微分与积分中值定理及其应用.pdf

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1、-第二讲第二讲微分与积分中值定理及其应用微分与积分中值定理及其应用1 1 微积分中值定理微积分中值定理错误错误!未定义书签。未定义书签。1.1.微分中值定理微分中值定理错误错误!未定义书签。未定义书签。2 2 积分中值定理积分中值定理错误错误!未定义书签。未定义书签。微积分中值定理的应用微积分中值定理的应用.错误错误!未定义书签。未定义书签。.1.1 证明方程根证明方程根(零点零点)的存在性的存在性错误错误!未定义书签。未定义书签。4 42 2 进行估值运算进行估值运算错误错误!未定义书签。未定义书签。.3.3 证明函数的单调性证明函数的单调性错误错误!未定义书签。未定义书签。.4.4 求极限

2、求极限84 4 证明不等式证明不等式错误错误!未定义书签。未定义书签。引言ole 定理,Laange 中值定理，Cauch中值定理统称为微分中值定理。微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。1 1 微积分中值定理微积分中值定理微分中值定理微分中值定理罗尔罗尔(R(Rllll)定理定理:若函数f满足如下条件（)f在闭区间a，b上连续;(）f在开区间（a,b）内可导；()f(a)f(b),则在（a,b）内至少存在一点，使得f()0.朗格朗日（朗格朗日（LagrLagrn ne

3、)e)中值定理：中值定理：设函数f满足如下条件:()f在闭区间,上连续;（)f在开区间(a,b)上可导；-则在(a,）内至少存在一点，使得f()柯西中值定理柯西中值定理:设函数f和g满足()在a,b上都连续；()在(，)内都可导；()f(x)和g(x)不同时为零;()g(x)g(b),则存在(a,b)，使得f()f(b)f(a)g()g(b)g(a)f(b)f(a)ba微分中值定理的推广微分中值定理的推广罗尔定理的推广罗尔定理的推广定理定理:设函数f(x)在(,b)内可导,且有xalim f(x)f(a 0)f(b0)lim f(x)A(A为有限值或 或),则存在点xb(a,b)，使得f()0

4、.证明：首先对A为有限值进行论证:f(x),x(a,b)令F(x)A,x a或x b则易知函数f(x)在a,上连续，在(a,b）内可导且F(a)F(b)由Role定理可知,在（a,b)内至少存在一点，使得F()0,而在(a,b)内有F(x)f(x),所以f()0其次对A=(）进行论证：由引理1，f(x)在（a,b）内能取得最小值(最大值）.不妨设:函数f(x)在(a,b)处取得最小值(最大值）.此时函数f(x)在(a,b)处也就取得极小值(极大值)又因为f(x)在(a,b)处可导，由Fert引理，可得f()0综上所述,从而定理得证.定理定理2:2:设函数f(x)在(,)，内可导，且lim f(

5、x)lim f(x)，证明:在（a，）xax中存在一点,使得f()0定理定理3:3:设函数f(x)在(,),内可导，且lim f(x)lim f(x)，证明：在（,)xxb-中存在一点，使得f()0定理定理4:4:设函数f(x)在(，),内可导，且lim f(x)lim f(x),证明：在（，xx）中存在一点，使得f()0朗格朗日中值定理的推广朗格朗日中值定理的推广定理定理5 5：如果函数f(x)满足条件：在开区间（a,）上可导且xalim f(x)f(a 0)f(a),lim f(x)f(b0)存在，则在（a,)内至少存在一点，使xb得f()f(b)f(a).ba柯西中值定理的推广柯西中值定

6、理的推广定理定理 6:6:如果函数 f()和(x）满足条件：都在有限区间（a，b)内可导；f(x)M1,lim F(x)m2,lim F(x)M2;limf(x)m1,limxaxbxaxbx(a,b),有F(x)0;则在(a,b)内至少有一点，使得f()M1m1F()M2m2证明：作辅助函数 A（x）,(),并且令A(x)f(x)m1M1x(a,b)时，x a时，x b时，B(x)F(x)m2M2x(a,b)时，x a时，x b时，则 A（x),B(x)在闭区间a,b上连续，开区间（a，b)内可导，且对x(a,b),B(x)0,由au中值定理可知，至少有一点(a,b)使得A()A(b)A(a

