七年级数学下册《三角形有关角的计算与证明问题》练习真题【解析版】.pdf

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1、1【解析版】专题 4.8 三角形有关角的计算与证明问题(重难点培优)姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷试题共 25 题,解答 25 道答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一解答题一解答题(共共 2525 小题小题)1(2019 春雁江区期末)在ABC中,ADB100,C80,BADDAC,BE平分ABC,求BED的度数【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出DAC,再求出BAD,然后根据三角形的内角和定理求出ABC,再根据角平分线的定义求出ABE,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即

2、可得解【解析】ADB100,C80,DACADBC1008020,BADDAC,BAD2010,在ABD中,ABC180ADBBAD1801001070,BE平分ABC,ABEABC7035,BEDBAD+ABE10+35452(2020 秋绥棱县期末)问题引入:(1)如图所示,ABC中,点O是ABC和ACB的平分线的交点,2若A,则BOC90(用 表示):不用说明理由,直接填空如图所示,OBCABC,OCBACB,若A,则BOC120(用 表示),不用说明理由,直接填空(2)如图所示,OBCDBC,OCBECB,若A,则BOC120(用 表示),填空并说明理由【分析】(1)利用三角形内角和定

3、理可得出ABC+ACB180,如图,由角平分线的定义可得出OBCABC,OCBACB,在OBC中利用三角形内角和定理可求出BOC的度数;如图,由OBCABC,OCBACB,在OBC中利用三角形内角和定理可求出BOC的度数;(2)由OBCDBC,OCBECB,A,利用三角形内角和定理及三角形外角的性质可用含 的代数式表示出BOC的度数【解析】(1)在ABC中,A,ABC+ACB180A180如图所示,OB平分ABC,OC平分ACB,OBCABC,OCBACBBOC180(OBC+OCB)180(ABC+ACB)180(180)18090390;如图所示,OBCABC,OCBACB,BOC180(

4、OBC+OCB)180(ABC+ACB)180(180)18060120故答案为:90;120(2)BOC120,理由如下:OBCDBC,OCBECB,A,BOC180(OBC+OCB),180(DBC+ECB),180(A+ACB+ABC+A),180(180+A),18060,120故答案为:1203(2020 秋涪城区校级期末)如图,在ABC中,AM是ABC的高线,AN是ABC的角平分线,已知B50,BAC100,分别求出C和MAN的度数4【分析】在ABC中,利用三角形内角和定理可求出C的度数,在ABM中,利用三角形内角和定理可求出BAM,由AN平分BAC可求出BAN的度数,再结合MAN

5、BANBAM即可求出MAN的度数【解析】在ABC中,BAC+B+C180,C180BBAC1805010030在ABM中,B50,AMBM,AMB90,BAM90B40AN平分BAC,BANBAC50,MANBANBAM5040104(2020 秋济南期末)如图,在ABC中,C90,BE平分ABC,且BEAD,BAD20,求CEB的度数【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理可得到结论【解析】BEAD,BADABE20,BE平分ABC,CBEABE20,在 RtBCE中,CEB90CBE9020705(2020 春江阴市期末)如图,ABC中,D为BC上一点,CBAD,ABC的角平分线BE交

6、AD于点F(1)求证:AEFAFE;5(2)G为BC上一点,当FE平分AFG且C30时,求CGF的度数【分析】(1)由角平分线定义得ABECBE,再根据三角形的外角性质得AEFAFE;(2)由角平分线定义得AFEGFE,进而得AEFGFE,由平行线的判定得FGAC,再根据平行线的性质求得结果【解析】(1)证明:BE平分ABC,ABECBE,ABF+BADCBE+C,AFEABF+BAD,AEFCBE+C,AEFAFE;(2)FE平分AFG,AFEGFE,AEFAFE,AEFGFE,FGAC,C30,CGF180C1506(2020 秋淮南期末)如图,在ABC中,B31,C55,ADBC于D,A

