第1章矢量分析PPT讲稿.ppt

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1、第1章矢量分析1第1页，共62页，编辑于2022年，星期日课程内容介绍课程内容介绍电电磁磁场场和和电电磁磁兼兼容容电磁兼容原理电磁兼容原理理论基础：理论基础：电磁场的基本理论电磁场的基本理论传输线理论传输线理论天线理论天线理论2第2页，共62页，编辑于2022年，星期日电磁场理论基础部分的主要内容电磁场理论基础部分的主要内容v矢量分析矢量分析v麦克斯韦方程组和边界条件麦克斯韦方程组和边界条件v电磁场中的重要定律电磁场中的重要定律v均匀平面波的传播均匀平面波的传播v传输线传输线v天线天线3第3页，共62页，编辑于2022年，星期日电磁兼容原理部分的主要内容电磁兼容原理部分的主要内容v电磁兼容的基

2、本概念电磁兼容的基本概念v电磁骚扰的耦合（传输）途径电磁骚扰的耦合（传输）途径v电磁兼容标准与测量电磁兼容标准与测量v电磁干扰抑制技术电磁干扰抑制技术干扰抑制器件干扰抑制器件屏蔽、接地、滤波屏蔽、接地、滤波4第4页，共62页，编辑于2022年，星期日本课程的学习要求本课程的学习要求v了解麦克斯韦方程的物理意义了解麦克斯韦方程的物理意义v掌握电磁场分析的一些基本方法掌握电磁场分析的一些基本方法v了解平面电磁波和天线的基础知识了解平面电磁波和天线的基础知识v对电磁兼容技术有较全面的了解对电磁兼容技术有较全面的了解v初步掌握常见干扰问题的诊断和解决方法初步掌握常见干扰问题的诊断和解决方法v掌握接地、

3、滤波、屏蔽等关键技术掌握接地、滤波、屏蔽等关键技术v了解电磁兼容试验了解电磁兼容试验要求要求v具备进一步学习相关知识的能力具备进一步学习相关知识的能力5第5页，共62页，编辑于2022年，星期日教材及参考资料教材及参考资料教材：教材：v电磁场与电磁兼容电磁场与电磁兼容 科学出版社科学出版社参考资料：参考资料：v电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三版，谢处方、饶第三版，谢处方、饶克谨，高等教育出版社克谨，高等教育出版社v电磁兼容导论电磁兼容导论第二版，第二版，Clayton Clayton R.Paul,R.Paul,人民邮电出版社人民邮电出版社 6第6页，共62页，编辑于2022年，星期日考试成绩

4、评定考试成绩评定 本课程采取闭卷考试方法，期末总成绩包括三大部本课程采取闭卷考试方法，期末总成绩包括三大部分：分：v平时：作业，平时：作业，10%；课堂出勤，；课堂出勤，10%；实验和实践部；实验和实践部分，分，10%；v期中考试（电磁场与电磁波），期中考试（电磁场与电磁波），30%；v期末考试（电磁兼容、天线、传输线），期末考试（电磁兼容、天线、传输线），40%。7第7页，共62页，编辑于2022年，星期日第一部分第一部分 电磁场电磁场第第1 1章章 矢量分析矢量分析8第8页，共62页，编辑于2022年，星期日1.1 1.1 标量场和矢量场标量场和矢量场1.2 1.2 坐标系的转换坐标系的转

5、换1.3 1.3 矢量运算矢量运算1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理9第9页，共62页，编辑于2022年，星期日1.1 1.1 标量场和矢量场标量场和矢量场1.2 1.2 坐标系的转换坐标系的转换1.3 1.3 矢量运算矢量运算1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理10第10页，共62页，编辑于2022年，星期日l标量标量(scalar):(scalar):只具有数值大小，而没有方向的物只具有数值大小，而没有方向的物理量。如质量、密度、温度、功、能量、速率、时理量。如质量、密度、温度、功、能量、速率、时间、

6、热量、电阻等物理量。这些量之间的运算遵循间、热量、电阻等物理量。这些量之间的运算遵循一般的代数法则。一般的代数法则。l矢量（矢量（vectorvector）:指需要大小和方向才能完整表示的指需要大小和方向才能完整表示的物理量。如位移、速度、加速度、力、力矩、动量物理量。如位移、速度、加速度、力、力矩、动量等物理量。矢量也常称为向量。这些量之间的运算等物理量。矢量也常称为向量。这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。如矢量加法一般用平行四边形法则。如矢量加法一般用平行四边形法则。1.1.1 1.1.1 相关定义相关定义11第11

