第4章曲线和曲面PPT讲稿.ppt

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1、第4章曲线和曲面第1页，共177页，编辑于2022年，星期二第一节第一节 曲线和曲面表示的基础知识曲线和曲面表示的基础知识 曲线和曲面参数表示曲线和曲面参数表示（1 1）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；（2 2）会出现斜率为无穷大的情况；）会出现斜率为无穷大的情况；（3 3）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面（4 4）非参数的显示方程只能描述平面曲线，空间）非参数的显示方程只能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面的交线。曲线必须定义为两张柱面的交线。（5 5）假如我们使用非参数化函数，在某个）假如我们使用非参数化函数，在

2、某个xoyxoy坐标坐标系里一条曲线，一些系里一条曲线，一些x x值对应多个值对应多个y y值，而一些值，而一些y y值值对应多个对应多个x x值。值。第2页，共177页，编辑于2022年，星期二 在在空空间间曲曲线线的的参参数数表表示示中中，曲曲线线上上每每一一点点的的坐坐标标均均要要表表示示成成某某个个参参数数t t的的一一个个函函数数式式，则则曲曲线线上上每每一一点点笛笛卡卡尔坐标参数式是：尔坐标参数式是：，把把三三个个方方程程合合写写到到一一起起，曲曲线线上上一点坐标的矢量表示是：一点坐标的矢量表示是：第3页，共177页，编辑于2022年，星期二关于参数关于参数t的切矢量或导函数是：的

3、切矢量或导函数是：曲面写为参数方程形式为曲面写为参数方程形式为:曲曲线线或或曲曲面面的的某某一一部部分分，可可以以简简单单地地用用au,wb界界定它的范围定它的范围 第4页，共177页，编辑于2022年，星期二参数方程具有如下参数方程具有如下优点优点：(1)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。(2)便于坐标变换便于坐标变换(3)便便于于处处理理斜斜率率为为无无限限大大的的问问题题，不不会会因因此此中中断断计计算算(4)代代数数、几几何何相相关关和和无无关关的的变变量量是是完完全全分分离离的的，而而且对变量个数不限，便于向高维空间扩展。且对变量个数不限，便

4、于向高维空间扩展。(5)t0,1,直直接接定定义义了了边边界界。便便于于曲曲线线和和曲曲面面的的分段、分片描述。分段、分片描述。(6)易于用矢量和矩阵表示，从而简化了计算。易于用矢量和矩阵表示，从而简化了计算。第6页，共177页，编辑于2022年，星期二曲曲线线和和曲曲面面可可以以分分为为两两类类。一一类类要要求求通通过过事事先先给给定定的的离离散散的的点点，称称为为是是插插值值的的曲曲线线或或曲曲面面。另另一一类类不不要要求求通通过过事事先先给给定定的的各各离离散散点点，而而只只是是用用给给定定各各离离散散点点形形成成的的控控制制多多边边形形来来控控制制形形状状，称为是称为是逼近的曲线或曲面

5、逼近的曲线或曲面。插插值值 构构造造一一条条曲曲线线顺顺序序通通过过型型值值点点，称称为为对对这这些些型型值值点点进进行插值（行插值（interpolation）。）。逼近逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最接近这些型值点构造一条曲线，使它在某种意义上最接近这些型值点但不完全通过，称之为对这些型值点进行逼近但不完全通过，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。）。第7页，共177页，编辑于2022年，星期二参数连续性参数连续性 一函数在某一点一函数在某一点x0处具有相等的直到处具有相等的直到k阶的左右导数，称阶的左右导数，称它在它在x0处是处是k次连续可微的，或称它在次连续

6、可微的，或称它在x0处是处是k阶连续阶连续的，记作的，记作Ck。几何上。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。参数曲线的可微性称为形、切线方向、曲率是连续的。参数曲线的可微性称为参数曲线的连续性。参数曲线的连续性。几何连续性几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处参数导数两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处参数导数成比例而不是相等，则称它们在该点处具有成比例而不是相等，则称它们在该点处具有k阶几何连阶几何连续性，记作续性，记作Gk。零阶几何连续零阶几何连续G0与零阶参数连续与零阶参数连续C0是一致的。是一致的。一阶几何连续一阶几何