7、)B()B(b)B(a)又当x(a,b)时，A(x)f(x),B(x)F(x)A()f()A(b)A(a)M1m1B()F()B(b)B(a)M2m2-f()M1m1即：F()M2m21 1积分中值定理积分中值定理积分中值定理：积分中值定理：若f(x)在区间,b上连续,则在a，b上至少存在一点使得abfxdx fba,a b积分中值定理的推广积分中值定理的推广推广的积分第一中值定理：推广的积分第一中值定理：若fx,gx在闭区间a,b上连续,且gx在a,b上不变号,则在a,b至少存在一点，使得a第一型曲线积分中值定理：第一型曲线积分中值定理：若函数f(x,y)在光滑有界闭曲线C上连续,则在曲线C

8、上至少存在一点(,),使f(x,y)ds f(,)S。其中S表示曲线C的长。第二型曲线积分中值定理第二型曲线积分中值定理:若函数f(x,y)在有向光滑闭曲线C上连续，则在曲线C上至少存在一点(,)，使f(x,y)ds f(,)I其中I为有向光滑曲线C在x轴上的投影，符号是由曲线C的方向确定。第一型曲面积分中值定理第一型曲面积分中值定理:若D为xoy平面上的有界闭区域,z z(x,y)是光滑曲面S,函 数f(x,y,z)在S上 连 续，则 曲 面S上 至 少 存 在 一 点(,)，使 得Cbfxgxdx fgxdx,a b.abCf(x,y,z)d f(,)A其中A是曲面S的面积。第二型曲面积分

9、中值定理第二型曲面积分中值定理:若有光滑曲面S：z z(x,y)，(x,y)Dxy，其中Dxy是有界闭区域,函数f(x,y,z)在S上连续,则在曲面S上至少存在一点(,),使得f(x,y,z)dxdy f(,)A其中A是S的投影Dxy的面积。SS3 3 微积分中值定理的应用微积分中值定理的应用3.13.1证明方程根证明方程根(零点零点)的存在性的存在性例例:设函数f(x)和g(x)在闭区间a,上连续,在(a,）上可导,则在（a,b)内存在一点(a,b)，使得f(a)g(a)f(b)f(a)(ba)g(b)g(a)f()g()-证明：令F(x)f(a)g(x)f(x)g(a)，则F(x)f(a)

10、g(x)f(x)g(a),又有F(b)f(a)g(b)f(b)g(a)，F(a)f(a)g(a)f(a)g(a)0.易知F(x)在闭区间a,b上连续,在（a,）上可导，故运用 Lagrag中值定理可得，存在一点(a,b)，使得F(b)F(a)F(b)(b a)f(a)g()f()g(a)，即f(a)g(b)f(b)g(a)(b a)f(a)g()f()g(a),所 以 在(a,)内 存 在 一 点(a,b),使得f(a)g(a)f(b)f(a)(ba)g(b)g(a)f(),故定理得证.g()例：例：设函数f(x)和g(x)在闭区间,b上连续，在(a,）上可导,且在闭区间a，上，1有意义，g(

11、x)0则在(,b）内存在一点(a,b)，使得g(x)f(b)f()g(b)g(a)g(b)g()f().g()g()f(a)g(a)证明：令F(x)f(x)1，G(x),易知F(x)和G(x)在区间,b上满足 Cauhy 中g(x)g(x)值定理条件,故有，F(b)F(a)F()f(b)g(a)f(a)g(b)f()g()f()g(),即，所以在(，)G(b)G(a)G()g(a)g(b)g()f(a)内存在一点(a,b)，使得g()g(a)f(b)f()g(b)g(a)g(b)g()f(),故定理得证g()例 1:设a,b,c为三个实数,证明:方程ex ax2bx c的根不超过三个.证明:令

12、F(x)ax2bx c ex，则F(x)2ax b ex，F(x)2a ex，F(x)ex用反证法，设原方程的根超过程 3 个,那么 F(x）至少有 4 个零点，不妨设为x1 x2 x3 x4，那么有罗尔定理，存在x11 x22 x33 x4,使F(1)F(2)F(3)0,再用罗尔定理，存在11223,使F(1)F(2)0,再用罗尔定理,存在12，使F()0，-因为F(x)ex，所以F()e 0，矛盾,所以命题得证.例 2：设函数fx在a,b上连续，且fx 0。证明：一个a,b，使xbaxafxdx fxdx b1bfxdx。a2证明:令Fxftdt ftdt，显然Fx在a,b上连续。Faft