7、E平分BAC交BC于E,DFAE于F,求ADF的度数【分析】首先根据三角形的内角和定理求得BAC,再根据角平分线的定义求得BAE,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和求得AED,再根据等角的余角相等,即ADF的度数等于AED的度数【解析】B31,C55,6BAC94,AE平分BAC,BAEBAC47,AEDB+BAE31+4778,ADBC,DFAE,EFDADE90,AED+EDFEDF+ADF,ADFAED787(2020 秋马鞍山期末)如图,在ABC中,AD平分BAC,AEBC,若BAD40,C70,求DAE的度数【分析】求出ADE的度数,利用DAE90ADE即可求出DAE的度数

8、【解析】AD平分BAC,BAC2BAD80,C70,B180BACC180708030,ADEB+BAD30+4070,AEBC,AEB90,DAE90ADE9070208(2020 秋盐田区期末)如图,CE是ABC的外角ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E(1)若B30,ACB40,求E的度数;(2)求证:BACB+2E7【分析】(1)根据三角形外角性质求出ACD,即可求出ACE,求出CAE,根据三角形内角和求出E即可;(2)利用三角形的外角的性质即可解决问题【解析】(1)ACB40,ACD18040140,B30,EACB+ACB70,CE是ABC的外角ACD的平分线,ACE70,E

9、180707040;(2)CE平分ACD,ACEDCE,DCEB+E,ACEB+E,BACACE+E,BACB+E+EB+2E9(2020 秋前郭县期末)如图所示,在ABC中,BO,CO分别平分ABC和ACB;BD、CD分别平分ABC和ACB的外角(1)若BAC70,求:BOC的度数;(2)探究BDC与A的数量关系(直接写出结论,无需说明理由)8【分析】(1)根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出OBC+OCB的度数,再根据三角形的内角和定理即可求出BOC的度数;(2)根据三角形外角平分线的性质可得BCD(A+ABC)、DBC(A+ACB);根据三角形内角和定理可得BDC90A【解析

10、】(1)OB、OC分别是ABC和ACB的角平分线,OBC+OCBABCACB(ABC+ACB),A70,OBC+OCB(18070)55,BOC180(OBC+OCB)18055125;(2)BDC90A理由如下:BD、CD为ABC两外角ABC、ACB的平分线,BCD(A+ABC)、DBC(A+ACB),由三角形内角和定理得,BDC180BCDDBC,9180A+(A+ABC+ACB),180(A+180),90A;10(2020 秋朝阳区期末)已知am2+n2,bm2,cmn,且mn0(1)比较a,b,c的大小;(2)请说明以a,b,c为边长的三角形一定存在【分析】(1)根据代数式大小比较的

11、方法进行比较即可求解;(2)根据三角形两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解【解析】(1)am2+n2,bm2,cmn,且mn0,m2+n2m2mn,abc;(2)mn0,mnn2,m2+mnm2+n2,a,b,c为边长的三角形一定存在11(2019 春常熟市期中)在ABC中,点D为边BC上一点,请回答下列问题:(1)如图 1,若DACB,ABC的角平分线CE交AD于点F,试说明AEFAFE;(2)在(1)的条件下,如图 2,ABC的外角ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P,P与CFD有怎样的数量关系?为什么?(3)如图 3,点P在BA的延长线上,PD交AC于点F,且CFDB,

12、PE平分BPD,过点C作CEPE,垂足为E,交PD于点G,试说明CE平分ACB10【分析】(1)如图 1 中,根据三角形的外角的性质即可证明(2)如图 2 中,首先证明PCE90,再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题(3)如图 3 中,延长PE交BC于H,设PA交AC于K只要证明EKCEHC,即可解决问题【解析】(1)证明:如图 1 中,AEFB+ECB,AFEFAC+ACE,又BFAC,ECBACE,AEFAFE(2)P+CFD90,理由如下:如图 2 中,ACEACB,ACPACQ,ECPACE+ACP(ACB+ACQ)90,P+AEC90,AEFAFECFD,P+CFD90(3)证明:

13、如图 3 中,延长PE交BC于H,设PA交AC于KEKCKPF+PFA,EHCB+BPK,又BCFDPFA,KPFBPH,EKCEHC,CEKH,CEKCEH90,EKC+ECK90,EHC+ECH90,11ECKECH,CE平分ACB12(2019 春大名县期末)如图,在ABC中,点E在AC上,AEBABC(1)图 1 中,作BAC的角平分线AD,分别交CB、BE于D、F两点,求证:EFDADC;(2)图 2 中,作ABC的外角BAG的角平分线AD,分别交CB、BE的延长线于D、F两点,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?【分析】(1)首先根据角平分线的性质可得BADDAC,再根据内角与外

14、角的性质可得EFDDAC+AEB,ADCABC+BAD,进而得到EFDADC;(2)首先根据角平分线的性质可得BADDAG,再根据等量代换可得FAEBAD,然后再根据内角与外角的性质可得EFDAEBFAE,ADCABCBAD,进而得EFDADC【解析】(1)AD平分BAC,BADDAC,EFDDAC+AEB,ADCABC+BAD,又AEBABC,EFDADC;(2)探究(1)中结论仍成立;理由:AD平分BAG,BADGAD,FAEGAD,FAEBAD,EFDAEBFAE,ADCABCBAD,又AEBABC,EFDADC13(2019 春南昌期末)如图:已知ABC与DEF是一副三角板的拼图,A,

15、E,C,D在同一条线上(1)求证EFBC;12(2)求1 与2 的度数【分析】(1)由垂直于同一条直线的两直线平行,可证EFBC(2)由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求1 与2 的度数【解析】(1)EFAD,BCAD,BCEF(同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行)(2)APE180AEPA180904545,又APEOPF,1F+OPF30+4575,2DCQ+D90+6015014(2020 春兴化市月考)如图,ABC的角平分线BD、CE相交于点P(1)若ABC50,ACB70,则A60;(2)若A80,试求BPC的度数;(3)试直接写出DPC与A之间的数量关系:DPC

16、90A【分析】先根据角平分线的定义得到1ABC,2ACB,再根据三角形内角和定理得BPC18012180(ABC+ACB),加上ABC+ACB180A,易得BPC9013A,然后根据此结论解决各小题【解析】ABC,ACB的平分线相交于点P,1ABC,2ACB,BPC18012180ABCACB180(ABC+ACB),ABC+ACB180A,BPC180(180A)90A,(1)ABC50,ACB70,A180507060故答案为 60(2)A80,BPC9080130;(3)BPC90A,DPC180(90A)90A故答案为:90A15(2020 秋薛城区期末)在一个三角形中,如果一个角是另

17、一个角的 3 倍,这样的三角形我们称之为“灵动三角形”例如,三个内角分别为 120、40、20的三角形是“灵动三角形”;三个内角分别为80、75、25的三角形也是“灵动三角形”等等如图,MON60,在射线OM上找一点A,过点A作ABOM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(规定 0OAC90)(1)ABO的度数为30,AOB是(填“是”或“不是”)“灵动三角形”;(2)若BAC70,则AOC是(填“是”或“不是”)“灵动三角形”;(3)当ABC为“灵动三角形”时,求OAC的度数14【分析】(1)利用三角形内角和定理解决问题即可(2)求出OAC即可解决问题(3)分三种情形分别求出

18、即可【解析】(1)ABOM,BAO90,AOB60,ABO906030,90330,AOB是“灵动三角形”故答案为:30,是(2)OAB90,BAC70,OAC20,AOC60320,AOC是“灵动三角形”故答案为:是(3:ACB3ABC时,CAB60,OAC30;当ABC3CAB时,CAB10,OAC80当ACB3CAB时,CAB37.5,可得OAC52.5综上所述,满足条件的值为 30或 52.5或 801516(2020 春常州期中)如图,在ABC中,ACB90,ABC与BAC的角平分线相交于点P,连接CP,过点P作DECP分别交AC、BC于点D、E,(1)若BAC40,求APB与ADP

