高考数学圆锥曲线试题 ..pdf

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1、高考数学圆锥曲线试题重庆文（12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线x 3y 4 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（A）3 2（B）2 6（C）2 7（D）4 2（21）（本小题满分 12 分，（）小问 4 分，（）小问 8 分）如题（21）图，倾斜角为a 的直线经过抛物线y28x的焦点 F，且与抛物线交于A、B两点。题（21）图（）求抛物线的焦点F 的坐标及准线 l 的方程；（）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。（21）（本小题 12 分）（）解：设抛物线的标准方程为y2 2px，则2

2、p 8，从而p 4.p因此焦点F(,0)的坐标为（2，0）.2p。2从而所求准线 l 的方程为x 2。又准线方程的一般式为x 答（21）图（）解法一：如图（21）图作 ACl，BDl，垂足为 C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记 A、B 的横坐标分别为 xxxz，则|FA|AC|xxppp4，|FA|cosa|FA|cosa 4解得|FA|2221 cosa4。1 cosa类似地有|FB|4|FB|cosa，解得|FB|记直线 m 与 AB 的交点为 E，则|FA|FB|11 444cosa|FE|FA|AE|FA|(|FA|FB|)2221 cosa1 cos

3、asin2a|FE|4所以|FP|。cosasin2a故|FP|FP|cos2a 4sin2a(1 cos2a)4 2sin2asin2a 8。解法二：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，直线 AB 的斜率为k tan a，则直线方程为y k(x 2)。k(k2 2)k2将此式代入y8x,得k x 4(k 2)x 4k 0，故xA xB记直线 m 与 AB 的交点为E(xE,yE)，则xA xB2(k2 2)xE，22k4yE k(xE 2)，k22222。412k2 4.x 故直线 m 的方程为y 2kkk令 y=0,得 P 的横坐标xP|FP|xP 2 4(k21)k22k2 4k4si

4、na422 4故。4 2sin2asin2a0从而|FP|FP|cos2a 重庆理sin2a(1 cos2a)8为定值。（16）过双曲线x y 4的右焦点 F 作倾斜角为105的直线，交双曲线于PQ 两点，则|FP|FQ|的值为_.(22)(本小题满分 12 分)如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为 F（3，0），右准线 l 的方程为：x=12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3，使P1FP2 P2FP3 P3FP1，证明22111为定值，并求此定值。|FP|FP2|FP3|1|浙江文YP2P1lOFP3Xx2y2（10）已知双曲线221(a 0,b 0)的左、右

5、焦点分别为 F1、F2，P 是准线ab上一点，且 P F1P F2，P F1P F24ab，则双曲线的离心率是(A)2(B)3(C)2(D)3x2 y21交于 A、B 两点，记AOB(21)(本题 15 分)如图，直线 ykxb 与椭圆4的面积为 S(I)求在 k0，0b1 的条件下，S 的最大值；（)当AB2，S1 时，求直线 AB 的方程yAOxB（21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分15 分(I)解：设点 A 的坐标为(x1,b)，点 B 的坐标为(x2,b)，x2 y21，解得x1,2 2 1b2由4所以S 1b

6、|x1 x2|2b 1b2 b21b212当且仅当b 2时，S 取到最大值 12y kxb（）解：由x2得2 y 1 4(4k21)x28kbx4b24 0 16(4k2b21)AB1k|x1 x2|1k2216(4k2b21)24k212S1所以b2 k21|AB|又因为 O 到 AB 的距离d|b|1k242代入并整理，得4k 4k 1 02解得，k 123,b，代入式检验，022故直线 AB 的方程是y 浙江理26262626或y 或y 或y xxxx22222222x2y2（9）已知双曲线221(a 0，b 0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一ab点，且PF1 PF2，PF1

7、PF24ab，则双曲线的离心率是（）2天津文323x2y2（7）设双曲线221(a 0，b 0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线aby2 4x的准线重合，则此双曲线的方程为（）x2y211224x2y214896x22y2133x2y2136（22）（本小题满分 14 分）x2y2设 椭 圆221(a b 0)的 左、右 焦 点分 别 为F，F2，A是 椭 圆 上 的 一点，1ab1AF2 F1F2，原点O到直线AF1的距离为OF13（）证明a 2b；（）求t(0，b)使得下述命题成立：设圆x2 y2t2上任意点M(x0，y0)处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1OQ2（22）本小题主