7、页，共62页，编辑于2022年，星期日1.1.1 1.1.1 相关定义相关定义l场（场（fieldfield）：假设有一个）：假设有一个n n维空间，如果空间的每维空间，如果空间的每一个点都具有某一特性的一个点都具有某一特性的“量量”，这种性质的，这种性质的“量量”，就被称为，就被称为“场场”。如温度场、电场、磁场、电如温度场、电场、磁场、电磁场。磁场。l标量场标量场(scalar field)(scalar field)：如果空间中每一个点所赋：如果空间中每一个点所赋予的予的“量量”为标量，此空间就为标量场。为标量，此空间就为标量场。l矢量场矢量场(vector field)(vector

8、field)：如果空间中每一个点所：如果空间中每一个点所赋予的赋予的“量量”为矢量，此空间就为矢量场。为矢量，此空间就为矢量场。12第12页，共62页，编辑于2022年，星期日1.1 1.1 标量场和矢量场标量场和矢量场1.2 1.2 坐标系的转换坐标系的转换1.3 1.3 矢量运算矢量运算1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理13第13页，共62页，编辑于2022年，星期日常用的正交曲线坐标系有常用的正交曲线坐标系有1313种：种：直角、圆柱、球、直角、圆柱、球、椭圆柱、抛物柱、抛物面、旋转抛物面、椭圆柱、抛物柱、抛物面、旋转抛物面、长旋转椭球、扁旋

9、转椭球、椭球、双球、长旋转椭球、扁旋转椭球、椭球、双球、圆锥、环圆锥、环1.2.1 1.2.1 正交曲线坐标系简介正交曲线坐标系简介14第14页，共62页，编辑于2022年，星期日 坐标线坐标线（轴）（轴）：三张正交曲面两两相交而成的曲线三张正交曲面两两相交而成的曲线 坐标原点坐标原点（基准点）（基准点）：三条坐标线的交点三条坐标线的交点 坐标变量坐标变量：三个独立的自由度，用三个独立的自由度，用e e1、e e2、e e3表示表示 坐标单位矢量坐标单位矢量：空间任一点与坐标线相切且指向空间任一点与坐标线相切且指向 变量增加方向的三个单位矢量，用变量增加方向的三个单位矢量，用a a1、a a2

10、、a a3表示表示 e e1、e e2、e e3呈右手螺旋关系呈右手螺旋关系右手系右手系e2e1e31.2.1 1.2.1 正交曲线坐标系简介正交曲线坐标系简介15第15页，共62页，编辑于2022年，星期日P(,z)：P到到z轴垂直距离轴垂直距离 ：在在xoy面内的投影面内的投影与与+x轴的夹角轴的夹角z xzyOazaaP1.2.2 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系16第16页，共62页，编辑于2022年，星期日1)1)叉乘关系叉乘关系：(a)(a)(az)1.2.2 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系1 i=j0 i j ai aj =2)2)点乘关系点乘关系：3)3)与直角坐标的换算关系

11、与直角坐标的换算关系：axyxyOax aya17第17页，共62页，编辑于2022年，星期日 注意注意：a ax、a ay、a az是常矢量，模值为是常矢量，模值为1，方向不变。而，方向不变。而a a、a a 模值为模值为1，但方向随，但方向随 变化，是变化，是 的函数，是变矢量。的函数，是变矢量。1.2.2 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系4)4)位置矢量位置矢量r r:（从原点指（从原点指向某点）向某点）直角直角：r r=a ax x x+a ay y y+a az zz 圆柱圆柱：r r=a a +a az zzxzyOazaaPr r18第18页，共62页，编辑于2022年，星期日5

12、)5)线元矢量线元矢量:（位移矢量）（位移矢量）drr+drrxyOddzazaazdPrz直角坐标系中：直角坐标系中：dl=ax dx+aydy+azdz1.2.2 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系19第19页，共62页，编辑于2022年，星期日6)6)面元矢量面元矢量：方向的定义：方向的定义：开表面开表面:与面积外沿的绕向呈与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系右手螺旋关系 闭合面闭合面:外法线方向外法线方向dSdSdS直角系中直角系中：dS S=a axdSx+a aydSy+a azdSz 其中其中 dSx=dydz，dSy=dxdz，dSz=dxdy 分别是分别是dS S在在yoz面面，xo