19、度数;(2)探究:通过(1)的计算,小明猜测APBADP,请你说明小明猜测的正确性(要求写出过程)【分析】(1)首先说明PC平分ACB,推出CDE45,利用三角形内角和定理求解即可(2)证明APB135,ADP135即可【解析】(1)ABC与BAC的角平分线相交于点P,PC平分ACB,PCDPCEACB9045,PCDE,CPD90,CDE45,ADP135,BAC40,ACB90,ABC904050,PBAABC25,PABBAC20,APB1802520135(2)结论:APBADP16理由:PB,PA分别是ABC,BAC的角平分线,PBAABC,PABBAC,APB180(ABC+BAC

20、)180(18090)135,ADP135,APBADP17(2020 春宝应县期末)(1)如图 1,AD平分BAC,AEBC,B30,C70BAC80,DAE20;如图 2若把“AEBC”变成“点F在AD的延长线上,FEBC”,其它条件不变,求DFE的度数;(2)如图 3,AD平分BAC,AE平分BEC,CB40,求DAE的度数【分析】(1)利用三角形内角和定理求出BAC,再求出CAD,CAE即可解决问题想办法求出ADC即可解决问题(2)利用三角形内角和定理以及角平分线的定义构建关系式解决问题即可【解析】(1)B30,C70,BAC180(30+70)80,AD平分ABC,CADBAC40,

21、AEBC,AEC90,CAE907020,DAECADCAD2017故答案为 80,20ADC180CADC180407070,FDEADC70,FEBC,FED90,DFE90FDE20(3)AD平分ABC,BADCAD,AE平分BEC,AEBAEC,C+CAE+AEC180,B+BAE+AEB180,C+CAEB+BAE,CAECADDAE,BAEBAD+DAE,C+CADDAEB+BAD+DAE,2DAECB40,DAE2018(2020 秋嘉鱼县期末)在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的 3 倍,这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”例如,三个内角分别为 120,40,20的三角

22、形是“三倍角三角形”(1)ABC中,A35,B40,ABC是“三倍角三角形”吗?为什么?(2)若ABC是“三倍角三角形”,且B60,求ABC中最小内角的度数【分析】(1)由三角形内角和可求第 3 个内角为 105,由“三倍角三角形”定义可求解;(2)分两种情况讨论,由“三倍角三角形”定义可求解【解析】(1)ABC是“三倍角三角形”,理由如下:A35,B40,C1803540105353,ABC是“三倍角三角形”;(2)B60,A+C120,设最小的角为x,18当 603x时,x20,当x+3x120时,x30,答:ABC中最小内角为 20或 3019(2020 秋肇州县期末)如图,CAD与CB

23、D的角平分线交于点P(1)若C35,D29,求P的度数;(2)猜想D,C,P的等量关系【分析】设CAD2x,CBD2y,根据CAD和CBD的角平分线相交于点P可得CAPPADx,CBPDBPy,再由三角形外角的性质即可得出结论【解析】(1)设CAD2x,CBD2y,根据CAD和CBD的角平分线相交于点P可知:CAPPADx,CBPDBPy,三角形的内角和等于 180,C35,D29,C+CADD+CBD,即 35+2x29+2yAEB是APE与DBE的外角,P+EAPD+DBP,即P+x29+y同理,AFB是ACF与BFP的外角,C+CAPP+CBP,即 35+xP+y,得,yx+35P,得,

24、xy+29P,代入得,xx+35P+29P,2P35+29,解得P32;(2)P(C+D),理由如下:19由(1)同理可知:2PC+D,解得P(C+D)20(2019 春常熟市月考)好学的小红在学完三角形的角平分线后,遇到下列 4 个问题,请你帮她解决如图,在ABC中,BAC48,点I是两角ABC、ACB的平分线的交点(1)填空:BIC114(2)若点D是两条外角平分线的交点,填空:BDC66(3)若点E是内角ABC、外角ACG的平分线的交点,试探索:BEC与BAC的数量关系,并说明理由(4)在问题(3)的条件下,当ACB等于84度时,CEAB?【分析】(1)想办法求出IBC+ICB即可解决问

