第4章 数值积分与数值微分PPT讲稿.ppt

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1、第4章 数值积分与数值微分第1页，共93页，编辑于2022年，星期二第四章第四章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分/*Numerical Integration And Derivation*/近似计算近似计算 但是在许多实际问题经常遇到下列情况：（1）原函数存在但不能用初等函数表示；（2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂；（3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。几何几何意义：意义：曲边梯形的面积曲边梯形的面积-第2页，共93页，编辑于2022年，星期二取取左左端点端点矩形矩形近似近似 求求定积分的定积分的思想：思想：分割、近似、求和取取右右端点端点矩形矩形近似近似复合型求积公式-

2、第3页，共93页，编辑于2022年，星期二 数值积分公式的数值积分公式的一般形式一般形式：其中其中求积求积节点节点求积求积系数系数仅与仅与求积节点求积节点有关有关求积公式的求积公式的截断误差截断误差或或余项余项：4.1 数值积分概述数值积分概述第4页，共93页，编辑于2022年，星期二代数精度的代数精度的判别方法判别方法 求积公式的求积公式的代数精度代数精度（/*/*Algebraic Precision*/）如果求积公式如果求积公式对一切不高于对一切不高于m次的多项式都次的多项式都恒成立恒成立，而对于某个，而对于某个m+1次多项式次多项式不能精确成立不能精确成立，则称该求积公式具有，则称该求

3、积公式具有m次代数精度。次代数精度。求积公式求积公式具有具有m次代数精度的充要条件是次代数精度的充要条件是 为为 时求积公式时求积公式精确成立精确成立，而，而 为为 时求积公式时求积公式不能成为等式。不能成为等式。求积系数的求积系数的特征：特征：第5页，共93页，编辑于2022年，星期二 插值型插值型求积公式求积公式/*Integration Formula of Interpolation Type*/思想思想用被积函数用被积函数 在区间在区间 上的上的插值多项式插值多项式近似代替计算近似代替计算作作n次次Lagrange插值多项式插值多项式:设已知函数设已知函数 在节点在节点上的函数值上的

4、函数值第6页，共93页，编辑于2022年，星期二其中其中插值型插值型求积公式：求积公式：余项余项第7页，共93页，编辑于2022年，星期二 形如形如 的求积公式至少的求积公式至少有有n次代数精度的充要条件是它是次代数精度的充要条件是它是插值型插值型求积公式。求积公式。证明：证明：充分性设它是设它是插值型插值型求积公式求积公式当当时，时，即它对所有不超过即它对所有不超过n次的多项式精确成立，故至少有次的多项式精确成立，故至少有n次代数次代数精度。精度。第8页，共93页，编辑于2022年，星期二则对所有不超过则对所有不超过n次的多项式求积公式次的多项式求积公式精确成立精确成立取取因此求积公式因此求

5、积公式 是是插值型插值型的。的。必要性设求积公式至少有设求积公式至少有n次代数精度次代数精度第9页，共93页，编辑于2022年，星期二 求积公式的求积公式的收敛性收敛性和和稳定性稳定性若若则称求积公式则称求积公式（*）是收敛的。是收敛的。设设 有有舍入舍入误差误差，实际计算的求积公式为：，实际计算的求积公式为：第10页，共93页，编辑于2022年，星期二两者的误差为两者的误差为其中其中求积系数全为正时，公式是稳定的第11页，共93页，编辑于2022年，星期二NewtonCotes公式是公式是插值型插值型求积公式的特殊形式：求积公式的特殊形式：求积节点求积节点 取取等距等距分布：分布：步长4.2

6、 NewtonCotes公式公式一、一、求积公式求积公式第12页，共93页，编辑于2022年，星期二其中其中Cotes系数系数NewtonCotes公式：公式：第13页，共93页，编辑于2022年，星期二n=1时的求积公式时的求积公式梯形公式/*Trapezoidal Formula*/1次次代数精度代数精度用用梯形梯形面积近似面积近似-第14页，共93页，编辑于2022年，星期二n=2时的求积公式时的求积公式3次次代数精度代数精度Simpson公式用用抛物形抛物形面积近似面积近似-第15页，共93页，编辑于2022年，星期二n=4时的求积公式时的求积公式Cotes公式5次次代数精度代数精度近

