第17课 二次型及其标准形PPT讲稿.ppt

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1、第第17课课 二次型及其二次型及其标准形标准形第1页，共41页，编辑于2022年，星期日5.5 二次型其次标准形二次型其次标准形引言引言判别下面方程的几何图形是什么？判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换作旋转变换代入代入(1)左边，化为：左边，化为：见下图见下图第2页，共41页，编辑于2022年，星期日第3页，共41页，编辑于2022年，星期日称为称为n维维(或或n元元)的的二次型二次型.定义定义 含有含有n个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数关于二次型的讨论永远关于二次型的讨论永远约定约定约定约定在实数范围内进行！在实数范围内进行！第4页，共41页，编辑于2022年，星期日例如：例

2、如：都是二次型。都是二次型。不是二次型。不是二次型。只含有平方项只含有平方项的二次型的二次型称为称为二次型的标准形二次型的标准形。为二次型的标准形。为二次型的标准形。第5页，共41页，编辑于2022年，星期日取取则则则（则（1）式可以表示为）式可以表示为二次型用和号表示二次型用和号表示第6页，共41页，编辑于2022年，星期日第7页，共41页，编辑于2022年，星期日令令则则其中其中 为对称为对称矩阵。矩阵。二次型的矩阵表示（重点）二次型的矩阵表示（重点）注注1、对称矩阵、对称矩阵A的写法：的写法：A一定是一定是方阵方阵。2、其对角线上的元素、其对角线上的元素恰好是恰好是的系数。的系数。3、的

3、系数的一半分给的系数的一半分给可保证可保证第8页，共41页，编辑于2022年，星期日例如例如：二次型：二次型注：二次型注：二次型 对称矩阵对称矩阵把对称矩阵把对称矩阵 称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵也把二次型也把二次型 称为对称矩阵称为对称矩阵 的二次型的二次型对称矩阵对称矩阵 的秩称为的秩称为二次型二次型 的秩的秩二次型二次型定义定义2：第9页，共41页，编辑于2022年，星期日例例1写出下面二次型写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求的矩阵表示，并求 f 的秩的秩r(f)。解解问问：在二次型在二次型 中中,如不限制如不限制 A对称对称,A唯一吗唯一吗?第10页，共41页，编辑于2022年

4、，星期日定义定义只含平方项的二次型只含平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或法式或法式)。平方项系数只在平方项系数只在 中取值的标准形中取值的标准形 (注注注注：这里规范形要求系数为：这里规范形要求系数为1的项排的项排在前面，其次排系数为在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。的项。与书上略有不同。)称为二次型的称为二次型的规范形规范形。第11页，共41页，编辑于2022年，星期日目的：目的：对给定的二次型对给定的二次型找可逆的线性变换找可逆的线性变换(坐标变换坐标变换)：代入代入(1)式，使之成为标准形式，使之成为标准形称上面过程为称上面过程为化二次型为标准形化二次型为

5、标准形。第12页，共41页，编辑于2022年，星期日第六章第六章二次型及其标准型二次型及其标准型 6.3 6.3 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型化二次型为标准型化二次型为标准型6.1 6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示第13页，共41页，编辑于2022年，星期日简记简记设设若若一、一、非退化线性变换（可逆线性变换）非退化线性变换（可逆线性变换）为为可逆线性变换。可逆线性变换。当当C 是可逆矩阵时是可逆矩阵时,称称第14页，共41页，编辑于2022年，星

6、期日对于二次型，我们讨论的对于二次型，我们讨论的主要问题主要问题是：是：寻求寻求可逆的可逆的线性变换，使二次型只含平方项。线性变换，使二次型只含平方项。即二次型即二次型经过可逆线性变换经过可逆线性变换使得使得为什么研究可逆为什么研究可逆的变换？的变换？即经过可逆线性变换即经过可逆线性变换可化为可化为第15页，共41页，编辑于2022年，星期日矩阵的合同：矩阵的合同：证明证明定理定理 设设A为对称矩阵，且为对称矩阵，且A与与B合同，则合同，则注：合同仍然是一种等价关系注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：矩阵合同的性质：(1)反身性反身性(2)对称性对称性(3)传递性传递性记作记作第16页，

7、共41页，编辑于2022年，星期日二二.化二次型为标准形化二次型为标准形1.正交变换法正交变换法（重点）（重点）2.配方法配方法目标：目标：问题转化为：问题转化为：第17页，共41页，编辑于2022年，星期日回忆：回忆：此结论用于二次型此结论用于二次型所以，所以，第18页，共41页，编辑于2022年，星期日主轴定理主轴定理(P191 定理定理6.2.1)第19页，共41页，编辑于2022年，星期日1.正交变换法正交变换法对二次型对二次型存在正交变换存在正交变换 ，使，使 其中其中为为 的特征值。的特征值。其中其中P 的列向量是的列向量是A的相应于特征值的的相应于特征值的n个两两正交个两两正交