7、连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即处成比例，即方向相同方向相同，大小不同大小不同。二阶几何连续二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。数均成比例。第8页，共177页，编辑于2022年，星期二曲线段间曲线段间C1、C2和和G1、G2连续性连续性定义定义（1）Q1(1)=Q2(0),则则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C0和和G0连续性连续性（2）Q1(1)和和Q2(0)在在P处处重重合合，且且其其在在P点点处处的的切切矢矢量量方方向向相相同同，大大小小相等相等，则，则Q1(t)和和Q2

8、(t)在在P处有处有C1连续性连续性（3）Q1(1)和和Q2(0)在在P处处重重合合，且且其其在在P点点处处的的切切矢矢量量方方向向相相同同，大大小小不等不等，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有G1连续性连续性Q1(0)Q1(1)Q2(0)Q2(1)Q1(0)Q2(1)Q1(1)Q2(0)Q1(0)Q2(1)Q1(1)Q2(0)第9页，共177页，编辑于2022年，星期二曲线段间曲线段间C1、C2和和G1、G2连续性连续性定义定义（4）Q1(1)和和Q2(0)在在P处处已已有有C0和和C1连连续续，且且Q”1(1)和和Q”2(0)大大小小方方向向均均相同相同，则，则Q1(t)和和Q2

9、(t)在在P处有处有C2连续性连续性（5）Q1(1)和和Q2(0)在在P处处已已有有G0和和G1连连续续，且且Q”1(1)和和Q”2(0)方方向向相相同同但大小但大小不等不等，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有G2连续性连续性（6）推推广广之之，Q1(1)和和Q2(0)在在P处处已已有有C0、C1、Cn连连续续，若若Q(n)1(1)和和Q(n)2(0)在在P处处大大小小和和方方向向均均相相同同，则则说说Q1(t)和和Q2(t)在在P处处具具有有Cn连续性连续性Q1(0)Q1(1)Q2(0)Q2(1)Q1(0)Q1(1)Q2(0)Q2(1)第10页，共177页，编辑于2022年，星期二

10、C0连续的线性插值第12页，共177页，编辑于2022年，星期二C2连续的样条插值第13页，共177页，编辑于2022年，星期二光顺光顺 光顺（光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：该是：（1）具有二阶几何连续（）具有二阶几何连续（G2）；）；（2）不存在多余拐点和奇异点；）不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小。）曲率变化较小。第14页，共177页，编辑于2022年，星期二第二节第二节 Hermite多项式多项式 已知函数已知函数f(t)在在k+1个点个点ti处的

11、函数值和导处的函数值和导数值数值f(j)(ti)，i=0,1,k，j=0,1,mi-1，要求，要求确定一个确定一个N=m0+m1+mk-1次的多项式次的多项式P(t)，满足下面的插值条件：，满足下面的插值条件：第15页，共177页，编辑于2022年，星期二一、一、Lagrange插值插值 已知已知f(t)在在k+1个点上的函数值个点上的函数值f(ti)，求一个，求一个k次多项次多项式使之满足式使之满足。第16页，共177页，编辑于2022年，星期二 设表示一条曲线的某个函数设表示一条曲线的某个函数f(t)在三点在三点t0，t1，t2的函数值的函数值f(t0)，f(t1)，f(t2)，根据，根据

12、Lagrange插值法，则插值法，则二次多项式二次多项式P(t)可表示为：可表示为：g0(t)g2(t)g1(t)第17页，共177页，编辑于2022年，星期二 设表示一条曲线的某个函数设表示一条曲线的某个函数f(t)在四点在四点t0，t1，t2，t3的函数值的函数值f(t0)，f(t1)，f(t2)，f(t3)，根据，根据Lagrange插插值法，则三次多项式值法，则三次多项式P(t)可表示为：可表示为：g0(t)g3(t)g1(t)g2(t)第18页，共177页，编辑于2022年，星期二一般地，对于一般地，对于k k+1+1个点个点，若曲线，若曲线表达式中表达式中满足满足是连续的是连续的则

13、则称为混合（调和）函数或基称为混合（调和）函数或基称为控制点。称为控制点。函数，函数，k k+1+1个点个点第19页，共177页，编辑于2022年，星期二二、三次二、三次Hermite曲线曲线考察考察k=1，m0=m1=2的情形的情形已已知知表表示示一一条条曲曲线线的的某某个个函函数数f(t)在在两两点点t0，t1的的函函数数值值f(t0),f(t1)和和一一阶阶导导数数值值f(t0),f(t1)，求三次多项式，求三次多项式P(t):第20页，共177页，编辑于2022年，星期二把把a0，a1，a2和和a3代入代入(4-1)式则有：式则有：第23页，共177页，编辑于2022年，星期二经整理，