7、似近似等于等于曲边梯形的面积曲边梯形的面积-第16页，共93页，编辑于2022年，星期二例例1 1：分别利用分别利用梯形梯形公式、公式、Simpson公式、公式、Cotes公式公式计算积分计算积分 的近似值。的近似值。解：解：第17页，共93页，编辑于2022年，星期二注：NewtonCotes公式中 时不能使用；当当NewtonCotes公式中公式中 时不能满时不能满 足足高精度高精度要求。要求。对于对于NewtonCotes求积公式求积公式当当n为为奇数奇数时至少具有时至少具有n次代数精度；当次代数精度；当n为为偶数偶数时至少时至少具有具有n+1次代数精度。次代数精度。第18页，共93页，

8、编辑于2022年，星期二证明：证明：插值型插值型求积公式至少有求积公式至少有n次代数精度次代数精度只需证明当只需证明当 （n为偶数）时，余项为偶数）时，余项等于零等于零。余项余项作作变换变换再作再作变换变换（n为偶数）为偶数）第19页，共93页，编辑于2022年，星期二第二积分中值第二积分中值定理定理（被积函数为（被积函数为奇函数）奇函数）故故n为为偶数偶数时，时，NewtonCotes求积公式求积公式至少具有至少具有n+1次代数精度。次代数精度。二、二、前述前述三种三种求积公式的余项求积公式的余项梯形梯形公式公式设设 连续连续第20页，共93页，编辑于2022年，星期二 Simpson公式公

9、式构造次数不超过构造次数不超过3次的多项式次的多项式 ，满足：，满足：其中其中设设 连续连续第21页，共93页，编辑于2022年，星期二第二积分第二积分中值定理中值定理第22页，共93页，编辑于2022年，星期二（补充：（补充：Newton-Cotes求积公式的误差估计）求积公式的误差估计）（1）当当n为为偶数偶数时，如果时，如果 ，则，则其中其中（2）当当n为为奇数奇数时，如果时，如果 ，则，则其中其中第23页，共93页，编辑于2022年，星期二 Cotes公式公式设设 连续连续NewtonCotes求积方法的缺陷：从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精度，必须增加节点个数，而节点个数的

10、增加，会导致（1）插值多项式出现Runge现象；（2）NewtonCotes数值稳定性不能保证。（n7）第24页，共93页，编辑于2022年，星期二4.3 复合复合求积求积公式公式/*/*Compound Quadrature Formula*/思想思想将积分区间将积分区间 分成若干个分成若干个小区间小区间，然后在，然后在每每个小区间个小区间上采用上采用低阶低阶的的NewtonCotes公式公式一、一、复合复合梯形公式：梯形公式：/*/*Compound Trapezoidal Formula*/将积分区间将积分区间 n等分：等分：分点分点在区间在区间 上采用上采用梯形梯形公式公式第25页，共

11、93页，编辑于2022年，星期二复合梯形公式复合梯形公式的几何意义小梯形小梯形面积面积之和之和近似近似-第26页，共93页，编辑于2022年，星期二复合梯形公式的余项设设由由介值介值定理定理余项估计式余项估计式第27页，共93页，编辑于2022年，星期二复合梯形公式的收敛性其中定积分与其中定积分与区间区间分法分法和和 的的取法取法无关无关设设第28页，共93页，编辑于2022年，星期二二、二、复合复合Simpson公式：公式：/*/*Compound Simpson Formula*/分点分点在区间在区间 上采用上采用Simpson公式公式其中其中将积分区间将积分区间 n等分：等分：第29页，

