第1章函数极限与连续PPT讲稿.ppt

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1、第第1章章 函数极限函数极限与连续与连续第1页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1 函数的概念与简单性质函数的概念与简单性质v1.1.1 集合、常量与集合、常量与变量量v1.1.2 函数的概念函数的概念v1.1.3 函数的函数的简单性性质v1.1.4 反函数和复合函数反函数和复合函数v1.1.5 初等函数初等函数第2页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1.1 集合、常量与变量集合、常量与变量(1)v1.集合具有某种特定性质事物的总体叫做集合.组成这个集合的事物称为该集合的元素.一般用大写字母A、B、C、表示集合，用小写字母a、b、c、表示集合中的元素.有限集；无限集.;空集，空集用

2、 表示.常见的数集有：全体自然数的集合记作N、全体整数的集合记作Z、全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R.：，集合的运算主要有：v集合的并：v集合的交：集合运算满足交换律、结合律、分配律等一系列性质.第3页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1.1 集合、常量与变量集合、常量与变量(2)v2.区间与邻域区间:开区间(a,b);闭区间a,b;半开区间a,b);邻域:以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记为 v3.常量与常量与变量量在任何一个生产过程或科学实验过程中，常常会遇到各种不同的量，其中有些量在过程中不起变化，也就是保持一定数值的量，这种量叫做常量；还有一些量在过程中是变化着的

3、，也就是可以取不同数值的量，这种量叫做变量图1.1第4页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1.2 函数的概念函数的概念v定定义设和是两个变量，是一个给定的数集.如果对于每一个，变量按照一定的法则(或关系)总有唯一确定的数值与它对应，则称是的函数，记为.称为自变量，称为因变量(或函数)，数集称为这个函数的定义域，而因变量的变化范围称为函数的值域.函数中表示对应关系的记号也可以用 、等其他字母表示，此时函数记作 、等.分段函数，即用几个式子分段来表示一个函数.第5页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1.3 函数的简单性质（函数的简单性质（1）v1.单调性单调增加和单调减少的函数统称为单

4、调函数.从图形上看，单调增加函数表现为曲线从左到右上升，单调减少函数表现为曲线从左到右下降.图1.5 图1.6 图1.7 图1.8 第6页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1.3 函数的简单性质（函数的简单性质（2）v2.奇偶性奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点是对称的，且对于任何xD，恒有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数；如果恒有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数.v图1.9第7页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1.3 函数的简单性质（函数的简单性质（3）v3.周期性周期性通常我们所说的周期指的是最小正周期.v4.有界性有界性上界;下界

5、第8页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1.4 反函数和复合函数反函数和复合函数v1.反函数反函数v2.复合函数复合函数v将一个函数代入另一将一个函数代入另一个函数而得到的函数个函数而得到的函数称称为上述两个函数的上述两个函数的复合函数复合函数.第9页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1.5 初等函数初等函数(1)v1.幂函数函数v2.指数函数指数函数v3.对数函数数函数:指数函数的反函数是指数函数的反函数是对数数函数，函数，记为 (a 是常数且是常数且a0,a1).第10页，共25页，编辑于2022年，星期日1.1.5 初等函数初等函数(2)v 4.三角函数三角函数三角函数在数学

6、和其他学科中有着广泛的应用.自然界中有很多现象都可用三角函数来描述，如简谐振动、交流电等.三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，它们都是周期函数.v5.反三角函数反三角函数反三角函数是三角函数的反函数.三角函数 的反函数依次为反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数.其图形分别如图1.20、图1.21、图1.22和图1.23所示.v6.初等函数初等函数由上述五类基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和函数复合步骤构成的函数，称为初等函数.v7.建立函数关系建立函数关系第11页，共25页，编辑于2022年，星期日1.2 数列的极限数列的极限v1.2.1 数列

7、极限的定数列极限的定义v1.2.2 收收敛数列极限的性数列极限的性质v1.2.3 数列极限的存在准数列极限的存在准则v1.2.4 数列极限的四数列极限的四则运算法运算法则第12页，共25页，编辑于2022年，星期日1.2.1 数列极限的定义数列极限的定义v设有数列有数列 ，如果，如果对于任意于任意给定的定的正数正数 (无无论它多么小它多么小)，总存在一存在一个正整数个正整数N，使得当，使得当时nN，不等式，不等式 恒成立，恒成立，则称常数称常数a为数列数列 的极限，的极限，或称数列或称数列 收收敛于于a，记为v 或或v几何解几何解释第13页，共25页，编辑于2022年，星期日1.2.2 收敛数

8、列极限的性质收敛数列极限的性质v定理定理1(收收敛数列的有界性数列的有界性)如果数列如果数列 收收敛，则数列数列 一定有界一定有界.v定理定理2 收收敛数列数列 的极限是唯一的的极限是唯一的.v推推论(1)如果数列如果数列 无界，无界，则它一它一定定发散散.v推推论(2)如果在两个不同的点附近都如果在两个不同的点附近都密集的分布着密集的分布着 的无的无穷多个点，多个点，则该数列一定数列一定发散散.第14页，共25页，编辑于2022年，星期日1.2.3 数列极限的存在准则数列极限的存在准则v定理定理3(单调有界准有界准则)单调有界数列必有界数列必有极限有极限.v定理定理4(夹逼准逼准则)如果数列