8、要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14分（）证法一：由题设AF2 F0)，不妨设点A(c，y)，其中，0)，F2(c，1F2及F1(cc2y2y 0，由于点A在椭圆上，有221，aba2b2y221，a2bb2b2解得y，从而得到Ac，aab2(xc)，整理得直线AF2的方程为y 2acb2x2acyb2c 0由题设，原点O到直线AF1的距离为1OF1，即3cb2c，4223b 4a c22222将c a b代入原式并化简得a 2b，即a 2bb2证法二：同证法一，得到点A的坐标为c，a

9、H，易知F1BCF1F2A，故过点O作OB AF1，垂足为yHABOOF1F2AF1AF1O1OF1，所以3F2x由椭圆定义得AF1 AF2 2a，又BO F2A1F2A，3F1A2a F2Ab2b2aa，即a 2b解得F2A，而F2A，得2aa2（）解法一：圆x y t上的任意点M(x0，y0)处的切线方程为x0 x y0y t2当t(0，b)时，圆x2 y2t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q1和Q2，因此点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标是方程组2x0 x y0y t的解当y0 0时，由式得222x 2y 2b222t2 x0 xy y0t2

10、 x0 x 22代入式，得x 2 2b，即y0222(2x0 y0)x24t2x0 x2t42b2y0 0，224t2x02t42b2y0于是x1 x2，x1x222222x0 y02x0 y0t2 x0 x1t2 x1x2y1y2y0y1142t x0t2(x1 x2)x0 x1x22y04224t2x01 4222t 2b y02t x0t x02222y02x0 y02x0 y02t42b2x0222x0 y0若OQ1OQ2，则22222t42b2y0t42b2x03t42b2(x0 y0)x1x2 y1y2 02222222x0 y02x0 y02x0 y02222所以，3t42b2(

11、x0 y0)0由x0 y0t2，得3t42b2t2 0在区间(0，b)内此方程的解为t 6b36b3当y0 0时，必有x0 0，同理求得在区间(0，b)内的解为t 另一方面，当t 6b时，可推出x1x2 y1y2 0，从而OQ1OQ23综上所述，t 6b(0，b)使得所述命题成立3天津理22（本小题满分 14 分）x2y2设 椭 圆221(a b 0)的 左、右 焦 点分 别 为F，F2，A是 椭 圆 上 的 一点，1ab1AF2 F1F2，原点O到直线AF1的距离为OF13（）证明a 2b；（）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的

12、轨迹方程22 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分14 分（）证法一：由题设AF2 F0)，不妨设点A(c，y)，其中，0)，F2(c，1F2及F1(cc2y2a2b2y221y 0由于点A在椭圆上，有221，即aba2bb2b2解得y，从而得到Ac，aab2(xc)，整理得b2x2acyb2c 0直线AF1的方程为y 2ac1cb2c由题设，原点O到直线AF1的距离为OF1，即，42233b 4a c将c2 a2b2代入上式并化简得a2 2b2，即a 2bb2证法二：同证法一，得到点A的坐标

13、为c，aB，易知F1BOF1F2A，故过点O作OB AF1，垂足为由椭圆定义得AF1 AF2 2a，又BO 所以BOOF1F2AF1A1OF1，31，3F1A2a F2AF2AF2AyBAb2b2aa，即a 2b解得F2A，而F2A，得2aa2（）解法一：设点D的坐标为(x0，y0)当y0 0时，由OD QQ12知，直线Q1Q2的斜率为F1OF2xx0，所以直线Q1Q2的方程为y02x0 x0 x0y (x x0)y0，或y kx m，其中k ，m y0y0y0y0点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组将式代入式，得x 2(kxm)2b，整理得(12k)x 4kmx2m 2b

14、 0，2222222y kxm，222x 2y 2b 2m22b4km于是x1 x2，x1x21 2k212k2由式得y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1 x2)k22m22b24kmm22b2k22 kkm m 2212k12k12k23m22b22b2k2 0，由OQ1OQ2知x1x2 y1y2 0将式和式代入得12k23m2 2b2(1k2)2x0 x02222将k ，m y0代入上式，整理得x0 y0b3y0y0当y0 0时，直线Q1Q2的方程为x x0，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组x x0，222x 2y 2b 22b2 x0所以x1 x2