12、共93页，编辑于2022年，星期二复合Simpson公式复合Simpson公式的几何意义小抛物小抛物面积面积之和之和近似近似-第30页，共93页，编辑于2022年，星期二复合Simpson公式的余项设设由由介值介值定理定理余项估计式余项估计式第31页，共93页，编辑于2022年，星期二复合Simpson公式的收敛性类似地可以得到复合Cotes公式第32页，共93页，编辑于2022年，星期二例例2 2：分别利用复合分别利用复合梯形梯形公式、公式、复复合合Simpson公式公式计算计算积分积分 的近似值，要求按复的近似值，要求按复合合Simpson公公式计算时误差不超过式计算时误差不超过 。解：解

13、：首先来确定首先来确定步长步长复复合合Simpson公式的余项：公式的余项：其中其中第33页，共93页，编辑于2022年，星期二本题本题 的求法：的求法：由由归纳法归纳法知知第34页，共93页，编辑于2022年，星期二解不等式得解不等式得将区间将区间 8等分，分别采用复合等分，分别采用复合Simpson、梯形梯形公式公式 0 1/8 1/4 3/8 10.9973980.9896880.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471第35页，共93页，编辑于2022年，星期二复合复合梯形梯形公式公式(n=8)复复

14、合合Simpson公式公式(n=4)第36页，共93页，编辑于2022年，星期二（1）使用使用复合复合梯形梯形公式、公式、Simpson公式，首先要确定步长公式，首先要确定步长 ；（2）而步长要根据而步长要根据余项余项确定，这就涉及到确定，这就涉及到高阶导数高阶导数的估计；的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；（4）计算机上实现起来不方便，计算机上实现起来不方便，通常采用通常采用“事后估计法事后估计法”。三、三、积分步长的积分步长的自动自动选取选取：注意注意事项：事项：基本基本思想思想：将积分区间将积分区间逐次分半逐次分半 终

15、止终止法则：法则：前后两次前后两次近似值的误差小于近似值的误差小于已知精度已知精度第37页，共93页，编辑于2022年，星期二 具体具体过程过程（以（以复合复合梯形梯形公式为例公式为例）1、首先将区间、首先将区间 n等分：等分：2、再将区间、再将区间 2n等分，即步长减半：等分，即步长减半：第38页，共93页，编辑于2022年，星期二上述条件上述条件满足满足，程序终止；否则，继续，程序终止；否则，继续分半分半计算。计算。3、终止终止条件：条件：由由复合复合梯形梯形公式的余项知公式的余项知变化不大变化不大时时由此得到由此得到近似近似关系式关系式误差控制条件误差控制条件第39页，共93页，编辑于2

16、022年，星期二收敛收敛速度慢速度慢 对于对于复合复合Simpson公式、公式、Cotes公式可以类似得到公式可以类似得到不足不足 对于对于复合梯形复合梯形公式公式第40页，共93页，编辑于2022年，星期二加速加速收敛收敛应用步长应用步长逐次减半逐次减半得到的复合得到的复合梯形梯形值、复合值、复合Simpson值值、复合、复合Cotes值与值与精确值精确值的比较的比较第41页，共93页，编辑于2022年，星期二4.4 Romberg积分法积分法/*/*Romberg Integration Method*/Romberg积分思想积分思想由上节分析知，用由上节分析知，用复合复合梯形梯形公式计算

17、积分值公式计算积分值的的误差误差大约为：大约为：令令由复合由复合梯形梯形公式知公式知第42页，共93页，编辑于2022年，星期二第43页，共93页，编辑于2022年，星期二梯形梯形加速加速公式：公式：利用利用复合复合梯形梯形公式前后两次积分近似值公式前后两次积分近似值 和和 ，按按照上式作出的照上式作出的线性组合线性组合得到了具有得到了具有更高精度更高精度的的积分值。积分值。上述公式说明：Romberg积分公式正是由此思想产生积分公式正是由此思想产生第44页，共93页，编辑于2022年，星期二Romberg 值序列值序列Simpson加速加速公式：公式：Cotes加速加速公式：公式：类似于梯形