13、z面和面和xoy面上的投影面上的投影1.2.2 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系开表面面元方向开表面面元方向闭合面面元方向闭合面面元方向20第20页，共62页，编辑于2022年，星期日7 7）体积元：）体积元：dS dS、dSdS 、dSdSz z分别是分别是dS dS 在在圆柱侧面（圆柱侧面（面）、过轴线的半面）、过轴线的半平面（平面（面）和面）和xOyxOy面面(z(z 面面)上的上的投影。投影。直角系中直角系中圆柱系中圆柱系中1.2.2 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系d dv v=dx dy dz=dx dy dzd dv v=d d d d dz dzxyOddzazaazdPrz圆

14、柱系中：圆柱系中：dS=adS=a dSdS+a+a dSdS +a+az zdSdSz zdSdS=d d dz dz，dSdS =d=d dzdz，dSdSz z=d d d d 21第21页，共62页，编辑于2022年，星期日P(rP(r，)r r P到球心到球心距离距离1 1）叉乘关系：）叉乘关系：(a(ar r)()(a a )(a(a )00 r r与与+z+z轴的夹角轴的夹角j r r在在xoyxoy面上的投影面上的投影（）与）与+x+x轴的夹角轴的夹角1.2.3 1.2.3 球坐标系球坐标系22第22页，共62页，编辑于2022年，星期日1 i=j1 i=j0 ij 0 ij

15、a ai i a aj j=3 3）换算关系）换算关系：1.2.3 1.2.3 球坐标系球坐标系2)2)点乘关系点乘关系：a zxyara O rP23第23页，共62页，编辑于2022年，星期日注意：注意：a ar r(，）、a a(，）、a a(）均不）均不是常矢量是常矢量a zxyara O rP1.2.3 1.2.3 球坐标系球坐标系24第24页，共62页，编辑于2022年，星期日4 4）位置矢量：）位置矢量：r=ar=ar r r r5 5）线元矢量）线元矢量:zxyaraaOd d rdr1.2.3 1.2.3 球坐标系球坐标系25第25页，共62页，编辑于2022年，星期日6 6

16、）矢量面元：）矢量面元：dS=adS=ar rdSdSr r+a+a dSdS+a+a dSdS dSdS =rsinrsin d d drdr7 7）体积元：）体积元：d d =dldl1 1dldl2 2dldl3 3=r r2 2sinsin drddrd d d dSdSr r=r=r2 2sinsin d d d d d dS S =rd=rd drdr1.2.3 1.2.3 球坐标系球坐标系zxyaraaOd d rdr26第26页，共62页，编辑于2022年，星期日总结27第27页，共62页，编辑于2022年，星期日计算面积分计算面积分圆锥面在半径为圆锥面在半径为R R的球面上割

17、出的面积。的球面上割出的面积。解解：xyzOR,其中其中S S是半锥角为是半锥角为 的的例：例：1.2.3 1.2.3 球坐标系球坐标系28第28页，共62页，编辑于2022年，星期日1.1 1.1 标量场和矢量场标量场和矢量场1.2 1.2 坐标系的转换坐标系的转换1.3 1.3 矢量运算矢量运算1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理29第29页，共62页，编辑于2022年，星期日l矢量就是有方向的量，矢量包含了两种信息：幅矢量就是有方向的量，矢量包含了两种信息：幅度和方向度和方向 l矢量的表示：矢量的表示：l用黑体符号来表示用黑体符号来表示(如如

18、)或用上面带箭头的符号或用上面带箭头的符号(如如 )来表示来表示l用有向线段（带箭头的线段）来表示用有向线段（带箭头的线段）来表示:AB30第30页，共62页，编辑于2022年，星期日矢量运算矢量运算矢量的加法矢量的加法矢量的乘法矢量的乘法矢量的积分矢量的积分矢量的散度矢量的散度矢量的旋度矢量的旋度31第31页，共62页，编辑于2022年，星期日 如果矢量在直角坐标系每个坐标轴上的投影分别如果矢量在直角坐标系每个坐标轴上的投影分别为为Ax,Ay,Az，则矢量可以写成单位矢量的叠加：，则矢量可以写成单位矢量的叠加：为了能对矢量进行运算，首先必须确定坐标系为了能对矢量进行运算，首先必须确定坐标系如