14、所求多项式经整理，所求多项式P 0(t)可以写出如下：可以写出如下：式中选取两个式中选取两个端点端点及其及其及其及其切向量切向量作为曲线构造条件。作为曲线构造条件。混合函数混合函数如下：如下：第24页，共177页，编辑于2022年，星期二经经验验证证可可知知：第25页，共177页，编辑于2022年，星期二三、规范化三次三、规范化三次Hermite插值插值为了使为了使P0(t)的定义区间的定义区间t0tt1变为区间变为区间0u1，可以做如下变换，可以做如下变换解出解出 ，代入混合函数式中，得：，代入混合函数式中，得：第26页，共177页，编辑于2022年，星期二将关于将关于u的混合函数代入，所求

15、的三次多项式成为：的混合函数代入，所求的三次多项式成为：令令第27页，共177页，编辑于2022年，星期二得得第28页，共177页，编辑于2022年，星期二图图4-5 4-5 规范化规范化3 3次次Hermite插值的四个调和函数插值的四个调和函数第29页，共177页，编辑于2022年，星期二四、分段四、分段3次次Hermite曲线曲线 将将前前面面t0和和t1视视为为ti和和ti+1，设设给给定定f(ti)，f(ti+1)，f(ti)，f(ti+1)，则则在在区区间间ti，ti+1的的Hermite三三次次插值多项式插值多项式Pi(t)是：是：第30页，共177页，编辑于2022年，星期二第

16、31页，共177页，编辑于2022年，星期二为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间ti，ti+1中引入如下中引入如下一些基本函数：一些基本函数：a0,0a1,0n=1第32页，共177页，编辑于2022年，星期二为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间ti，ti+1中引入中引入如下一些基本函数：如下一些基本函数：n=2a0,0a1,0a2,0第33页，共177页，编辑于2022年，星期二完整的插值多项式可写为完整的插值多项式可写为：上式区间上式区间t0，tn中有定义，且为分段定义。在每个区间中有定义，且为分段定义

17、。在每个区间 ti，ti+1上，都恰上，都恰有有四项四项。满足插值条件。满足插值条件第34页，共177页，编辑于2022年，星期二每段曲线每段曲线Pi(t)只在只在ti，ti+1中有定义：中有定义：第35页，共177页，编辑于2022年，星期二自变量的线性变换自变量的线性变换用逆变换用逆变换 代入，将所得关于代入，将所得关于u的多项式的多项式记为记为 ，得，得 第36页，共177页，编辑于2022年，星期二其中其中第37页，共177页，编辑于2022年，星期二例：例：设在平面上有两点设在平面上有两点P0，Pl，它们的位置向量，它们的位置向量分别为分别为(1，1)，(4，2)，在，在P0的导数值

18、即在该点的导数值即在该点的切线向量的切线向量P0=(1，1)，在，在Pl处处P1=(1，-1)，构造曲线。构造曲线。第38页，共177页，编辑于2022年，星期二第39页，共177页，编辑于2022年，星期二第三节第三节 Coons曲面曲面 wu00u0uwu11101100w1w00uw00u00wuwuuwuwuww0wu0wwu0uu0w第40页，共177页，编辑于2022年，星期二uw表示了曲面片的方程表示了曲面片的方程0w，1w，u0，u1四条边界曲线四条边界曲线u0u边界线的边界线的切向量切向量u0w 边界线的边界线的跨界切向量跨界切向量uwuu,uwuw,uwww曲面片曲面片uw

19、关于关于u和和w的二阶偏导数向量的二阶偏导数向量u0uu 表示边界线表示边界线u0上的上的二阶切向量二阶切向量u0ww表示边界线表示边界线u0上的上的二阶跨界切向量二阶跨界切向量uwuw为曲面片为曲面片P在点在点(u,w)处的处的扭曲向量扭曲向量。00，01，10，11表示曲面片表示曲面片四个四个角点角点00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u 四个四个角点的切向量角点的切向量 00uw，01uw，10uw，11uw四个四个角点的扭曲向量角点的扭曲向量wu00u0uwu11101100w1w00uw00u00wuwuuwuwuww0wu0wwu0uu0w第41页，共177