18、类似于梯形加速加速公式的处理方法，得到：公式的处理方法，得到：第45页，共93页，编辑于2022年，星期二通过上述通过上述3个积分值序列求积分近似值的方法，个积分值序列求积分近似值的方法，称之为称之为Romberg积分法。积分法。4个积分值序列：个积分值序列：梯形值序列梯形值序列Simpson值序列值序列Romberg值序列值序列Cotes值序列值序列第46页，共93页，编辑于2022年，星期二Romberg积分法的一般公式积分法的一般公式其中其中第47页，共93页，编辑于2022年，星期二Romberg积分表积分表第48页，共93页，编辑于2022年，星期二例例3 3：利用利用Romberg

19、 积分法式积分法式计算积分计算积分要求精确到小数点后面要求精确到小数点后面7位。位。解：解：根据根据Romberg 积分法计算得积分法计算得第49页，共93页，编辑于2022年，星期二具体结果见下表具体结果见下表第50页，共93页，编辑于2022年，星期二第51页，共93页，编辑于2022年，星期二4.5 Gauss求积求积公式公式/*/*Gauss Quadrature Formula*/一、一、Gauss积分问题的提法积分问题的提法 前述前述NewtonCotes求积公式中求积节点是取求积公式中求积节点是取等距节点等距节点，求积系数计算方便，但求积系数计算方便，但代数精度代数精度要受到限制

20、；要受到限制；为了提高为了提高代数精度代数精度，需要适当选择求积节点，需要适当选择求积节点:当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选 取，取，求积公式的求积公式的代数精度代数精度最高最高能达到多少？能达到多少？具有具有最高最高代数精度代数精度的求积公式的求积公式中求积节点如何选取？中求积节点如何选取？积分公式的积分公式的一般形式一般形式：第52页，共93页，编辑于2022年，星期二 形如形如 的的插值型插值型求积公式的代数精度最高不超过求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。次。只需证明：对于上述只需证明：对于上述插值型插值型求积公式，存在一个求

21、积公式，存在一个2n+2次多项式，使得求积公式次多项式，使得求积公式不能精确成立不能精确成立。证明：证明：其中其中令令因为因为而而故求积公式故求积公式不能精确不能精确成立成立第53页，共93页，编辑于2022年，星期二下面讨论下面讨论一般一般积分形式：积分形式：其中其中 为为权函数权函数构造积分公式构造积分公式（*）具有具有2n+1次代数精度。次代数精度。其中其中求积求积节点节点求积求积系数系数仅与仅与求积节点求积节点有关有关第54页，共93页，编辑于2022年，星期二 如果一组节点如果一组节点 ，使得，使得上述上述插值型插值型求积公式具有求积公式具有2n+1次代数精度，则称该组次代数精度，则

22、称该组节点为节点为Gauss点，相应的公式为点，相应的公式为Gauss型求积公式。型求积公式。求积公式求积公式 精确成立：精确成立：由由代数精度代数精度定义，当定义，当 时，时，2n+2个未知数，个未知数，2n+2个方程个方程的的非线性方程组非线性方程组第55页，共93页，编辑于2022年，星期二二、二、Gauss求积公式的性质求积公式的性质 Gauss求积公式存在的条件求积公式存在的条件插值型插值型求积公式求积公式（*）的节点的节点是是Gauss点点的充要条件是以这些的充要条件是以这些节点为零点节点为零点的多项式的多项式与与任何任何不超过不超过n次的多项式次的多项式 带权正交带权正交:第56

23、页，共93页，编辑于2022年，星期二证明：证明：必要性设设则则因为因为是是Gauss点点充分性对于对于其中其中第57页，共93页，编辑于2022年，星期二即求积公式即求积公式（*）对一切不超过对一切不超过2n+1次的多项式精确成立次的多项式精确成立所以所以节点节点 是是Gauss点点上述定理表明：上带权的n+1次正交多项式的零点就是求积公式（*）的Gauss点第58页，共93页，编辑于2022年，星期二 Gauss求积公式中求积公式中求积系数求积系数的求法的求法由由代数精度代数精度定义，得到定义，得到n+1阶阶线性线性方程组：方程组：设已知设已知Gauss点点或者或者第59页，共93页，编辑

