶函数，且()2E X，则有（1）()()2,E XD Xn=（2）()()()22222111,nniinE SE SEXXnn=.抽样分布(统计量的分布叫抽样分布)1.2分布（1）概念:设12,nXXXL是来自总体()0,1XN:的样本（包含12,nXXXL相互独立），则称统计量 222212nXXX=+L 服从n个自由度的2分布，记作()22n:（2）概率密度:若()22n:，其概率密度为 122210()2200nxnxex

45、nf xx=注意:2分布是分布中1,22n=的特例.（3）数学期望与方差:若()22n:，则()()22,2En Dn=（4）可加性:设()()2212,XnYn:，且,X Y相互独立,则()212XYnn+:（5）上(侧)分位点:给定常数:01=的点()2n为n个自由度的2分布的上(侧)分位点.33 34 2.t 分布（1）概念,设()()20,1,XNYn:且,X Y相互独立,则称随机变量 XtYn=为服从n个自由度的t分布,记作()tt n:（2）概率密度:若()tt n:，其概率密度为()12212122nntf tnn+=+()t +（3）上(侧)分位点,给定常数:01=的点()tn

46、为n个自由度的t分布的上(侧)分位点 注意:由于()f t关于0t=对称,故()()1tntn=.3.F 分布（1）概念:设随机变量()()2212,XnYn:且,X Y相互独立,称随机变量 12XnFYn=服从自由度为()12,n n的F分布,记为()12,FF n n:（2）概率密度:若()12,FF n n:,则其概率密度为 34 35 112212122121220()12200nnnnnnxnxf xnnnxnx+=+注意:注()12,FF n n:,则()211,F n nF:（3）上(侧)分位点,给定常数:01=的点()12,Fn n为第一自由度为1n,第二自由度为2n的F分布的

47、上(侧)分位点.注意:F分布的上(侧)分位点有以下性质()()112211,Fn nFn n=4正态总体下，常用统计量的分布（1）一个正态总体情形 定理设12,nXXXL是正态总体()2,XN:的一个样本,则()()2,;0,1/XXNNnn:()()()()2222122211niniXXnSnSn=:()()()22211niiXn=()X与2S(或2nS)相互独立 35 36()()1/Xt nSn:（2）两个正态总体情形 定理设12,mXXXL与12,nY YYL分别是正态总体()211,XN:，()222,YN:的 一 个 样 本,且 这 两 个 样 本 独 立(指 随 机 向 量(

48、12,mXXXL)与(12,nY YYL)相互独立)，()221111111,1mnmiiiiiiXX YY SXXmnm=()222111niiSYYn=分别是这两个样本的样本均值与样本方差，则()()()()1222120,1XYNmn+:()()()()2211122221/,/miiniiXmF m nYn=:()()22112222/1,1/SF mnS:()当22212=时，有()()()12211wXYt mnSmn+:,其中()()22122112wmsnsSmn+=+2wwSS=,此时()式化为()21221,1SF mnS:.二、例题分析(一)求统计量的分布或其中参数.1.

49、设随机变量服从()3,4F分布，对给定的()01=，若1P Xx=，则x等于（）A.()114,3F B.()113,4F C.()4,3F D.()14,3F 36 372.设总体()()120,1,1nXNXXXn:L L是取自X的简单随机样本,则下面统计量的分布中不正确的是()A.()221niiXn=:B.()110,1niiXNn:C.()12111nniinXt nX=:D.()()22123122,23iiniiXFnnX=:3.设总体()212100,2,XNXXX:L L，是来自X的简单随机样本,令 2251016ijijYXX=+试确定常数c，使CY服从2分布,并指出其自由

50、度。4.设128,XXXL和1210,Y YYL分别是来自两个正态总体()3,4N 和()1,5N 的简单随机样本，且相互独立，21S和22S分别是两个样本的样本方差，则服从()9,7F的统计量是()A.222152SS B.222145SS C.212254SS D.222125SS 5.设总体()2121,nnXNXXXX+:L L是来自X的简单随机样本,令()221111,1nniiiiXX SXXnn=问统计量 11nXXnZnS+=+服从什么分布,自由度是多少?6.（1）设随机变量()()211,Xt nnYX=:则()A.()1,YFn:B.(),1YF n:C.()2Yn:D.(