8、的单位特征向量。的单位特征向量。定理：定理：第20页，共41页，编辑于2022年，星期日例例1 1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解解（1 1）写出二次型）写出二次型 f 的矩阵的矩阵(2)(2)求出求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量第21页，共41页，编辑于2022年，星期日而它们所对应的标准正交的特征向量为而它们所对应的标准正交的特征向量为(3)(3)写出正交变换写出正交变换取正交矩阵取正交矩阵则得所欲求的正交变换则得所欲求的正交变换即即第22页，共41页，编辑于202

9、2年，星期日（4 4）写出写出的标准型。的标准型。易知经上述正交变换易知经上述正交变换后所得二次型的标准型后所得二次型的标准型第23页，共41页，编辑于2022年，星期日2.2.解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为第24页，共41页，编辑于2022年，星期日3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：第25页，共41页，编辑于2022年，星期日作正交变换作正交变换 X=QY，则，则注：正交变换化为标准形的优点：注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不变。（曲面）的几何形状不变。第26页，共41页，编辑于2022年，星期日2.配方法配

10、方法 同时含有平方项同时含有平方项与交叉项与交叉项的情形。的情形。例例例例2 2 2 2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：解：第27页，共41页，编辑于2022年，星期日令令二次型的标准形为二次型的标准形为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为即即第28页，共41页，编辑于2022年，星期日为标准形为标准形,并求出所作的可逆线性变换并求出所作的可逆线性变换.例例3 3 用配方法化二次型用配方法化二次型解解 令令 只含交叉项只含交叉项的情形。的情形。第29页，共41页，编辑于2022年，星期

11、日即即令令则二次型的标准形为则二次型的标准形为则二次型的标准形为则二次型的标准形为第30页，共41页，编辑于2022年，星期日所用的可逆线性变换为所用的可逆线性变换为第31页，共41页，编辑于2022年，星期日思考题：思考题：1、(1)合同且相似；合同且相似；(2)合同但不相似；合同但不相似；(3)不合同但相似；不合同但相似；(4)不合同且不相似；不合同且不相似；第32页，共41页，编辑于2022年，星期日以上说明：以上说明：注意：注意：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.第33页，共41页，编辑于2022年，星期日定理定理定理定理 二次型

12、必可化为规范形。二次型必可化为规范形。证证 设二次型设二次型 f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为经正交变换化为:(思考为什么一定可化为上面形式？思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换再做一次可逆的线性变换则则 f 化为化为思考：在可互化的二次型中最思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什同等价类中最简单的矩阵是什么？么？第34页，共41页，编辑于2022年，星期日思考并回答思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关二次型的标准形中平

13、方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？(3)设设CTAC=D(C可逆，可逆，D是对角阵是对角阵)，D的对角元是的对角元是A的特征值吗？如果的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？是正交矩阵又如何？(4)设设4阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的二次型的规范形是什么？的规范形是什么？第35页，共41页，编辑于2022年，星期日例例4解解解解化为标准形。化为标准形。求求求求A A的特征值的特征值的特征值的特征值求二次型的矩阵求二次型的矩阵求二次型的矩阵求二次型的矩阵第36页，共41页，编辑

14、于2022年，星期日求求求求A A的规范正交的特征向量的规范正交的特征向量的规范正交的特征向量的规范正交的特征向量单位化单位化第37页，共41页，编辑于2022年，星期日得正交的基础解系得正交的基础解系单位化单位化求正交变换矩阵求正交变换矩阵求正交变换矩阵求正交变换矩阵第38页，共41页，编辑于2022年，星期日写出二次型的标准形写出二次型的标准形写出二次型的标准形写出二次型的标准形用正交变换用正交变换 ，二次型，二次型 f 化为标准形为化为标准形为第39页，共41页，编辑于2022年，星期日例例5设二次型设二次型经正交变换经正交变换 化为标准形化为标准形求求(1)a,b;(2)正交变换矩阵正交变换矩阵 Q.解解解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为由题意由题意由相似矩阵的性质得由相似矩阵的性质得 ，从而，从而第40页，共41页，编辑于2022年，星期日解得解得A与与D有相同的特征值，分别为有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量求得它们对应的特征向量(正交正交)为为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵第41页，共41页，编辑于2022年，星期日