19、直角坐标系：如直角坐标系：由三个相互垂直的平面构成，某一点的位置由这三由三个相互垂直的平面构成，某一点的位置由这三个平面的交叉点来描述：个平面的交叉点来描述：P=P=（x,y,xx,y,x）32第32页，共62页，编辑于2022年，星期日1.3.1 1.3.1 矢量的加法运算矢量的加法运算定义：两个矢量相加的结果为这两个矢量在各个坐标轴定义：两个矢量相加的结果为这两个矢量在各个坐标轴上对应分量的和。上对应分量的和。若在直角坐标系中若在直角坐标系中 A=Axax+Ay ay+Az az B=Bx ax+By ay+Bz az 则则 A+B=(Ax+Bx)ax+(Ay+By)ay+(Az+Bz)a

20、z33第33页，共62页，编辑于2022年，星期日 矢量也可以按平行四边形法则或三角形法则来实现相矢量也可以按平行四边形法则或三角形法则来实现相加：加：ABA+BAB-BA-BA-B-BBAAA+BB1.3.1 1.3.1 矢量的加法运算矢量的加法运算34第34页，共62页，编辑于2022年，星期日矢量的加法运算满足：矢量的加法运算满足：(1)(1)交换律：交换律：A+B=B+AA+B=B+A(2)(2)结合律：结合律：A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)(3)(3)矢量与系数矢量与系数k k相乘等于相乘等于k k与各个分量相乘的和：与各个分量相

21、乘的和：k kA=A=(k k Ax)a)ax x+(+(k k Ay)a)ay y+(+(k k Az)a)az z1.3.1 1.3.1 矢量的加法运算矢量的加法运算35第35页，共62页，编辑于2022年，星期日两个矢量的乘积有两种定义：点乘和叉乘两个矢量的乘积有两种定义：点乘和叉乘 1 1）两个矢量的点乘）两个矢量的点乘（标量积，点积标量积，点积）定义定义：A B=A B cos 其中其中 为为A、B间的夹角，间的夹角，点乘的结果为标量点乘的结果为标量直角坐标系中：直角坐标系中：A B=AxBx+AyBy+AzBz1.3.2 1.3.2 矢量的乘法运算矢量的乘法运算36第36页，共62

22、页，编辑于2022年，星期日A A 在在 B B 方向上的投影方向上的投影 AB 物理意义：物理意义：表示一个矢量与另一个矢量投影的乘表示一个矢量与另一个矢量投影的乘积积 两个矢量的点乘满足：两个矢量的点乘满足：（1 1）A A B=BB=B A A （2 2）(A+B)(A+B)C=C=A A C+BC+B C C 1.3.2 1.3.2 矢量的乘法运算矢量的乘法运算37第37页，共62页，编辑于2022年，星期日 （4 4）两个单位矢量的点乘：两个单位矢量的点乘：ai aj =1 i=j0 i j 推论：推论：A AB B=0 A AB B（可作为两矢量相互垂直的判据）（可作为两矢量相互垂

23、直的判据）（3 3）A A A=A=A 2 2直角坐标系中直角坐标系中，AA=Ax2+Ay2+Az21.3.2 1.3.2 矢量的乘法运算矢量的乘法运算38第38页，共62页，编辑于2022年，星期日2)2)两个矢量的叉乘（叉积、矢量积）两个矢量的叉乘（叉积、矢量积）定义：定义：C=ABC=AB 模：模：C=A AB B=ABsin方向方向：C CA A，C CB B；A A、B B、C C成成右手螺旋关系。右手螺旋关系。即叉积垂直于由即叉积垂直于由两个矢量构成的平面。两个矢量构成的平面。ABBsinC=A B1.3.2 1.3.2 矢量的乘法运算矢量的乘法运算39第39页，共62页，编辑于2

24、022年，星期日（1 1）A AB B=-B BA A A A(B B+C C)=A AB B+A AC C（2 2）A AA A=0 直角坐标系中，直角坐标系中，两个矢量的叉乘满足：两个矢量的叉乘满足：1.3.2 1.3.2 矢量的乘法运算矢量的乘法运算40第40页，共62页，编辑于2022年，星期日 在直角坐标系中，路径长度微分元，曲面在直角坐标系中，路径长度微分元，曲面积微分元和体积微分元为：积微分元和体积微分元为：1.3.3 1.3.3 矢量的积分运算矢量的积分运算41第41页，共62页，编辑于2022年，星期日1 1）矢量场沿曲线）矢量场沿曲线C C的积分的积分 ：乘乘积积的的积积分

