2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题-参考答案及评分标准.pdf

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1、20162016 年全国高中数学联赛四川初赛试题年全国高中数学联赛四川初赛试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 5 页参考答案及评分标准 第 2 页 共 5 页20162016 年全国高中数学联赛四川初赛试题年全国高中数学联赛四川初赛试题参考答案及评分标准参考答案及评分标准说明：说明：1 1、评阅试卷时，请依据评分标准、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设选择题和填空题只设 5 5 分和分和 0 0 分两档；分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次间档次.2 2、如果考

2、生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5 5 分一个档次，不要再增加其它中间分一个档次，不要再增加其它中间档次档次.一、选择题本大题共一、选择题本大题共 6 6 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共分，共 3030 分分1、A2、D3、C4、C5、A6、B二、填空题本大题共二、填空题本大题共 6 6 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共分，共 3030 分分7、1808、构造f(n)112 1424n112n，2n1139、4 3

3、10、11、12、2015242三、解答题本大题共三、解答题本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题 2020 分，共分，共 8080 分分13、设等比数列an的前n项和为Sn，且Sn 2n rr为常数，*记bn 2(1log2an)(nN N)f(n1)n1 12(n1)4n212n9则1，15 分2f(n)2(n1)4n 12n8n23于是f(n)严格单增，则f(n)的最小值为f(1)2，43即实数k的最大值是220 分414、已知a、b、c为正实数，abc求证：abc (abc)(bca)(cab)111a2b2c2abc证 明：1 先 证：abc，等 价 于 证 明：111a2b2c

4、2(ab)2(bc)2(ca)2 abc(abc)，令x ab,y bc,z ca，由不等式x y z xy yz zx知结论成立5 分2221求数列anbn的前n项和Tn；1bn1b11b2 kn1成立，2 假设对于任意的正整数n，都有b1b2bn求实数k的最大值解：1由条件易知a1 2r,a2 S2S1 2,a3 S3S2 4,2又由a2 a1a3得r 15 分nnn1于是Sn 2 1故an 2，bn 2(1log2an)2n，anbn n212因此Tn12 22 232Tn12 22 12由-得：Tn 2 2 11 12*22bca由于不等式是轮换对称的，不妨设a maxa,b,c，则a

5、 bc 0,c a b 02再证：a bc (a bc)(bca)(c a b)当bca 0时，结论显然成立；当bca 0时，令a y z,b z x,c x y，(n1)2n1 n2n(n1)2n n2n1n1 2n1 2n n2n1，故Tn(n 1)2 2n1*所以，数列anbn的前n项和为Tn(n 1)2 2(nN N)10 分(2)因为k 1b11b21b2n1b11bnbn112 144n1212n，2n111(bca)，y(cab)，z(abc)，10 分222故x,y,z均大于 0.111不等式*变为：2(x y z)8xyz222(y z)(z x)(x y)111444只需证

6、：，15 分yzzxxy(y z)2(z x)2(x y)2412注意到：(y z)4yz，则,2(y z)yz则x 参考答案及评分标准 第 3 页 共 5 页同理：4141，所以，原不等式成立20 分(z x)2zx(x y)2xy15、已知抛物线y22px过定点C(1,2)，在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线 AC 与直线 yx3 交于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点B1求证：直线 AB 过定点；2求ABC 面积的最小值yA解：1由抛物线 y22px 过定点 C(1,2)，可得抛物线方程为 y24xCQ2y0设点 A 坐标为(,y0)(y02)，则直线 AC 的Ox4B

7、Py024方程为 y22(x1)，即 y2(x1)，y 2y0014y 62y012与 yx3 联立解得 P 点坐标为(0,)5 分y0 2y0 2所以 B 点坐标为(20即(2m3a)(y12)0因此式对任意 y12 都成立，所以2m3a0，即 32ma，因此直线 xmya 过定点 Q(3,2)10 分2由1可设直线 AB 的方程为 x3m(y2)，与抛物线方程联立得 y24my4(2m3)0则 y1y24m，y1y24(2m3)，1SABC|CQ|y1y2|y1y2|(y1 y2)24y1y24(m1)222所以当 m1 时，ABC 面积的最小值为 4220 分16、已知a为实数，函数 f

8、(x)|x2ax|lnx，请讨论函数 f(x)的单调性解：由条件知函数f(x)的定义域为(0,)假设 a0，则f(x)x2axlnx，于是12x2ax1f(x)2xa，令xxaa28aa28 0，x2 0f(x)0，得x144a a28a a28)上单调递减，在(,)上单调递增。5所以，f(x)在(0,44分2x ax lnx,当xa时2假设 a0，则 f(x)2，x ax lnx,当0 xa时 先讨论 g(x)x2axlnx(xa)的单调性(y06)2y012,)(y02)2y0 222y 12当y12时，A坐标为(3,y0)，B点坐标为(3,0)，直线AB过定点Q(3,2)y0 22y01

9、222(y06)2y02y0y02当y012时，直线AB的方程为y y02(x)，22(y 2)y0(y06)44024(y02)y02y0(y0 2)(y0 2)2化简得，y y02(4xy0)，或：y y02(x)，y0124y034易得，直线AB 也过定点 Q(3,2)10 分法 2：由抛物线 y22px 过定点 C(1,2)，可得抛物线方程为 y24x设直线 AB 的方程为 xmya，与抛物线方程联立得，y24my4a0设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 y1y24m，y1y24a，P 点坐标为 B(y23,y2)，因为 AP 过定点 C，y 2y 2所以21，又 x1my1a

10、，y231x11所以(m1)y1y2(2m4)y1(a1)y22a605 分将 y1y24a，y24my1代入上式，得(2m3a)y1(2a4m6)02a a2812x ax1g(x)2xa令 g(x)0，得 x0，4xxa a28a a28当a，即 a1 时，g(x)在(a,)上单调递减，在44a a28(,)上单调递增；4a a28当a，即 a1 时，g(x)在(a,)上单调递增10 分4 再讨论当 a0 时，h(x)x2axlnx(0 xa)的单调性212x ax1h(x)2xaxx当a20，即 0a2 2时，h(x)0，h(x)在(0,a)上单调递减；当a20，即 a2 2时，参考答案及评分标准 第 4 页 共 5 页a a28a a28 a，令 h(x)0，得0 x1a，0 x244a a28a a28所以 h(x)在(0,)，(,a)上单调递减，44a a28a a28在(,)上单调递增15 分44综上可得：a a28a a28 当 a1 时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,)上单调递44增；当 1a2 2时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增；a a28a a28 当 a2 2时，f(x)在(0,)，(,a)上单调递减，44a a28a a28在(,)，(a,)上单调递增20 分44参考答案及评分标准 第 5 页 共 5 页