15、 x0，y1，2 222b2 x0 0，由OQ1OQ2知x1x2 y1y2 0，即x 2202解得x022b322b32222综上，点D的轨迹方程为x y b322这时，点D的坐标仍满足x0 y0解法二：设点D的坐标为(x0，y0)，直线OD的方程为y0 x x0y 0，由OD QQ12，22垂足为D，可知直线Q1Q2的方程为x0 x y0y x0 y022记m x0（显 然m 0），点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的 坐 标 满 足 方 程 组 y0 x0 x y0y m，222x 2y 2b 由式得y0y m x0 x222222由式得y0 x 2y0y 2y0b2222将式代入式

16、得y0 x 2(m x0 x)2 2y0b222整理得(2x0 y0)x24mx0 x2m22b2y0 0，22m22b2y0于是x1x2222x0 y0由式得x0 x m y0y222222由式得x0 x 2x0y 2x0b2222将式代入式得(m y0y)22x0y 2x0b，222整理得(2x0 y0)y22my0y m22b2x0 0，2m22b2x0于是y1y2222x0 y0222m22b2y0m22b2x0由OQ1OQ2知x1x2 y1y2 0将式和式代入得 0，22222x0 y02x0 y0223m22b2(x0 y0)02222将m x0代入上式，得x0 y0 y022所以

17、，点D的轨迹方程为x y 22b322b3四川文x2y2（5）如果双曲线1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离42是4 62 6(B)(C)2 6(D)2 333(10)已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于(A)A.3B.4C.32D.42解析：选 C设直线AB的方程为y x b，由y x23 x2 xb3 0 x1 x2 1，进而可求出AB的中点y xb11112M(,b)，又由M(,b)在直线x y 0上可求出b 1，x x2 0，2222由弦长公式可求出AB 11系自本题起运算量增大（21）(本小题

18、满分 12 分)2124(2)3 2本题考查直线与圆锥曲线的位置关x2 y21的左、右焦点.求 F1、F2分别是椭圆4（）若 r 是第一象限内该数轴上的一点，PF1 PF2 225，求点 P 的作标；4（）设过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B，且ADB 为锐角（其中 O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力（）易知a 2，b 1，c 3F1(3,0)，F2(3,0)设P(x,y)(x 0,y 0)则x25PF1PF2(3 x,y)(3 x,y)x y 3，又 y21，

19、4422722x y x 1x2134联立2，解得，P(1,)3322x y21y y 42 4（）显然x 0不满足题设条件可设l的方程为y kx 2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)x2 y21联立 4 x24(kx2)2 4(14k2)x216kx12 0y kx2x1x21216kx x ，121 4k21 4k222由 (16k)4(14k)12 016k23(14k2)0，4k23 0，得k234又AOB为锐角 cosAOB 0 OAOB 0，OAOB x1x2 y1y20又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1 x2)4x1x2 y1y2(1k2)x1x22k(

20、x1 x2)4(1 k2)1216k2k()414k214k212(1k2)2k 16k414k214k24(4k2)014k21 k2 44333 k2 4，k的取值范围是(2,)(,2)422综可知四川理x2 y21的左、右焦点.20）（本小题满分 12 分）设F1、F2分别是椭圆4（）若P是该椭圆上的一个动点，求PF2的最大值和最小值;1PF（）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解：（）解法一：易知a

21、 2,b 1,c 3所以F1 3,0,F2 3,0，设Px,y，则PF1PF2 3 x,y,x213 x,y x y 3 x 133x28442222因为x2,2，故当x 0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值1当x 2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值解法二：易知a 2,b 1,c 3，所以F1 3,0,F2 23,0，设Px,y，则22PF1PF2 PF1 PF2cosF1PF2 PF1 PF2PF1 PF2 F1F22 PF1 PF22212x3 y x3 y212 x2 y23（以下同解法一）2（）显然直线x 0不满足题设条件，可设直线l:y kx2,Ax1,y2

