黄金分割法-进退法-原理及流程图.pdf

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1、1黄金分割法的优化问题1 1黄金分割法基本思路：黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于a，b区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间a，b内适当插入两点 a1，a2，并计算其函数值。a1，a2 将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。2 2 黄金分割法的基本原理黄金分割法的基本原理一一维搜索是解函数极小值的方

2、法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法法。该方法用不变的区间缩短率代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。黄金分割法是用于一元函数 f(x)在给定初始区间a,b内搜索极小点*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数6，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间7。具体步骤是：在区间a,b内取点：a1

3、，a2 把a,b分为三段。如果 f(a1)f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果 f(a1)f(a2)，令 b=a2，a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果(b-a)/b和(y1-y2)/y2都大于收敛精度重新开始。因为a,b为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小倍或倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区a,b逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。黄金分割法原理如图所示，3 3 程序流程如下：程序流程如下：4 4 实验所编程序框图实验所编程序框图给定 a=-3,b=5,收

4、敛精度开始a*=(a+b)/2是(b-a)/b和 y2-y1/y2=y2a1=b-r*(b-a)y1=f(a1)a2=a+r*(b-a)y2=f(a2)否结束#include#include#define f(x)x*x+2*xdouble calc(double*a,double*b,double e,int*n)double x1,x2,s;if(fabs(*b-*a)f(x2)*a=x1;else*b=x2;*n=*n+1;s=calc(a,b,e,n);return s;main()double s,a,b,e;int n=0;scanf(%lf%lf%lf,&a,&b,&e);s=c

5、alc(&a,&b,e,&n);printf(a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%dn,a,b,s,n);5 5 程序运行结果如下列图：程序运行结果如下列图：2 2 进退法进退法1 1算法原理算法原理进退法是用来确定搜索区间包含极小值点的区间的算法，其理论依据是：f(x)为单谷函数只有一个极值点，且a,b为其极小值点的一个搜索区间，对于任意如果fx1 fx2，则a,x2为极小值的搜索区间，如果fx1 fx2，x1,x2a,b，则x1,b为极小值的搜索区间。因此，在给定初始点x0，及初始搜索步长h的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算fx0h。（1）如果fx0 fx0h则可知搜索区间为

6、x,x0h，其中x待求，为确定x，后退一步计算f(x0h)，*为缩小系数，且0 1，直接找到合适的*，使得f(x0h)fx0，从而确定搜索区间x0*h,x0h。（2）如果fx0 fx0h则可知搜索区间为x0,x，其中x待求，为确定x，前进一步计算f(x0h)，为*放大系数，且1，知道找到合适的*，使得fx0h f(x0h)，从而确定搜索区间x0,x0*h。进退法求极值进退法求极值基本思想：基本思想：对f(x)任选一个初始点x1及初始步长 h0，通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为“高低高”形态。算法原理算法原理1.试探搜索：选定初始点 x1,x2=x1

7、+h0，计算 y1f(x1)，y2f(x2)a如 y1y2,转 2 向右前进；b如 y1y2,转 3 向左后退；加大步长 h2 h，产生新点 x3=x2+2h0；a如 y2y3，令x1=x2，y1=y2；x2=x3，y2=y3；h=2h重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、y3的大小，直到y2y3。令 h-h0，令 x3=x1，y3=y1；x1=x2，y1=y2；x2=x3，y2=y3；h=2h；产生新点x3=x2+h；a如 y2y3，令x1=x2，y1=y2；x2=x3，y2=y3；h=2h重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、y3的大小，直到y2y3。令 a=x1，b=x3，搜索区间为

8、 a，b；2 2算法步骤算法步骤用进退法求一维无约束问题min f(x),xR的搜索区间包含极小值点的区间的基本算法步骤如下：（1）给定初始点x(0)，初始步长h0，令h h0，x(1)x(0)，k 0；（2）令x(4)x(1)h，置k k 1；(4)fx(1)，则转步骤4（3）假设fx，否则转步骤5；(2)fx(1)，fx(1)fx(4)，令h 2h，（4）令x(2)x(1),x(1)x(4)，fx转步骤2；（5）假设k 1，则转步骤6否则转步骤7；(2)fx(4)，转步骤2（6）令h h，x(2)x(4)，fx；（7）令x(3)x(2),x(2)x(1),x(1)x(4)，停 止 计 算，

9、极 小 值 点 包 含 于 区 间x(1),x(3)或x(3),x(1)3 3算法的算法的 MATLABMATLAB实现实现在 MATLAB中编程实现的进退函数为：min JT功能：用进退法求解一维函数的极值区间。调用格式：min x,max x min JT(f,x0,h0,eps)其中，f：目标函数；x0：初始点；h0：初始步长；eps：精度；minx：目标函数取包含极值的区间左端点；maxx：目标函数取包含极值的区间又端点。进退法的进退法的 MATLABMATLAB程序代码如下程序代码如下：function minx,maxx=minJT(f,x0,h0,eps)%目标函数:f;%初始点

10、:x0;%初始步长:h0;%精度:eps;%目标函数取包含极值的区间左端点:minx;%目标函数取包含极值的区间又端点:maxx;format long;if nargin=3eps=1.0e-6;endx1=x0;k=0;h=h0;while 1x4=x1+h;%试探步k=k+1;f4=subs(f,findsym(f),x4);f1=subs(f,findsym(f),x1);if f4f1x2=x1;x1=x4;f2=f1;f1=f4;h=2*h;%加大步长elseif k=1h=-h;%反向搜索x2=x4;f2=f4;elsex3=x2;x2=x1;x1=x4;break;endendendminx=min(x1,x3);maxx=x1+x3-minx;format short;流程图如下：