20、页，编辑于2022年，星期二一、给定边界曲线的曲面片一、给定边界曲线的曲面片Coons给给出出的的一一个个解解法法是是：寻寻找找两两个个混混合合函函数数f0(t)和和f1(t)，它它们们是是连连续续的的，并并且且满满足足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且且f0(t)+f1(t)=1，0t1。利利用用这这样样的的混混合合函函数数，通通过过四四条条边边界界构构造造曲曲面面片片，并并通通过过叠叠加加修修正正曲曲面面片片，产产生生满足用户需要的曲面。满足用户需要的曲面。第42页，共177页，编辑于2022年，星期二问题问题1：求通过四条边界线的曲面：求通过四条边界线的曲

21、面给定四条边界曲线给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w，且，且0u1，0w1在在u向进行线性插值，得到直纹面为：向进行线性插值，得到直纹面为：在在w向进行线性插值，得到直纹面为：向进行线性插值，得到直纹面为：011100100wu0u11wuw011100100w1wuwP1(u,w)01110010u0u1uwP2(u,w)第43页，共177页，编辑于2022年，星期二Ps(u,w)上的任意一点，其位移矢量包含两个部分，一上的任意一点，其位移矢量包含两个部分，一部分是由于部分是由于线性插值线性插值而产生的位移，另一部分是由而产生的位移，另一部分是由于于边界曲线边界曲线而产生的位移。而产生的

22、位移。若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面Ps(u,w)：201211200210uwP1(u,w)+P2(u,w)01110010uwP3(u,w)011100100wu0u11wuwP(u,w)第44页，共177页，编辑于2022年，星期二为消除为消除Ps(u,w)中由于线性插值而产生的位移，需要中由于线性插值而产生的位移，需要构造一个新的曲面构造一个新的曲面P3(u,w)201211200210uwP1(u,w)+P2(u,w)01110010uwP3(u,w)011100100wu0u11wuwP(u,w)第45页，共177页，编辑于2022年，星期

23、二构造曲面构造曲面P3(u,w)后，从后，从Ps(u,w)中去除中去除P3(u,w)，即去，即去除线性插值的成分，则得到除线性插值的成分，则得到Coons构造曲面构造曲面P(u,w)=Ps(u,w)-P3(u,w)=P1(u,w)+P2(u,w)-P3(u,w)可写成如下形式：可写成如下形式：第46页，共177页，编辑于2022年，星期二其中矩阵其中矩阵M是：是：矩矩阵阵中中四四个个元元素素是是四四个个角角点点的的位位置置向向量量，可可用用已知四条边界曲线计算求出。已知四条边界曲线计算求出。u0，u1可以是关于可以是关于u的三次多项式，的三次多项式，0w，1w可可以是关于以是关于w的三次多项式

24、，混合函数也是不超过三的三次多项式，混合函数也是不超过三次的关于次的关于u或或w的三次多项式，这时公式关于的三次多项式，这时公式关于u看，看，或关于或关于w看，都是三次多项式，是关于看，都是三次多项式，是关于u或或w的双三的双三次多项式次多项式第47页，共177页，编辑于2022年，星期二011100100wu0u11wuw011100100w1wuwP1(u,w)01110010u0u1uwP2(u,w)201211200210uwP1(u,w)+P2(u,w)01110010uwP3(u,w)011100100wu0u11wuwP(u,w)第48页，共177页，编辑于2022年，星期二不难

25、验证它们符合所提问题的要求，例如我们来验证不难验证它们符合所提问题的要求，例如我们来验证0w是它的一条边界线，这只要把是它的一条边界线，这只要把u=0代入公式右端，得代入公式右端，得 第49页，共177页，编辑于2022年，星期二第四节第四节 Bezier曲线和曲面曲线和曲面1.Bezier曲线曲线定义定义 给出型值点给出型值点P0，P1，Pn，它们所确，它们所确定的定的n次次Bezier曲线是：曲线是：第67页，共177页，编辑于2022年，星期二是是Bernstein多项式，多项式，混合函数混合函数涉及到的涉及到的0!及及00，按约定均为，按约定均为1。在在n=1时，公式成为：时，公式成为