25、分 该积分表示该积分表示 沿路径的切向分量沿路径的切向分量 与曲线与曲线C C的路径长度的路径长度微分微分 乘积的积分。乘积的积分。乘乘积积的的积积分分 1.3.3 1.3.3 矢量的积分运算矢量的积分运算42第42页，共62页，编辑于2022年，星期日沿闭合曲线的线积分定义为矢量场的环流量沿闭合曲线的线积分定义为矢量场的环流量:沿不闭合曲线的线积分定义为场所做的功沿不闭合曲线的线积分定义为场所做的功:P1 P21.3.3 1.3.3 矢量的积分运算矢量的积分运算 环流量的计算环流量的计算43第43页，共62页，编辑于2022年，星期日环流量的物理意义：环流量的物理意义：表明表明c包围涡旋源包

26、围涡旋源 表明表明c不包含涡旋源不包含涡旋源水流沿平行于水管轴线方向流动水流沿平行于水管轴线方向流动=0=0，无涡旋运动，无涡旋运动流体做涡旋运动流体做涡旋运动0 0，有产生涡旋的源，有产生涡旋的源例：流速场例：流速场1.3.3 1.3.3 矢量的积分运算矢量的积分运算C CC C44第44页，共62页，编辑于2022年，星期日例例1 1：求力：求力F=F=2ya ax x+xya ay y+za az z 将目标将目标N N从从P P1 1（1 1，1 1，0 0）移）移动到动到P P2 2（0 0，2 2，3 3）点所做的功）点所做的功,路径在路径在xoyxoy平面上投影的平面上投影的方程

27、：方程：。解：解：1.3.3 1.3.3 矢量的积分运算矢量的积分运算45第45页，共62页，编辑于2022年，星期日2 2）矢量场在曲面）矢量场在曲面S S上的面积分：上的面积分：其中其中,是矢量是矢量和曲面法线之间的夹角。和曲面法线之间的夹角。1.3.3 1.3.3 矢量的积分运算矢量的积分运算46第46页，共62页，编辑于2022年，星期日(1)(1)矢量场矢量场A A穿过面元穿过面元dS S的通量：的通量：(2)(2)矢量场矢量场A A穿过开曲面穿过开曲面S S的通量的通量：(3)(3)矢量场矢量场A A穿过闭合面穿过闭合面S S的通量的通量：矢量场的通量的定义矢量场的通量的定义:面积

28、分表示将矢量面积分表示将矢量F F 垂直于积分面的分量与曲面微分垂直于积分面的分量与曲面微分元的乘积进行相加。该结果给出了矢量元的乘积进行相加。该结果给出了矢量F F 通过曲面通过曲面S S 的通的通量。量。1.3.3 1.3.3 矢量的积分运算矢量的积分运算47第47页，共62页，编辑于2022年，星期日通量的物理意义通量的物理意义，以流体为例，若以流体为例，若每秒有净流量流出，封每秒有净流量流出，封闭面内有正源闭面内有正源每秒有净流量流入，封每秒有净流量流入，封闭面内有负源闭面内有负源每秒流入封闭面和流出每秒流入封闭面和流出封闭面的净流量相等，封闭面的净流量相等，封闭面内无源，或正源封闭面

29、内无源，或正源与负源相等与负源相等1.3.3 1.3.3 矢量的积分运算矢量的积分运算48第48页，共62页，编辑于2022年，星期日例例2 2：求矢量力场：求矢量力场 F=F=2xa ax x+a+ay y-a-az z 在三点（在三点（2 2，1 1，0 0），），（2 2，3 3，0 0）和（）和（2 2，3 3，4 4）所确定的平面上的通量。）所确定的平面上的通量。解：解：1.3.3 1.3.3 矢量的积分运算矢量的积分运算49第49页，共62页，编辑于2022年，星期日1 1）汉密顿算符，）汉密顿算符，又又称称矢量微分算子矢量微分算子定义定义:1.3.4 1.3.4 矢量的散度运算矢

30、量的散度运算2 2）矢量的散度运算矢量的散度运算50第50页，共62页，编辑于2022年，星期日3)3)矢量场的散度矢量场的散度 实质上，矢量场的散度表示从一个点出发的场实质上，矢量场的散度表示从一个点出发的场的通量，它指出了在那个点处的合成源。的通量，它指出了在那个点处的合成源。矢量场的散度是指当体积趋向于零时，每单位矢量场的散度是指当体积趋向于零时，每单位体积内的矢量向外的净通量。体积内的矢量向外的净通量。散度是标量。散度是标量。1.3.4 1.3.4 矢量的散度运算矢量的散度运算51第51页，共62页，编辑于2022年，星期日 散度定理表明：矢量场通过任意闭合面向外的总散度定理表明：矢量