24、于2022年，星期二 Gauss求积公式的余项求积公式的余项证明：证明：设设 是满足下列条件的是满足下列条件的Hermite插值插值第60页，共93页，编辑于2022年，星期二第二积分第二积分中值定理中值定理第61页，共93页，编辑于2022年，星期二 Gauss求积公式的稳定性求积公式的稳定性Gauss型型求积公式求积公式（*）总是稳定的。总是稳定的。证明：证明：只需证明：只需证明：因为因为Gauss型型求积公式求积公式（*）对所有不超过对所有不超过2n+1次的多次的多项式都精确成立：项式都精确成立：取取是是n次的次的Lagrange插值基函数插值基函数第62页，共93页，编辑于2022年，

25、星期二 Gauss求积公式的收敛性求积公式的收敛性则则Gauss型型求积公式求积公式（*）是收敛的。是收敛的。设设证明：证明：由由Weierstrass定理知定理知对对存在存在m次多项式次多项式 满足满足下证下证当当 时时第63页，共93页，编辑于2022年，星期二第64页，共93页，编辑于2022年，星期二三、三、Gauss求积公式的构造求积公式的构造根据前面的讨论，只需要取根据前面的讨论，只需要取n+1次次正交正交多项式的多项式的n+1个个零点零点为为求积节点求积节点，构造的求积公式即为，构造的求积公式即为Gauss求积公式求积公式 区间的区间的转化转化问题问题任意区间任意区间 经过下列经

26、过下列变换变换可变为区间可变为区间下面仅以下面仅以Legendre多项式和多项式和Chebyshev多项式为例多项式为例第65页，共93页，编辑于2022年，星期二 Gauss-Legendre求积公式求积公式其中其中求积节点求积节点 是是n+1次次Legendre多项式的零点多项式的零点求积系数求积系数可通过求解方程组得到，或者利用下式可通过求解方程组得到，或者利用下式第66页，共93页，编辑于2022年，星期二事实上事实上考虑积分考虑积分第67页，共93页，编辑于2022年，星期二被积函数被积函数2n次次P122表表4-7第68页，共93页，编辑于2022年，星期二例例1 1：应用两点应用

27、两点Gauss-Legendre求积公式计算积分求积公式计算积分解：解：作变换作变换第69页，共93页，编辑于2022年，星期二三点三点Gauss-Legendre求积公式求积公式第70页，共93页，编辑于2022年，星期二 Gauss-Chebyshev求积公式求积公式其中其中求积节点求积节点 是是n+1次次Chebyshev多项式的零点多项式的零点求积求积系数系数第71页，共93页，编辑于2022年，星期二例例2 2：应用两点应用两点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分求积公式计算积分解：解：作变换作变换第72页，共93页，编辑于2022年，星期二节点增加节点增加时需重新时需重新

28、计算计算可以计算可以计算广广义积分义积分第73页，共93页，编辑于2022年，星期二 4.6 积分方程的数值解积分方程的数值解/*/*The Numerical Solution of Integral Equations*/积分方程积分方程指的是在积分号下包含指的是在积分号下包含未知函数未知函数的一类方程。的一类方程。本节主要以下列第二类本节主要以下列第二类Fredholm积分方程为例，简单积分方程为例，简单介绍如何求积分方程的数值解介绍如何求积分方程的数值解:解的存在唯一性解的存在唯一性：当函数：当函数 和和 充分光滑时，充分光滑时，上述方程在定义区间上存在唯一解上述方程在定义区间上存在唯

