中考数学二次函数专题-.doc.pdf

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1、二次函数知识点总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目第一局部第一局部 根底知识根底知识1.定义：一般地，如果y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y ax的性质1抛物线y ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2函数y ax的图像与a的符号关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点.3顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax（a 0）.3.二次函数y ax bx c的图像是对称轴平行于包括重合y轴的抛物线.24.二 次 函 数y ax bx c用 配 方 法 可 化 成：y ax

2、 h k的 形 式，其 中2222222b4ac b2h ，k.2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax；y ax k；2y ax h；y ax h k；y ax bx c.22226.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴或重合的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b4ac b2b 4

3、ac b2（，）1 公式法：y ax bx c ax，顶点是，2a4a2a4a22对称轴是直线x b.2a2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶2点为(h,k)，对称轴是直线x h.3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y ax bx c中，a,b,c的作用1a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.2b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直

4、线222bb，故：b 0时，对称轴为y轴；0即a、b同号时，对称轴2aab在y轴左侧；0即a、b异号时，对称轴在y轴右侧.ax 3c的大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c，抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点0，c：c 0，抛物线经过原点;c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，那么22b 0.a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a 0时对称轴顶点坐标0,0(0,k)(h,0)(h,k)y ax2y ax ky ax h2x 0y轴2x 0y轴x

5、hx hx b2a2y ax h k开口向上当a 0时y ax bx c2开口向下b4ac b2，()2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式1一般式：y ax bx c.图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.22顶点式：y ax h k.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.23交点式：图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.12.直线与抛物线的交点1y轴与抛物线y ax bx c得交点为(0,c).2 与y轴 平 行 的 直 线x h与 抛 物 线y ax bx c有 且 只 有 一 个 交 点(h,ah222bh c).3抛物线与x轴的交点二次函数

6、y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点顶点在x轴上 0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.4平行于x轴的直线与抛物线的交点同3一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，那么横坐标是ax bx c k的两个实数根.5 一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax bx ca 0的图像G的2222交点，由方程组y kxny ax2bxc的解的数

7、目来确定：方程组有两组不同的解时方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无l与G有两个交点;解时l与G没有交点.6抛物线与x轴两交点之间的距离：假设抛物线y ax bx c与x轴两交点为2Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故bcx1 x2,x1 x2aaAB x1 x2x1 x22x1 x224cb24acb4x1x2 aaaa2第二局部第二局部 典型习题典型习题.抛物线 yx 2x2 的顶点坐标是 DA.2，2 B.1，2 C.1，3 D.1，3.二次函数y ax2 bx c的图象如下图，那么以下结论正确的选项是 Cab0，c0ab0，c0ab0，c

8、0ab0，c02第,题图第 4 题图.二次函数yax bxc的图象如下图，那么以下结论正确的选项是Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，中，BC=8，BC 上的高，D 为 BC 上一点，交 AB 于点 E，的面积关于的函2交 AC 于点 FEF 不过 A、B，设 E 到 BC 的距离为，那么数的图象大致为EF4 x EF 82x,y x24x84.抛物线y x 2x3与 x 轴分别交于 A、B 两点，那么 AB 的长为 421)x1与 x 轴交点的横坐标为x1、x2x1x26.二次函数ykx(2k，那么对于以下1)x10有两结论：当 x2 时，y1

9、；当xx2时，y0；方程kx(2k2214k2个不相等的实数根x1、x2；x11，x21；x2x1，其中所有正确k的结论是只需填写序号 7.直线y 2x bb 0与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为y x2b 10 x c.1假设该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线y 2x b上，试确定这条抛物线的解析式；2过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点 C，假设抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线y 2x b的解析式.解：1y x 10或y x 4x 622b10b216b100,)，由题意得将（0，b)代入，得c b.顶点坐标为(24b10b216b1002

10、b ，解得b1 10,b2 6.242y 2x 28.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,41求此二次函数的解析式；2在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解：1设所求二次函数的解析式为y ax2 bx c,a(2)2 b(2)c 5c 3a 1那么a02 b0 c 3,即2a b 4,解得b 2a b c 4a b 1c 3故所求的解析式为:y x2 2x 3.2)函数图象如下图.由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是x 1或x 39.某生物兴趣小

11、组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同 他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成以下图请根据图象答复：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼第 9 题的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10 时到 22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是3912x 2x 2410 x 22164210.抛物线y ax(3a)x4与 x