22、,Bx2,y2，y kx2212y联立x2，消去，整理得：k x 4kx3 024 y 1 4x1 x2 4k1k24,x1x231k24由 4k4k 0023312得：或k k 3 4k 3 0224又0 A0B 90 cosA0B 0 OAOB 0OAOB x1x2 y1y208k2k214 又y1y2kx12kx22 k x1x22kx1x24111222k k k 44423k2k21 0，即k2 42 k 211k2k2443故由、得2 k 上海理33或 k 222x2y21，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方8、已知双曲线45程为_x2y2y2x221、已知半椭圆

23、221x 0与半椭圆221x 0组成的曲线称为“果圆”，abbc其中a b c,a 0,b c 0，F0,F1,F2是对应的焦点。（1）若三角形F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若A1A B1B，求222b的取值范围；a（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由。21解（1）F0（c，0）F1（0，b c），F2（0，b c）22222|F0F1|(b c)c b 1，|F1F2|2 b c 122222于是c 37222

24、，a b c，所求“果圆”方程为4442422x y21（x0），y x 1（x0）734 分（2）由题意，得 ac2b，即a2b2 2ba（2b）2b2c2，a2b2（2ba）2，得b4a57 分又 b2c2a2b2，b21a22b2 4(,)a25x2y2y2x2（3）设“果圆”的方程为221（x0）221（x0）abba记平行弦的斜率为 kx2y2当 k0 时，直线 yt（btb）与半椭圆221（x0）的交点是aby2x2t2t2p(a 12,t)，与半椭圆221（x0）的交点是 Q（c 12,t）babba ct2x 12P、Q 的中点 M（x，y）满足2by tx2y21得ac2b2

25、()2a2b，(a c2a c 2b a c 2b)b2 0222综上所述，当 k0 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆14 分x2y2当 k0 时，以 k 为斜率过 B1的直线 l 与半椭圆221（x0）的交点是ab2ka2bk2a2bb3(22,22)22k a bk a bb2由此，在直线 l 右测，以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y 2x上，即不在某k一椭圆上17 分当 k0 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上18 分上海文2121（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，

26、第分，第 2 2 小题满分小题满分 5 5 分，第分，第 3 3小题满分小题满分 9 9 分分x2y2y2x2我们把由半椭圆221(x0)与半椭圆221(x0)合成的曲线称abbc作“果圆”，其中a2 b2 c2，a 0，b c 0如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，yy轴的交点，M是线段A1A2的中点（1）若F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，求该“果圆”的方程；B2y2x2（2）设P是“果圆”的半椭圆221bc(x0)上任意一点求证：当A1.F.OM.F20A2xF1PM取得最小值时，B1P在点B1，B2或A1处；（3）若P是“果圆”上任意

27、一点，求PM取得最小值时点P的横坐标21解：（1）F0(c，0)，F10，b2c2，F20，b2c2，F0F2b2c2 c2 b 1，F1F2 2 b2c21，37于是c2，a2 b2c2，4444所求“果圆”方程为x2 y21(x0)，y2x21(x0)73y)，则（2）设P(x，a c2|PM|2 x y2b22(a c)2b2，c x0，12x(a c)x c42b2 12 0，|PM|2的最小值只能在x 0或x c处取到c即当PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处x2y2（3）|A1M|MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆221(x0)aby2x2和半椭圆221(x0)上

28、，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆bcx2y221(x0)上的情形即可2aba c2|PM|x y222c2a2(a c)(a c)2a2(a c)222x b 4a2c24c22a2(a c)a2(a c)2当x 时取到，a，即a 2c时，|PM|的最小值在x 222c2ca2(a c)此时P的横坐标是22ca2(a c)a，即a 2c时，由于|PM|2在x a时是递减的，|PM|2的最当x 22c小值在x a时取到，此时P的横坐标是aa2(a c)综上所述，若a 2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是；若a 2c，22c当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或c陕西

29、文3.抛物线x2 y的准线方程是（A）4x 1 0（C）2x 1 0（B）4y 1 0（D）2y 1 0 x2y29.已知双曲线C221(a0,b0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的ab半径是（A）a(B)b(C)ab22(D)a b22.(本小题满分 14 分)x2y26已知椭圆 C:22=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.3ab()求椭圆 C 的方程;()设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为的最大值.22（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）3，求AOB 面积2c6，解：（）设椭圆的半焦距为c，依题意a3a