26、：(一次一次Bezier曲线是直线段曲线是直线段)在在n=2时，公式成为：时，公式成为：(二次二次Bezier曲线是抛物线曲线是抛物线)第68页，共177页，编辑于2022年，星期二在在n=3时，公式成为：时，公式成为：(三次三次Bezier曲线是三次参数多曲线是三次参数多项式曲线项式曲线)第69页，共177页，编辑于2022年，星期二Bernstein基函数的性质基函数的性质（1 1）正性正性（2 2）端点性质）端点性质（3 3）规范性）规范性（4 4）对称性）对称性第70页，共177页，编辑于2022年，星期二(5)(5)权性权性(6)(6)递推性递推性 在在 处达到最大值处达到最大值。(

27、7)(7)导函数导函数(8)(8)最大值最大值第71页，共177页，编辑于2022年，星期二 Bezier曲线的性质曲线的性质 P(0)=P0，P(1)=P1，曲线通过所给出型值点列的起点和终点。第72页，共177页，编辑于2022年，星期二Bezier曲线的对称性曲线的对称性 第73页，共177页，编辑于2022年，星期二 二阶导数二阶导数 第74页，共177页，编辑于2022年，星期二 曲线的曲线的凸包性凸包性 对给定的型值点对给定的型值点P0，P1，Pn点集，点集点集，点集称作称作n+1个点张成的凸包个点张成的凸包 几何不变性几何不变性第75页，共177页，编辑于2022年，星期二三、三

28、、Bezier曲线的拼接曲线的拼接P0P1P2P3和和Q0QlQ2Q3，两个，两个Bezier多边形多边形曲线在连接点处曲线在连接点处C0连续连续的条件是的条件是P3=Q0曲线在连接点处曲线在连接点处G1连续，即一阶导数连续，即一阶导数几何几何连续，条件是连续，条件是Q0=aP3，a是一个正数。是一个正数。P2,P3=Q0,Ql,共线且共线且P2 和和Ql在在P3两侧两侧第76页，共177页，编辑于2022年，星期二连接点处达到连接点处达到C2连续，即二阶导数连续，即二阶导数参数参数连续的条连续的条件，对前面的公式求两次导数，可得，件，对前面的公式求两次导数，可得，第77页，共177页，编辑于

29、2022年，星期二于是知，于是知，要要求求，即即 ，注意到Q0=P3，由此得：第78页，共177页，编辑于2022年，星期二四、四、Bezier曲线绘制曲线绘制利用定义式利用定义式Bezier曲线的绘制，可以利用其定义式，对参数曲线的绘制，可以利用其定义式，对参数t选取足够多的选取足够多的值，计算曲线上的一些点，然后用折线连接来近似画出实际的值，计算曲线上的一些点，然后用折线连接来近似画出实际的曲线。随着选取点增多，折线和曲线可以任意接近。曲线。随着选取点增多，折线和曲线可以任意接近。假设给定的四个型值点是假设给定的四个型值点是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)，P3=(3，

30、1)，则计算结果见表，则计算结果见表 第79页，共177页，编辑于2022年，星期二t(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.6140.3250.05740.0034(1.5058,1.765)0.350.2750.4440.2390.043(2.248,2.376)0.50.1250.3750.3750.125(2.75,2.5)0.650.0430.2390.4440.275(3.122,2.36)0.850.00340.05740.3250.614(3.248,1.75)10001(3,1)第80页，共177页，编辑于2022年，星期二几何

31、作图法几何作图法 记记点点Pk，Pk+l，Pk+n可以生成的可以生成的Bzier曲线为曲线为 ，0t1则成立下面的递推关系：则成立下面的递推关系：证明上式，要用到组合等式：证明上式，要用到组合等式：第81页，共177页，编辑于2022年，星期二第82页，共177页，编辑于2022年，星期二上式改写为：上式改写为：第83页，共177页，编辑于2022年，星期二void bez_to_points(int n,int npoints,double P,double points)/P为控制点坐标为控制点坐标 /points为采用几何作图算法生成的为采用几何作图算法生成的Bezier曲线上的离散点序

32、列曲线上的离散点序列/离散点序列离散点序列points的个数为的个数为npoints+1/控制点控制点P的个数为的个数为n+1 double t,delt;delt=1.0/(double)npoints;/将参数将参数t npoints等分等分t=0.0;for(int i=0;i=npoints;i+)/分别求出分别求出npoints+1个离散点个离散点points的坐标的坐标pointsi=decas(n,P,t);t+=delt;第84页，共177页，编辑于2022年，星期二double decas(int n,double P,double t)int m,i;double*R,*Q