29、一解 。第74页，共93页，编辑于2022年，星期二 积分方程的数值解法积分方程的数值解法求上述求上述积分方程的积分方程的数值解数值解，就是寻求未知函数，就是寻求未知函数 的的一个近似函数一个近似函数 ，使得在给定的已知分点，使得在给定的已知分点上的函数值满足上的函数值满足其中数据其中数据 称为积分方程的数值解。称为积分方程的数值解。利用上述数据利用上述数据，根据，根据函数逼近函数逼近的方法，的方法，我们可以构造未知函数的我们可以构造未知函数的近似表达式近似表达式。第75页，共93页，编辑于2022年，星期二利用数值积分法离散利用数值积分法离散前述前述Fredholm方程中的积分项：方程中的积

30、分项：从而得到一个关于从而得到一个关于 的关系式：的关系式：在上述关系式中令在上述关系式中令 ，即进一步离散化，即进一步离散化：这是一个关于未知量这是一个关于未知量 的线性代数方程组的线性代数方程组第76页，共93页，编辑于2022年，星期二如果记如果记则上述方程组可写为则上述方程组可写为第77页，共93页，编辑于2022年，星期二解：解：例例3 3：使用复合使用复合Simpson公式公式求下列积分方程的数值解求下列积分方程的数值解用复合用复合Simpson公式离散化积分项（取公式离散化积分项（取等距节点等距节点）第78页，共93页，编辑于2022年，星期二从而得到线性代数方程组从而得到线性代

31、数方程组第79页，共93页，编辑于2022年，星期二如如 时，将区间时，将区间 二等分，采用二等分，采用Simpson公式公式则取则取5个节点：个节点：从而得到线性代数方程组从而得到线性代数方程组第80页，共93页，编辑于2022年，星期二第81页，共93页，编辑于2022年，星期二解上述方程组得解上述方程组得积分方程的数值解积分方程的数值解 0 0.25 0.5 0.75 1 -7.9256 14.5225-40.6597-0.4504 31.4884第82页，共93页，编辑于2022年，星期二第83页，共93页，编辑于2022年，星期二4.7 数值微分数值微分/*/*Numerical D

32、erivation*/一、一、插值型求导公式插值型求导公式/*Derivation Formula of Interpolation Type*/已知已知表格函数表格函数以以 构造构造n次次Lagrange插值多项式插值多项式:插值型求导公式插值型求导公式:误差误差估计估计 第84页，共93页，编辑于2022年，星期二为了计算方便和估计误差，节点通常取为了计算方便和估计误差，节点通常取等距等距节点。节点。第85页，共93页，编辑于2022年，星期二 两点两点公式公式已知已知表格函数表格函数作作线性线性插值插值误差误差第86页，共93页，编辑于2022年，星期二 三点三点公式公式已知已知表格函数

33、表格函数其中其中作作二次二次插值插值第87页，共93页，编辑于2022年，星期二为了求导数方便，令为了求导数方便，令当当 时得到时得到三点三点公式：公式：中点中点公式公式第88页，共93页，编辑于2022年，星期二例例4 4：已知函数已知函数 在在 处的函数值处的函数值,应用应用三点三点公式计算公式计算这些点处的导数值这些点处的导数值.解：解：应用应用三点三点公式公式第89页，共93页，编辑于2022年，星期二计算结果如下计算结果如下:第90页，共93页，编辑于2022年，星期二类似地可以建立类似地可以建立高阶高阶导数的微分公式：导数的微分公式：二、二、利用利用3次样条次样条插值函数求数值微分的思想插值函数求数值微分的思想设函数设函数 ，是区间是区间 的一个分割，的一个分割，是是关关于于 的的带带有有型型(斜斜率率边边界界)或或型型(二二阶阶导数边界导数边界)边界条件的插值函数，则有误差估计边界条件的插值函数，则有误差估计第91页，共93页，编辑于2022年，星期二在区间在区间 上上第92页，共93页，编辑于2022年，星期二如果只求如果只求节点节点上的导数上的导数类似地求类似地求高阶高阶导数导数第93页，共93页，编辑于2022年，星期二