30、3，x2b 1，所求椭圆方程为 y213（）设A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）当ABx轴时，AB 3（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y kx m由已知m1k23232，得m(k 1)42222把y kx m代入椭圆方程，整理得(3k 1)x 6kmx3m 3 0，3(m21)6kmx1 x22，x1x23k 13k21 36k2m212(m21)AB(1 k)(x2 x1)(1k)222(3k 1)3k 1222212(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)(3k21)2(3k21)212k21212 34 3(k 0)3 4219k 6k 12369k226k

31、2当且仅当9k 13，即时等号成立当k 0时，AB 3，k k23综上所述ABmax 2133当AB最大时，AOB面积取最大值S ABmax222山东理（13）设O是坐标原点，F是抛物线y2 2px(p 0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为（21）（本小题满分 12 分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l:y kxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标x2y2【标准答案】(I)由题意设椭圆

32、的标准方程为221(a b 0)aba c 3,a c 1，a 2,c 1,b23x2y21.43 y kxm(II)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由x2y2得13 4(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，3 4k2m2 0.8mk4(m23)x1 x2,x1x2.2234k34k3(m24k2)y1 y2(kx1m)(kx2m)k x1x2mk(x1 x2)m.34k222以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD 1，y1y2 1，y1y2 x1x22(x1 x2)4 0，x12 x223(m24k2)4(m23)16m

33、k4 0，34k234k234k27m216mk 4k2 0，解得m1 2k,m2 2k，且满足3 4k2m2 0.7当m 2k时，l:y k(x 2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k22时，l:y k(x)，直线过定点(,0).7772综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).7当m 全国 2 理x2y211 设F1，F2分别是双曲线22的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF2 90ab且AF13 AF2，则双曲线的离心率为（）A52B2102C152D512设F为抛物线y 4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FAFBFC 0，则FA FB FC（）A9B6C4D320

34、（本小题满分 12 分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x3y 4相切（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使PA，PO，PB成等比数列，求PA PB的取值范围20解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x3y 4的距离，即r 4 213得圆O的方程为x2 y2 4（2）不妨设A(x1，0)B(x2，0)x1 x2由x2 4即得A(2，0)B(2，0)设P(x，y)，由PA，PO，PB成等比数列，得(x 2)2 y222(x 2)2 y2 x2 y2，即x y 2PA PB (2 x，y)(2 x，y)x24 y2 2(y 1).222x y 4，由

35、于点P在圆O内，故22x y 2.由此得y 1所以PA PB的取值范围为2，0)全国 2 文11已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（）A213B332C12D32y21的左、12 设F1，F2分别是双曲线x 右焦点 若点P在双曲线上，且PF1PF20，9则PF1 PF2（）A10全国 1 理（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，则双曲线方程为（）0)，(4，B2 10C5D2 5x2y21A412x2y21B124x2y21C106x2y21D610（11）抛物线y2 4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为

36、K，则AKF的面积是（）A4B3 3C4 3D8（21）（本小题满分 12 分）x2y21的左、已知椭圆右焦点分别为F1，F2 过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F232的直线交椭圆于A，C两点，且AC BD，垂足为P22x0y01；（）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：32（）求四边形ABCD的面积的最小值（21）证明：（）椭圆的半焦距c 32 1，22由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0 y01，2222y0 x0y0 x211所以，32222（）（）当BD的斜率k存在且k 0时，BD的方程为y k(x1)，代入椭圆方程x2y21，并化简得(3k22)x26k2x3k26

37、 032设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则6k23k26x1 x2 2，x1x223k 23k 2BD 1k24 3(k21)x1 x2(1k)(x2 x2)4x1x23k22；22因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为1，k 14 3214 3(k21)k所以，AC 212k 3322k四边形ABCD的面积124(k21)2(k21)296S BD AC 222222(3k 2)(2k 3)(3k 2)(2k 3)2522当k 1时，上式取等号（）当BD的斜率k 0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S 4综上，四边形ABCD的面积的最小值为宁夏理6已知抛物线y2 2px(p 0)的

38、焦点为F，点P，y1)，P2(x2，y2)，P，y3)在抛物线上，1(x13(x3且2x2 x1 x3，则有（）FP1 FP2 FP3FP1 FP2FP22229625 FP322 FP2 FP1 FP3 FPFP3113已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为319（本小题满分 12 分）x2 y21有两个不在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2同的交点P和Q（I）求k的取值范围；（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由