33、,P0;R=new doublen+1;Q=new doublen+1;for(i=0;i0;m-)/n次次Bezier曲线在点曲线在点t的值，可由两条的值，可由两条n-1次次Bezier曲线曲线/在点在点t的值通过线性组合而求得。的值通过线性组合而求得。for(i=0;im;i+)Qi=R i+t*(R i+1-R i);for(i=0;im;i+)Ri=Q i;P0=R0;delete R;delete Q;return(P0);第85页，共177页，编辑于2022年，星期二 设给出四点的坐标是设给出四点的坐标是(1，1)，(2，3)，(4，3)，(3，1)，求所确定三次，求所确定三次Be

34、zier曲线在曲线在t=1/3时的时的值值P(1/3)，算法的计算过程，算法的计算过程 Bezier几何作图算法计算过程几何作图算法计算过程 第86页，共177页，编辑于2022年，星期二分裂法分裂法思想：将原控制点集分为两个点数相同的新控制点集，思想：将原控制点集分为两个点数相同的新控制点集，分别对应原曲线的前半段和后半段，新控制点集比原控分别对应原曲线的前半段和后半段，新控制点集比原控制点集更接近直线，分裂过程继续进行，控制点集会迅制点集更接近直线，分裂过程继续进行，控制点集会迅速向曲线靠近，当满足某个允许的界限时，可依次连接速向曲线靠近，当满足某个允许的界限时，可依次连接各点的折线来表示

35、曲线各点的折线来表示曲线设控制点序列设控制点序列P0，P1，Pn确定的确定的n次次Bezier曲线是曲线是P(t)，用如下递归方式计算另一组点集：，用如下递归方式计算另一组点集：如果令如果令Pa(s)和和Pb(s)分别是以控制点序列分别是以控制点序列 和和 确定的确定的Bezier曲线，其中曲线，其中0s1，那么就有：，那么就有：第87页，共177页，编辑于2022年，星期二第88页，共177页，编辑于2022年，星期二己知四点己知四点P0，P1，P2，P3，确定了一条三次，确定了一条三次Bezier曲线曲线P(t)，可写出下式，可写出下式，第89页，共177页，编辑于2022年，星期二 分裂

36、法中的递归计算分裂法中的递归计算 第90页，共177页，编辑于2022年，星期二分裂法的示意图分裂法的示意图 第91页，共177页，编辑于2022年，星期二验证验证Bezier曲线分成前后两段的正确性。曲线分成前后两段的正确性。以以P0的系数为例，验证两端它的系数是相等的。左的系数为例，验证两端它的系数是相等的。左端显然就是端显然就是B0,3(t)=(1-t)3。再看右端。再看右端。若若0t ，这时就用前半段的表达式，观察分裂计，这时就用前半段的表达式，观察分裂计算图注意到算图注意到 中有中有1份份P0，中有中有 份，份，中是中是 份，份，中是中是 份。份。右端对右端对 t1，注意到仅，注意到

37、仅 中有中有 份的份的P0。第92页，共177页，编辑于2022年，星期二第93页，共177页，编辑于2022年，星期二第94页，共177页，编辑于2022年，星期二设设己己知知三三次次Bezier曲曲线线P(t)的的控控制制顶顶点点是是P0，P1，P2，P3，在在P()处处将将曲曲线线分分为为两两段段，求求出出前前半半段段的的控控制制顶顶点点Q0，Ql，Q2，Q3和和后后半半段段的的控控制制顶点顶点R0，R1，R2，R3。有算法如下。有算法如下void split_Bezier(Point P)Point R4,Q4;int i,j;for(i=0;i=3;i+)Ri=Pi;for(i=0;

38、i=2;i+)Qi=R0;for(j=0;j0，可以取可以取max(d(P1，P0P3)，d(P2，P0P3)为分裂停止的条件。为分裂停止的条件。第97页，共177页，编辑于2022年，星期二void new_split_Bezier(Point P)Point R4,Q4;int i,j;const double epsilon=0.01;if (maxdistance(P)epsilon)/*maxdistance(P)为求为求max(d(P1,P0P3)，d(P2,P0P3)的函数的函数*/MoveTo(P0.x,P0.y);LineTo(P3.x,P3.y);elsefor(i=0;i