9、如果数列 、和和 满足下列条件足下列条件.v(1)v(2)v则数列数列 的极限存在，且的极限存在，且 第15页，共25页，编辑于2022年，星期日1.2.4 数列极限的四则运算法则数列极限的四则运算法则v定理定理5(数列极限的四数列极限的四则运算法运算法则)若若 v ，则v(1)v(2)v(3)第16页，共25页，编辑于2022年，星期日1.3 函数的极限函数的极限v1.3.1 x时函数的极限函数的极限v1.3.2 xx0时函数的极限函数的极限v1.3.3 函数极限的运算法函数极限的运算法则定理2(函数极限的四则运算法则)定理3(复合函数的极限运算法则)v1.3.4 两个重要极限两个重要极限定

10、理4(函数极限的夹逼准则)第17页，共25页，编辑于2022年，星期日1.3.1 x时函数的极限时函数的极限v定定义1设函数函数f(x)当当 时有定有定义，如果如果对于任意于任意给定的正数定的正数 (无无论它有它有多么小多么小)，总存在一个正数存在一个正数X，使得，使得对满足不等式足不等式 的一切的一切x，对应的函数的函数值f(x)都都满足足 ，则常数常数A称称为函数函数f(x)当当 时的极限，的极限，记作作v或或 v 第18页，共25页，编辑于2022年，星期日1.3.2 xx0时函数的极限时函数的极限v定定义2v设函数函数f(x)在点在点 的某一去心的某一去心邻域域内有定内有定义，如果，如

11、果对于任意于任意给定的正数定的正数 (无无论它多么小它多么小)，总存在正数存在正数 ，使，使得得对于于满足不等式足不等式 的所有的所有x，对应的函数的函数值f(x)都都满足不等足不等式式 ，则常数常数A称称为函数函数f(x)当当 时的极限，的极限，记作作 或或 .第19页，共25页，编辑于2022年，星期日1.4 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量v1.4.1 无无穷小量小量定义1 定理1 定理2 定义2 定理3 定理4 v1.4.2 无无穷大量大量定义3 定理5 第20页，共25页，编辑于2022年，星期日1.5 函数的连续性函数的连续性v1.5.1 函数的函数的连续性性v1.5.2 函数

12、的函数的间断点断点v1.5.3 初等函数的初等函数的连续性及性及连续函数的函数的性性质v1.5.4 闭区区间上上连续函数的性函数的性质第21页，共25页，编辑于2022年，星期日1.5.1 函数的连续性函数的连续性v定定义1设函数函数 在点在点 的的某一某一邻域内有定域内有定义，如果，如果 ，则称函数在点称函数在点 处连续.v定定义2 设函数函数 在点的某一在点的某一邻域内有定域内有定义，如果，如果 ，则称函数称函数 在点在点 处连续.v定定义3若若 ，则称函数称函数 在点在点 处左左连续；若；若 ，则称函数称函数 在点在点 处右右连续.第22页，共25页，编辑于2022年，星期日1.5.2

13、函数的间断点函数的间断点v设函数函数 在点在点 的某的某一去心一去心邻域内有定域内有定义，如果函数，如果函数f(x)在点在点 不不连续，则 称是函数称是函数f(x)一个一个间断点断点.v无无穷间断点断点 v可去可去间断点断点 v第一第一类间断点断点 v第二第二类间断点断点 第23页，共25页，编辑于2022年，星期日1.5.3 初等函数的连续性及连续函数的性初等函数的连续性及连续函数的性质质v定理定理1设函数函数f(x)和和g(x)在在 处连续，则 、在在 连续.v定理定理2设函数函数 在点在点 连续，且且 ，而函数，而函数 在在 处连续，则复合函数复合函数 在在 处也也连续.v定理定理3若函

14、数若函数y=f(x)在在 区区间上上连续且且单调增加增加(减少减少)，则其反函数其反函数 也在也在对应的区的区间 上上连续且且单调增加增加(减少减少).第24页，共25页，编辑于2022年，星期日1.5.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质v定理定理4(最大最大值最小最小值定理定理)若函数若函数f(x)在在闭区区间 上上连续，则f(x)在在 上一定能取得最大上一定能取得最大值和最小和最小值.即存在即存在 ，使得，使得v定理定理5(有界性定理有界性定理)闭区区间上的上的连续函数在函数在该区区间上一定有界上一定有界.v定理定理6(介介值定理定理)设函数函数f(x)在在闭区区间 上上连续，f(a)=A，f(b)=B且且 ，则对介于介于A与与B之之间的任何的任何一个数一个数C，至少存在一点，至少存在一点 ，使得，使得第25页，共25页，编辑于2022年，星期日