25、题(2)根据四边形内角和等于 360解决问题即可(3)设ACEECGx,ABIIBCy,利用三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题(4)利用平行线的性质即可解决问题【解析】(1)A48,ABC+ACB18048132,点I是两角ABC、ACB的平分线的交点,IBC+ICB(ABC+ACB)66,BIC18066114故答案为 114(2)由题意:IBDICD90,BDC+BIC180,BDC6620故答案为 66(3)设ACEECGx,ABIIBCy,2x2y+A,xy+E,2可得EA(4)CEAB,ECAA48,ECGECAABC48,ACB180484884故答案为 8421(2020

26、春江都区月考)(1)如图 1 的图形我们把它称为“8 字形”,则A、B、C、D之间的数量关系为A+BC+D;(2)如图 2,AP、CP分别平分BAD、BCD图中有6个“8 字形”;若B36,D14,求P的度数;(3)如图 3,CP、AG分别平分BCE、FAD,AG反向延长线交CP于点P,求P、B、D之间的数量关系【分析】(1)利用三角形内角和定理可得结论(2)根据“8 字形”的定义判断即可21根据“8 字形”的性质,构建关系式解决问题即可(3)根据“8 字形”的性质,构建关系式解决问题即可【解析】(1)A+B+AOB180,C+D+COD180,又AOBCOD,A+BC+D,故答案为:A+BC

27、+D(2)图中,有 6 个“8 字形”故答案为 6AP平分BAD,12,PC平分BCD,34,1+B3+P,2+P4+D,得,2PB+D50,P25(3)结论:2PB+D理由:CP平分BCE,34,AG平分DAF,12,PAB1,2PAB,P+PABB+4,P+2B+4 ,P+PADD+PCD,P+(1802)D+(1803),+得,2PB+D22(2020 春高新区期中)RtABC中,C90,点D、E分别是ABC边AC、BC上的点,点P是一动点令PDA1,PEB2,DPE22(1)若点P在线段AB上,如图(1)所示,且30,则1+2120;(2)若点P在AB上运动,如图(2)所示,则、1、2

28、 之间有何关系?猜想并说明理由(3)若点P运动到边AB的延长线上,如图(3)所示,则、1、2 之间有何关系?猜想并说明理由(4)若点P运动到ABC之外,如图(4)所示,则、1、2 的关系为:21+90【分析】(1)先用平角的得出,CDP1801,CEP1802,最后用四边形的内角和即可(2)同(1)方法即可(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论【解析】(1)1+CDP180,CDP1801,同理:CEP1802,根据四边形的内角和定理得,CDP+DPE+CEP+C360,C90,1801+1802+90360,1+290+90+3012

29、0,故答案为:120(2)1+CDP180,CDP1801,同理:CEP1802,根据四边形的内角和定理得,CDP+DPE+CEP+C360,C90,1801+1802+90360,1+290+(3)如图 3,1+CDF180,CDF1801,CFD2+,23根据三角形的内角和得,C+CDF+CFD180,90+1801+2+180,1290(4)如图 4,PGDEGC,2C+EGC90+PGD,PGD290,PDG1801,根据三角形的内角和得,DPG+PDG+PDG180,+1801+290180,21+90故答案为:21+9023(2020 秋南山区期末)(1)如图 1,则A、B、C、D

30、之间的数量关系为A+BC+D(2)如图 2,AP、CP分别平分BAD、BCD若B36,D14,求P的度数;24(3)如图 3,CP、AG分别平分BCE、FAD,AG反向延长线交CP于点P,请猜想P、B、D之间的数量关系并说明理由【分析】(1)根据三角形的内角和定理,结合对顶角的性质可求解;(2)根据角平分线的定义可得BAPDAP,BCPDCP,结合(1)的结论可得 2PB+D,再代入计算可求解;(3)根据角平分线的定义可得ECPPCB,FAGGAD,结合三角形的内角和定理可得P+GADB+PCB,P+(180GAD)D+(180ECP),进而可求解【解析】(1)AOB+A+BCOD+C+D18