39、19解：（）由已知条件，直线l的方程为y kx2，x2(kx2)21代入椭圆方程得2整理得 1k2x22 2kx1 02 1k2 4k22 0，2直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 8k24解得k 2222或k 即k的取值范围为，2222（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OPOQ(x1 x2，y1 y2)，由方程，x1 x2 4 2k212k又y1 y2 k(x1 x2)2 2而A(2，0)B(01，)，AB (21，)所以OPOQ与AB共线等价于x1 x2 2(y1 y2)，将代入上式，解得k 22由（）知k 辽宁理22或k，故没有符合题意的常数k22y21上 的 一 点，F

40、1，F2是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点，若11 设P为 双 曲 线x 122|PF1|:|PF2|3:2，则PF1F2的面积为（）A6 3B12C12 3D24x2y21上一点P到左准线的距离为 10，F是该椭圆的左焦点，若点M满14设椭圆2516足OM 1(OP DF)，则|OM|=2220（本小题满分 14 分）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y 2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（I）求圆C的方程；（II）设圆M的方程为(x47cos)2(y7cos)21，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE，CF的最大值和最小

41、值本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分14 分2 y12 y2，y1，y2，由题设知（I）解法一：设A，B两点坐标分别为22 y y yy 222 y y(y1 y2)22222222解得y1 y212，21221221222所以A(6，2 3)，B(6，2 3)2 3)或A(6，2 3)，B(6，设圆心C的坐标为(r，0)，则r 26 4，所以圆C的方程为34 分(x4)2 y216 解法二：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知22x12 y12 x2 y2222又因为y1 2x1，y22x2即 2

42、x2，可得x122x1 x2(x1 x2)(x1 x22)0由x10，x2 0，可知x1 x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上设C点的坐标为(r，则A点坐标为0)，223333r，r，于是有解得r 4，r 2r，22222所以圆C的方程为(x4)y 164 分（II）解：设ECF 2a，则8 分CE CF|CE|CF|cos216cos232cos216 在RtPCE中，cosx4，由圆的几何性质得|PC|PC|PC|MC|1 718，|PC|MC|1 71 6，12cos，由此可得23168CE CF 916则CE CF的最大值为，最小值为89所以江西理x2y219 设 椭 圆

43、221(a b 0)的 离 心 率 为e，右 焦 点 为F(c，0)，方 程2abax2bx c 0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)（）必在圆x2 y2 2内必在圆x2 y2 2外21（本小题满分 12 分）设 动 点P到 点A(1，0)和B(1，0)的 距 离 分 别 为d1和d2，必在圆x2 y2 2上以上三种情形都有可能yAPB 2，且存在常数(0 1)，使得d1d2sin2（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定的范围，使OM ON 0，其中点O为坐标原点d12AOBPd2y2解法一：（1）在PAB中，AB

44、 2，即22 d12d22d1d2cos2，4 (d1d2)24d1d2sin2，即d1d244d1d2sin2 2 1 2（常数）点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长2a 2 1的双曲线x2y21方程为：1（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)当MN垂直于x轴时，MN的方程为x 1，M(11)，N(1，1)在双曲线上即11155 1，因为0 1，所以121 0122当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y k(x1)x2y212222(1)kx 2(1)k x(1)(k)0，由1得：y k(x1)2由题意知：(1)k 0，2k2(1)(1)(k2)所以x1 x2，x1x2(1)k2(1)k

45、2k22于是：y1y2 k(x11)(x21)2(1)k2因为OM ON 0，且M，N在双曲线右支上，所以(1)x1x2 y1y2 0k2(1)25 1212x x 0111223x x 0k221 0121由知，5 1223解法二：（1）同解法一（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)当x1 x21时，MB因为0 1，所以21121 0，5 1；2 x12y121x01 k当x1 x2时，2MN21y0 x2y211又kMN kBEy022所以(1)y0 x0 x0；x01222 MN MN e(x1 x2)2a22由MON 得x0 y0，由第二定义得2222121x0 1x0(1)2x01 1222所以(1)y0 x02(1)x0(1)222(1)2(1)y0 x0 x0于是由得x022223(1)y0 x02(1)x0(1)(1)21，又0 1，因为x01，所以23解得：5 125 12由知2323