39、=3;i+)Ri=Pi;for(i=0;i=2;i+)Qi=R0;for(j=0;j=2-i;j+)Rj.x=(Rj.x+Rj+1.x)/2;Rj.y=(Rj.y+Rj+1.y)/2;Q3=R0;new_split_Bezier(Q);new_split_Bezier(R);第98页，共177页，编辑于2022年，星期二double maxdistance(Point p)double s1,s2,h1,h2;s1=(p0.x-p1.x)*(p0.y+p1.y)+(p1.x-p3.x)*(p1.y+p3.y)+(p3.x-p0.x)*(p3.y+p0.y);s2=(p0.x-p2.x)*(p0

40、.y+p2.y)+(p2.x-p3.x)*(p2.y+p3.y)+(p3.x-p0.x)*(p3.y+p0.y);double distance=sqrt(p0.x-p3.x)*(p0.x-p3.x)+(p0.y-p3.y)*(p0.y-p3.y);h1=fabs(s1/distance);h2=fabs(s2/distance);return max(h1,h2);第99页，共177页，编辑于2022年，星期二五、五、Bzier曲线的升阶曲线的升阶设给定原始控制顶点设给定原始控制顶点P0，P1，Pn，定义了一条，定义了一条n次次Bzier曲线，曲线，增加一个顶点，曲线提升一阶后，仍定义同一增

41、加一个顶点，曲线提升一阶后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为条曲线的新控制顶点为则有则有对上式左边乘以对上式左边乘以 得得第100页，共177页，编辑于2022年，星期二比较等式两边比较等式两边 项的系数，得项的系数，得两边除以两边除以 ，得得式中式中第101页，共177页，编辑于2022年，星期二1 新的控制顶点新的控制顶点 是以参数值是以参数值 按分段线性按分段线性插值从原始控制多边形得出的。插值从原始控制多边形得出的。2 升阶后新的控制多边形在原始控制多边形的凸包内。升阶后新的控制多边形在原始控制多边形的凸包内。3 控制多边形更靠近曲线。控制多边形更靠近曲线。此式说明：此式说明：第102页

42、，共177页，编辑于2022年，星期二六、六、有理有理Bezier曲线曲线 第103页，共177页，编辑于2022年，星期二图中图中h0=h1=h3=1，当，当h2=0、1/2、1、2、4时曲时曲线逐渐地靠近线逐渐地靠近P2点点 第104页，共177页，编辑于2022年，星期二第五节第五节 Bezier曲面曲面若在空间给定若在空间给定(m+1)(n+1)个控制点，个控制点，Vij，i=0，1，m，j=0，1，n，令，令 上式曲面为上式曲面为mn次的次的Bezier曲面曲面 第105页，共177页，编辑于2022年，星期二二、二、Bzier曲面的性质曲面的性质(2)边界线位置(1)端点位置是曲面

43、 的四个端点B Bzierzier曲面的四条边界线曲面的四条边界线以以 、和和，为控制多边为控制多边、形的形的Bzier曲线曲线第106页，共177页，编辑于2022年，星期二(3)端点的切平面，相切相切 、三角面在三角面在 、处与曲面第107页，共177页，编辑于2022年，星期二(4)凸包性凸包性 位于其控制顶点位于其控制顶点Vij，(i=0，1，m，j=0，1，n)的凸包内。的凸包内。的形状和位置与坐标系选的形状和位置与坐标系选 择无关，仅和点择无关，仅和点Vij，(i=0，1，m，j=0，1，n)的相对位置有关。的相对位置有关。(5)几何不变性几何不变性曲面曲面曲面曲面第108页，共1

44、77页，编辑于2022年，星期二三、三、Bzier曲面示例曲面示例(1)双一次（线性）Bzier曲面 当m=n=1时，得双次（线性）Bzier曲面。给定(m+1)(n+1)=22=4个控制点：设V0,0，V0,1，V1,0，V1,1四点依次是(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，则可得P1,1(u，w)的坐标形式的参数方程为：第109页，共177页，编辑于2022年，星期二双曲抛物面(马鞍面)方程 第110页，共177页，编辑于2022年，星期二(2)双二次Bzier曲面 当m=n=2时，得到双二次Bzier曲面，给定(m+1)(n+1)=33=9个控制点，即 第11