12、轴交于 A、3y B 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得ABC 为直角三角形假设存在，请求出 a 的值；假设不存在，请说明理由解：依题意，得点 C 的坐标为0，4 设点 A、B 的坐标分别为x1，0，x2，0，2由ax(3a)x4 0，解得x1 3，x2 4343a点 A、B 的坐标分别为-3，0，AB|4，0 3a43|，AC AO2OC25，3a42|423aBC BO2OC2|AB|241641683|22239 29，3a9a3a9aa162216AC 25，BC 9a2当AB AC BC时，ACB90由AB AC BC，得222222168169 25(16)9a2a9

13、a2解得a 当a 214116625400222时，点 B 的坐标为，0，AB，AC 25，BC 439922于是AB AC BC当a 21时，ABC 为直角三角形422当AC AB BC时，ABC90由AC AB BC，得25 (解得a 222168169)(16)9a2a9a249444当a 时，3，点 B-3，0与点 A 重合，不合题意493a39当BC AC AB时，BAC90由BC AC AB，得解得a 2222221616816 25(9)22a9a9a4不合题意91时，ABC 为直角三角形4综合、，当a 11.抛物线 yx2mxm2.1假设抛物线与x 轴的两个交点 A、B 分别在

14、原点的两侧，并且AB5，试求m 的值；2设C 为抛物线与 y 轴的交点，假设抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.解:(1)x1，0,B(x2，0).那么 x1，x2是方程 x2mxm20 的两根.x1 x2m,x1x2=m2 0 即 m2;2又 ABx1 x2（x1+x2）4x1x25 ,m24m3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去),m 的值为 1.2M(a，b)，那么 N(a，b).M、N 是抛物线上的两点,2a mam2 b,2a mam2 b.yC CMMOxN N得：2a22m40.a2m2.当 m2 时，才存在满足条件中的两点M

15、、N.a 2m.这时 M、N 到 y 轴的距离均为2m,又点 C 坐标为0，2m,而 S M N C=27,212m2m=27 .2解得 m=7.12.：抛物线yax 4axt与 x 轴的一个交点为 A1，0 1求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；2D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；3E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，如果点 E 在 2 中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE 的周长最小?假设存在，求出点 P 的坐标

16、；假设不存在，请说明理由解法一：1依题意，抛物线的对称轴为x2抛物线与 x 轴的一个交点为 A1，0，由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点 B 的坐标为3，0 2抛物线yax 4axt与 x 轴的一个交点为 A1，0，221)t0 t3ayax 4ax3aa(1)4a(D0，3a 梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线yax 4ax3a上，C4，3a AB2，CD4梯形 ABCD 的面积为 9，a1所求抛物线的解析式为yx 4x3或y x 4ax 33设点 E 坐标为x0，y0.依题意，x00，y00，且2222211(ABCD)OD9(24)3a92255y0 x02x

17、02y0设点 E 在抛物线yx 4x3上，y0 x04x032215x，0 x 6，y x,0200解方程组得2515；y0y x24x 3 y 00004点 E 与点 A 在对称轴 x2 的同侧，点 E 坐标为15，24设在抛物线的对称轴x2 上存在一点 P，使APE 的周长最小 AE 长为定值，要使APE 的周长最小，只须 PAPE 最小点 A 关于对称轴 x2 的对称点是 B3，0，由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点设过点 E、B 的直线的解析式为ymxn，15m,1mn,224解得3n.3mn0.2直线 BE 的解析式为y点 P 坐标为2，131x把 x2 代入上

18、式，得y2221 222设点 E 在抛物线y x 4x 3上，y0 x0 4x035y x0,302解方程组消去y0，得x0 x03022y x2 4x 3.0000.此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点P2，解法二：1抛物线yax 4axt与 x 轴的一个交点为 A1，0，21，使APE 的周长最小21)t0 t3ayax 4ax3aa(1)4a(令 y0，即ax 4ax3a0解得x11，x23抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为3，0 2222由yax 4ax3a，得 D0，3a 梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线2yax24ax3a上，C4，3a AB2，CD

19、4梯形 ABCD 的面积为 9，3a3 a1所求抛物线的解析式为yx 4x3或yx 4x33同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点如图，过点 E 作 EQx 轴于点 Q设对称轴与 x 轴的交点为 F221(ABCD)OD9解得 OD32BFPF11PF PF55BQEQ2241点 P 坐标为2，2由 PFEQ，可得以下同解法一13.二次函数的图象如下图1求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标2假设点N 为线段 BM 上的一点，过点N 作 x 轴的垂线，垂足为点Q当点N 在线段 BM上运动时点 N 不与点 B，点 M 重合，设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求