31、场通过任意闭合面向外的总通量等于矢量场的散度在闭合面所包围的体积内的积通量等于矢量场的散度在闭合面所包围的体积内的积分。分。这个结论使体积分和面积分能相互转化。这个结论使体积分和面积分能相互转化。4 4）散度定理）散度定理 1.3.4 1.3.4 矢量的散度运算矢量的散度运算52第52页，共62页，编辑于2022年，星期日1.3.5 1.3.5 矢量的旋度运算矢量的旋度运算1 1）矢量的旋度运算矢量的旋度运算53第53页，共62页，编辑于2022年，星期日2 2）矢量场的旋度）矢量场的旋度 当平面面积当平面面积S S收缩为零时，矢量场沿包围不闭合面收缩为零时，矢量场沿包围不闭合面S S的边界线

32、的边界线C C的线积分。的线积分。旋度是矢量。旋度是矢量。实质上，旋度是矢量场关于一个点的合成环流量。实质上，旋度是矢量场关于一个点的合成环流量。旋度表征了矢量在三个相互正交的平面内的环流量。旋度表征了矢量在三个相互正交的平面内的环流量。1.3.5 1.3.5 矢量的旋度运算矢量的旋度运算54第54页，共62页，编辑于2022年，星期日 斯托克斯定理表明：矢量场沿任意闭合回路斯托克斯定理表明：矢量场沿任意闭合回路C C的环的环流量可由矢量场的旋度在由此闭合回路所包围的开曲面流量可由矢量场的旋度在由此闭合回路所包围的开曲面上的面积分来获得。上的面积分来获得。这个结论使得面积分和线积分之这个结论使

33、得面积分和线积分之间能相互转换。间能相互转换。3 3）斯托克斯定理）斯托克斯定理 旋度的重要性质：旋度的重要性质：1.3.5 1.3.5 矢量的旋度运算矢量的旋度运算55第55页，共62页，编辑于2022年，星期日1.1 1.1 标量场和矢量场标量场和矢量场1.2 1.2 坐标系的转换坐标系的转换1.31.3 矢量运算矢量运算1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理56第56页，共62页，编辑于2022年，星期日 设有一个标量场设有一个标量场 从场中某点位移到邻近的另从场中某点位移到邻近的另一点，此标量值从一点，此标量值从 变化为变化为 ，在直角坐标系，

34、在直角坐标系内增量为：内增量为：梯度定义为：梯度定义为：1.4.1 1.4.1 梯度的定义梯度的定义57第57页，共62页，编辑于2022年，星期日梯度矢量重要性质：梯度矢量重要性质：梯度为与等值面相垂直的矢量，等值面：由梯度为与等值面相垂直的矢量，等值面：由u u值值相同的点构成。相同的点构成。1.4.2 1.4.2 梯度的意义梯度的意义58第58页，共62页，编辑于2022年，星期日1.1 1.1 标量场和矢量场标量场和矢量场1.2 1.2 坐标系的转换坐标系的转换1.31.3 矢量运算矢量运算1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理59第59页，共

35、62页，编辑于2022年，星期日 一个矢量场只可能有两种源一个矢量场只可能有两种源旋度源和散度源，旋度源和散度源，此外，再无其它类型的源。若在给定边界空间中，一此外，再无其它类型的源。若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场的解是个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场的解是唯一确定的。唯一确定的。1.5.1 1.5.1 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理60第60页，共62页，编辑于2022年，星期日1.5.2 1.5.2 矢量场和源的关系矢量场和源的关系无旋场无旋场：一个矢量场：一个矢量场F F，对任意闭合路径都有，对任意闭合路径都有则称其为无旋场则称其为无旋场F=0无旋场对应着一个标量场无旋场对应着一个标量场 fF=f无散场无散场：一个矢量场一个矢量场F F，对任意闭合面都有，对任意闭合面都有则称其为无散场则称其为无散场F=0无散场对应着一个矢量场无散场对应着一个矢量场AF=A61第61页，共62页，编辑于2022年，星期日源是场的因，场同源一起出现。源是场的因，场同源一起出现。若若F=0，则则F0散度源（通量源）散度源（通量源）若若F=0，则则F0旋度源（涡旋源）旋度源（涡旋源）例：例：判断矢量场的性质判断矢量场的性质1.5.2 1.5.2 矢量场和源的关系矢量场和源的关系62第62页，共62页，编辑于2022年，星期日