31、0,AOBCOD,A+BC+D,故答案为A+BC+D;(2)AP、CP分别平分BAD、BCD,BAPDAP,BCPDCP,由(1)可得:BAP+BBCP+P,DAP+PDCP+D,BPPD,即 2PB+D,B36,D14,P25;(3)2PB+D理由:CP、AG分别平分BCE、FAD,ECPPCB,FAGGAD,PABFAG,GADPAB,P+PABB+PCB,P+GADB+PCB,25P+PADD+PCD,P+(180GAD)D+(180ECP),2PB+D24(2020 秋南海区期末)已知:线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB(1)如图 1,求证:A+DB+C;(2)如图 2,ADC和

32、ABC的平分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、N,A28,C32,求E的度数;(3)如图 3,ADC和ABC的三等分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、N,CDEADC,CBEABC,试探究A、C、E三者之间存在的数量关系,并说明理由【分析】(1)根据三角形的内角和定理,结合对顶角相等可求解;(2)由角平分线的定义可得ADECDE,ABECBE,结合(1)可得A+C2E,再代入计算即可求解;(3)由CDEADC,CBEABC可得ADE2CDE,ABE2CBE,结合(1)可得A+2C+ADE+2CBE3E+ABE+2CDE,进而可求解【解析】(1)证明:

33、A+D+AODC+B+BOC180,AODBOC,A+DC+B;(2)解:ADC和ABC的平分线DE和BE相交于点E,ADECDE,ABECBE,由(1)可得A+ADEE+ABE,C+CBEE+CDE,26A+C2E,A28,C32,E30;(3)解:A+2C3E理由:CDEADC,CBEABC,ADE2CDE,ABE2CBE,由(1)可得A+ADEE+ABE,C+CBEE+CDE,2C+2CBE2E+2CDE,A+2C+ADE+2CBE3E+ABE+2CDE,即A+2C3E25(2020 春扬中市期中)如图,在ABC中,ABC与ACB的平分线相交于点P(1)如果A80,求BPC的度数;(2)

34、如图,作ABC外角MBC,NCB的角平分线交于点Q,试探索Q、A之间的数量关系(3)如图,延长线段BP、QC交于点E,BQE中,存在一个内角等于另一个内角的 2 倍,求A的度数【分析】(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义,首先求出1+2,进而求出BPC即可解决问题;(2)根据三角形的外角性质分别表示出MBC与BCN,再根据角平分线的性质可求得CBQ+BCQ,最后根据三角形内角和定理即可求解;(3)在BQE中,由于Q90A,求出EA,EBQ90,所以如果BQE中,存在一个内角等于另一个内角的 2 倍,那么分四种情况进行讨论:EBQ2E90;EBQ2Q90;27Q2E;E2Q;分别列出方程

35、,求解即可【解析】(1)解:A80ABC+ACB100,点P是ABC和ACB的平分线的交点,P180(ABC+ACB)180100130,(2)外角MBC,NCB的角平分线交于点Q,QBC+QCB(MBC+NCB)(360ABCACB)(180+A)90AQ180(90A)90A;(3)延长BC至F,CQ为ABC的外角NCB的角平分线,CE是ABC的外角ACF的平分线,ACF2ECF,BE平分ABC,ABC2EBC,ECFEBC+E,2ECF2EBC+2E,即ACFABC+2E,又ACFABC+A,A2E,即EA;28EBQEBC+CBQABCMBC(ABC+A+ACB)90如果BQE中,存在一个内角等于另一个内角的 2 倍,那么分四种情况:EBQ2E90,则E45,A2E90;EBQ2Q90,则Q45,E45,A2E90;Q2E,则 90AA,解得A60;E2Q,则 A2(90A),解得A120综上所述,A的度数是 90或 60或 120