13、dt ftdt baf 0aaabfx 0Fbftdt ftdt baf 0abbb可知Fx在a,b上满足零值定理。故一个a,b，使F 0。即ftdt ftdt 0abfxdx fxdxabfxdxfxdx fxdx 2fxdxabbba例 3：设实数a1,a2,an满足关系式：a1a231n1an 0。2n1证明:a1cosxa2cos3x证明：令fx a1sin xancos2n1x 0在0,内至少有一个实根。2a2sin3x3ansin2n1x2n1显然fx在0,上连续，在0,内可导，22a又f0 0,f a12321n1an 0，故罗尔定理成立。2n1于是0,使f0,2即：a1cosx

14、a2cos3xancos2n1x 0。故命题得证。xnb,ci 0i 1,2,n。例 4:设fx在a,b上连续。a x1 x2证明:一个a,b，使f证明:c1fx1cnfxnc1c2cnfx在a,b上连续，有最值定理有:m fx M，m,M分别为fx在a,b上最小最大值,于是:-c1 0,m fx1 M c1mc1fx1c1Mc2 0，m fx2 M mc2 c2fx2 Mc2cn 0,m fxn M mcncnfxn Mcnmc1c2m cnc1fx1c2fx2cnfxnc1c2cnMc1fx1c2fx2cnfxn Mc1c2cnc1fx1cnfxnc1c2cn由介值定理，一个a,b,使f例

15、 5:若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(a 0)，证明在(a,b)内方程2x f(b)f(a)(b2a2)f(x)至少存在一根。证明:令F(x)f(b)f(a)x2(b2a2)f(x)，显然F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，而F(a)f(b)a2b2f(a)F(b).根据 Rolle 定理,至少存在一点,使2 f(b)f(a)(b2a2)f(x)例 6：设f(x)在a,b上连续，在(a,b)可导(0 a b),证明：在a,b内存在一点,使bf(b)af(a)(ba)f()f()成立。证明：F(x)xf(x)，则F(x)在a,b上连续，在(a,b)可导,由 Lagang定理

16、,存在一点a,b,使F即f()f(x)bf(b)af(a)，baFb Fa，ba即bf(b)af(a)(ba)f()f()例 7：设fx在a,b上连续,在(a,b)可导(0 a b),证明:在a,b内存在一点，b使f(b)f(a)(ln)f()成立。a证明：令g(x)ln x,对f(x),g(x)在a,b上运用 Cauy 定理,f()f(b)f(a)得，1lnblna-f()f(b)f(a)即，g()g(b)g(a)b即f(b)f(a)(ln)f()a324ax 3bx 2cx a b c在（例 8：证明方程0，1)内至少有一个根。(p4,209）例 9:设抛物线y x2 Bx C与 轴有两个

17、交点 x=，x=（,证明存在一点(a,b)，使得aebbea(1)e(a b)证:根据定理7，令f(x)ex,g(x)x,那么f(x)ex，g(x)1,则存在一点(a,b)，ea使得aebe(ba)be,即beae(ba)(1)e，故存在一点(a,b)，使得1-aebbea(1)e(a b)例 6：证明:若S是柱准面(xa)2(yb)2 r2上p z q的部分,f(x,y,z)是S上的连续函数,则f(x,y,z)dxdy 0证明：设S1是S在xoy平面的上半部分,S2为S在xoy平面的下半部分,则S S1 S2。由积分区间的可加性，有：f(x,y,z)dxdy f(x,y,z)dxdy f(x

18、,y,z)dxdySS12S由于函数f(x,y,z)在S：(xa)(yb)2 r2上2p z q的部分上连续,所以函数f(x,y,z)在S1上连续,根据广义 Rieann 积分中推广,在S1上至少存在一点(,)，S使f(x,y,z)dxdy f(,)A1S1其中A1表示S1在xoy平面上的投影区域的面积,由于S关于xoy平面对称,所以对上述(,)S1,对应点(,)S1，又S1与S2的方向相反，故有：S2其中A2表示S2在xoy平面上的投影区域的面积，又由于S关于xoy平面对称,所以有A1f(x,y,z)dxdy f(,)A2A2，f(x,y,z)f(x,y,z)。所以有：f(x,y,z)dxdyf(,)A1-f(,)A2证明完毕。S-