20、 S 与 t之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；3在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC 为直角三角形?假设存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；假设不存在，请说明理由；4将OAC 补成矩形，使OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标不需要计算过程 解：1设抛物线的解析式y a(x 1)(x 2)，2 a1(2)a 1y x x 22其顶点 M 的坐标是，12942设线段 BM 所在的直线的解析式为y kxb，点 N 的坐标为 Nt，h，0 2k b，3 91解得k，b 32k b.423x3231112321h t

21、 3，其中 t 2s 12(2t 3)t t t 122223423211 s 与 t 间的函数关系式是S t t 1，自变量 t 的取值范围是 t 2422线段 BM 所在的直线的解析式为y 3存在符合条件的点 P，且坐标是P1，P2，设点 P 的坐标为 P(m，n)，那么n m m22 5 72 4 3254PA2(m1)2 n2，PC2 m2(n 2)2，AC2 5分以下几种情况讨论：i假设PAC90，那么PC PA AC2n m m 2，2222m (n 2)(m 1)n 5.222解得：m155 7，m2 1舍去 点P1，22 4222ii假设PCA90，那么PA PC AC2n m

22、 m2，2222(m1)n m(n2)5.解得：m353 3，m4 0舍去 点P2，422iii由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时，PA AC，所以边 AC 的对角APC 不可能是直角4以点 O，点 A或点 O，点 C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA或边 OC的对边上，如图 a，此时未知顶点坐标是点D1，2，以点 A，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图 b，此时未知顶点坐标是 E，F，1 25 5 4585图 a图 b214.二次函数yax 2的图象经过点1，1 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数解：根据题意，得

23、a21.a1 这个二次函数解析式是yx 2因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是0，2，所以该函数图象与 x 轴有两个交点15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一局部在大桥截面 111000 的比例图上，跨度AB5 cm，拱高 OC0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图1 在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图2 21求出图2上以这一局部抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；2 如果 DE 与 AB 的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长 备用数据：2 1.4，计算结果精

24、确到 1 米 解：1由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这局部抛物线为图象的函数解析式为9105529185因为点 A，0或 B，0 在抛物线上，所以0a()，得a22210125182955因此所求函数解析式为yx(x)1251022yax 29918295，所以x，得x220201251045995所以点 D 的坐标为，点 E 的坐标为2，2，4420202因为点 D、E 的纵坐标为所以DE555 22(2)4425 2110000.01275 2 385米 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为16.在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点 A 在点 B 的左侧，如

25、图二次函数yax bxca0的图象经过点 A、B，与 y 轴相交于点 C1a、c 的符号之间有何关系?2如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证a、c 互为倒数；3在2的条件下，如果 b4，AB4 3，求 a、c 的值解:1a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c02证明：设点 A 的坐标为x1，0，点 B 的坐标为x2，0，那么0 x1x2OA x1，OB x2，OC c据题意，x1、x2是方程ax bxc 0(a 0)的两个根 x1x222ca由题意，得OAOBOC，即c c2ca22所以当线段 OC 长是线段 OA、OB 长的比例中项时，a、c 互为倒数

26、3当b 4时，由2知，x1x2 0，a0解法一：ABOBOAx2x1(x1x2)4x1x2，AB 2ba4a4c164ac2 3()24()aaa2aAB 4 3，2 314 3得a c2.a24 164ac4 16423，2a2aa解法二：由求根公式，xx12323，x2aa2 32 32 3aaaABOBOAx2x1AB4 3，2 314 3，得a c2a217.如图，直线y 3x 3分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，E 经过原点 O 及 A、B 两点31C 是E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D，假设CODCBO，求点 A、B、C 的坐标；2求经过 O、C、A 三点的抛物线的解

27、析式：3假设延长BC 到 P，使DP2，连结AP，试判断直线PA 与E 的位置关系，并说明理由解：1连结 EC 交 x 轴于点 N如图 A、B 是直线y 3，B(0,3)x 3分别与 x 轴、y 轴的交点 A3，03又CODCBO CBOABC C 是ON 13OB3OA,EN 2222的中点 ECOA连结 OE EC OE 3 NC EC EN 333 C 点的坐标为,2222设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为y axx 33333 32 C,a(3)a 32222 29y 2 322 3x x为所求983tanBAO 3，BAO30，ABO50311由1知OBDABDOBD ABO 60 3022 ODOBtan301 DA2 ADCBDO60，PDAD2 ADP 是等边三角形 DAP60 BAPBAODAP306090即PAAB即直线 PA 是E 的切线