45、1页，共177页，编辑于2022年，星期二(3)双三次Bzier曲面当m=n=3时，得到双三次Bzier曲面，给定(m+1)(n+1)=44=16个控制点 第112页，共177页，编辑于2022年，星期二四、四、Bzier曲面的拼接曲面的拼接控制网格控制网格（1）连续连续于是有于是有第113页，共177页，编辑于2022年，星期二（2）连续连续最简单的解：最简单的解：两曲面片在该边界上有公共的切平面 两边关于w的多项式次数相同 或或第114页，共177页，编辑于2022年，星期二五、五、Bzier曲面与曲面与Coons曲面的转换曲面的转换设同一个曲面片，用设同一个曲面片，用Coons曲面形式确

46、定它，又用曲面形式确定它，又用Bezier形式确定它，现在来考查、矩阵形式确定它，现在来考查、矩阵M与矩阵与矩阵B有什么关系。有什么关系。求解上式得：求解上式得：第115页，共177页，编辑于2022年，星期二第116页，共177页，编辑于2022年，星期二第117页，共177页，编辑于2022年，星期二四个角点四个角点00，0l，10和和11分别对应控制点分别对应控制点V00，V03，V30和和V33。切向量，例如。切向量，例如00w=3(V01-V00)，表明，表明00w，是沿从，是沿从V00到到V01边的方向，大小是两个位置向量差的边的方向，大小是两个位置向量差的3倍，其余倍，其余切向量

47、是类似的。切向量是类似的。V10，V00沿沿w方向的切向量之差的三倍方向的切向量之差的三倍V01,V00 沿沿u方向的切向量之差的三倍方向的切向量之差的三倍第118页，共177页，编辑于2022年，星期二第119页，共177页，编辑于2022年，星期二扭曲向量只与中间四个控制点有关系第120页，共177页，编辑于2022年，星期二双三次双三次Coons曲面与曲面与Bezier曲面间的关系曲面间的关系 第121页，共177页，编辑于2022年，星期二第六节第六节 B样条曲线样条曲线一、一、B样条曲线的定义样条曲线的定义 给定给定n+1个控制点个控制点P0，P1，Pn，它，它们所确定的们所确定的k

48、阶阶B样条曲线是：样条曲线是：其中其中Ni,k(u)递归定义如下：递归定义如下：第122页，共177页，编辑于2022年，星期二这里这里u0，u1，un+k，是一个，是一个非递减非递减的序的序列，称为节点，列，称为节点，(u0，u1，un+k)称为节称为节点向量。定义中可能出现点向量。定义中可能出现 ，这时约定为，这时约定为0。B样条曲线包含样条曲线包含n-k+2段段。第123页，共177页，编辑于2022年，星期二由由k k阶阶B B样条曲线的递归定义可以看出：样条曲线的递归定义可以看出：（1 1）对）对n+1n+1个控制点，曲线由个控制点，曲线由n+1n+1个混合函数所描述。个混合函数所描

49、述。（2 2）每个混合函数）每个混合函数 定义在定义在u取值范围的取值范围的k个子区间，以个子区间，以节点向量值节点向量值ui为起点。为起点。（3）参数）参数u的取值范围由的取值范围由n+k+1个给定节点向量值分成个给定节点向量值分成n+k个子区间。个子区间。（4）节点值记）节点值记(u0，u1，un+k)所生成的所生成的B样条曲线仅样条曲线仅定义在从节点值定义在从节点值 到节点值到节点值 的区间上。的区间上。（5）任一控制点可以影响最多）任一控制点可以影响最多k个曲线段的形状。个曲线段的形状。（6）是分段参数多项式。是分段参数多项式。在每一区间在每一区间 上上都是次数不高于都是次数不高于k-

50、1的多项式。的多项式。第124页，共177页，编辑于2022年，星期二从从B样条曲线的这个递归定义可以看出，曲线与给定的阶数样条曲线的这个递归定义可以看出，曲线与给定的阶数k及节点向量都有关系。就是说，即使及节点向量都有关系。就是说，即使k相同，选择不同的相同，选择不同的节点向量，也能得到不同的曲线。节点向量，也能得到不同的曲线。选取，选取，n=2，k=1，控制顶点是，控制顶点是P0，P1，P2，这样应选择参，这样应选择参数节点数节点n+k+1=4个，设节点向量是个，设节点向量是(u0，u1，u2，u3)，按式，按式定义，可写出三个基函数：定义，可写出三个基函数：第125页，共177页，编辑于