曲线与曲面造型基础.ppt

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1、曲线和曲面造型基础第一张，PPT共一百页，创作于2022年6月2.1 微分几何基础微分几何基础1 1 1 1、矢量代数、矢量代数、矢量代数、矢量代数空间三维点空间三维点空间三维点空间三维点P P（x x1 1,y y1 1,z z1 1)的矢量表示：的矢量表示：的矢量表示：的矢量表示：2.1 2.1 微分几何基础微分几何基础第二张，PPT共一百页，创作于2022年6月矢量加法矢量加法矢量加法矢量加法：矢量点乘：矢量点乘：矢量点乘：矢量点乘：点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第二个矢量为单位点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第二个矢量为单位矢量）的投影长度。矢

2、量）的投影长度。2.1 微分几何基础微分几何基础第三张，PPT共一百页，创作于2022年6月矢量叉乘：矢量叉乘：2.1 微分几何基础微分几何基础叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量a a和和b b所构成的平行四所构成的平行四边形的面积。边形的面积。第四张，PPT共一百页，创作于2022年6月2 2、曲线几何、曲线几何 曲线的表示方法：曲线的表示方法：隐式曲线：隐式曲线：显式曲线：显式曲线：参数曲线：参数曲线：2.1 微分几何基础微分几何基础第五张，PPT共一百页，创作于2022年6月隐式：隐式：隐式：隐式：显式：显式：显式：显式：参数参数参数参数:2.1

3、 微分几何基础微分几何基础第六张，PPT共一百页，创作于2022年6月有理多项式参数形式：有理多项式参数形式：以直线以直线PQPQ与与x x轴的夹角轴的夹角为参数：为参数：2.1 微分几何基础微分几何基础第七张，PPT共一百页，创作于2022年6月 隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；而隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；而隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；而隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。2.1

4、 微分几何基础微分几何基础第八张，PPT共一百页，创作于2022年6月参数曲线：参数曲线：容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。推而广之，曲面是指参数曲面。推而广之，曲面是指参数曲面。参数曲线的矢量表示：参数曲线的矢量表示：2.1 微分几何基础微分几何基础第九张，PPT共一百页，创作于2022年6月曲线的性质：曲线的性质：速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。速率、单位切矢、曲率、

5、主法矢、曲率半径。2.1 微分几何基础微分几何基础第十张，PPT共一百页，创作于2022年6月速率：速率：2.1 微分几何基础微分几何基础第十一张，PPT共一百页，创作于2022年6月单位切矢：单位切矢：不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。弧长弧长：单位切矢：单位切矢：链式法则：链式法则：2.1 微分几何基础微分几何基础第十二张，PPT共一百页，创作于2022年6月曲率：曲率：曲率的定义曲率的定义：链式法则后：链式法则后：二维显式曲线二维显式曲线 y=y(

6、x)的曲率：的曲率：2.1 微分几何基础微分几何基础第十三张，PPT共一百页，创作于2022年6月法矢：法矢：主法矢的定义主法矢的定义：副法矢：副法矢：切矢、主法矢和副法矢定义了一个切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。坐标系。2.1 微分几何基础微分几何基础第十四张，PPT共一百页，创作于2022年6月曲率半径：曲率半径：定义为密切圆的半径，即定义为密切圆的半径，即定义为密切圆的半径，即定义为密切圆的半径，即2.1 微分几何基础微分几何基础第十五张，PPT共一百页，创作于2022年6月例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。2.1 微分几何基础微分几何基础第十六张

7、，PPT共一百页，创作于2022年6月空间曲线的挠率：空间曲线的挠率：空间曲线空间曲线空间曲线空间曲线Serret-FrenetSerret-Frenet公式公式公式公式：2.1 微分几何基础微分几何基础第十七张，PPT共一百页，创作于2022年6月3 3、曲面几何、曲面几何曲面表示的分类：曲面表示的分类：曲面表示的分类：曲面表示的分类：隐式曲面：隐式曲面：显式（非参）曲面：显式（非参）曲面：参数曲面：参数曲面：或或2.1 微分几何基础微分几何基础第十八张，PPT共一百页，创作于2022年6月参数域上的二维曲线：参数域上的二维曲线：映射为空间中曲面上的曲线：映射为空间中曲面上的曲线：注意等参线

8、的定义。注意等参线的定义。2.1 微分几何基础微分几何基础第十九张，PPT共一百页，创作于2022年6月曲面的切矢：曲面的切矢：2.1 微分几何基础微分几何基础第二十张，PPT共一百页，创作于2022年6月曲面的法矢：2.1 微分几何基础微分几何基础第二十一张，PPT共一百页，创作于2022年6月2.1 微分几何基础微分几何基础第二十二张，PPT共一百页，创作于2022年6月第一基本式矩阵：切矢的模：切矢的模：切矢的模：切矢的模：切矢：切矢：切矢：切矢：第一基本式矩阵：第一基本式矩阵：第一基本式矩阵：第一基本式矩阵：2.1 微分几何基础微分几何基础第二十三张，PPT共一百页，创作于2022年6

9、月应用：计算曲面的面积应用：计算曲面的面积应用：计算曲面的面积应用：计算曲面的面积单位切矢：单位切矢：单位切矢：单位切矢：2.1 微分几何基础微分几何基础第二十四张，PPT共一百页，创作于2022年6月2.1 微分几何基础微分几何基础第二十五张，PPT共一百页，创作于2022年6月第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：点乘单位法氏点乘单位法氏点乘单位法氏点乘单位法氏 n n，有，有，有，有第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：2.1 微分几何基础微分几何基础第二十六张，PPT共一百页，创作于2022年6月法曲率：点乘单位法氏点乘单位法氏点乘单

10、位法氏点乘单位法氏 n n，有，有，有，有法曲率：法曲率：法曲率：法曲率：2.1 微分几何基础微分几何基础第二十七张，PPT共一百页，创作于2022年6月法曲率：2.1 微分几何基础微分几何基础第二十八张，PPT共一百页，创作于2022年6月主曲率：2.1 微分几何基础微分几何基础第二十九张，PPT共一百页，创作于2022年6月 2.1 微分几何基础微分几何基础第三十张，PPT共一百页，创作于2022年6月2.2 图形变换图形变换 在在CAD/CAM系统中，几何图形是最基本的元素，无论采系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何图形用何种几何建模方

11、法表达设计对象，最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此，从原理上讲，图形的几何因此，从原理上讲，图形的几何变

12、换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标变换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标点的坐标点的坐标变换。变换。2.2 2.2 图形变换图形变换第三十一张，PPT共一百页，创作于2022年6月齐次坐标的概念：齐次坐标的概念：齐次坐标的概念：齐次坐标的概念：2.2 图形变换图形变换第三十二张，PPT共一百页，创作于2022年6月齐次坐标下的图形变换：齐次坐标下的图形变换：齐次坐标下的图形变换：齐次坐标下的图形变换：2.2 图形变换图形变换第三十三张，PPT共一百页，创作于2022年6月1、二维变换、二维变换基本变换基本变换基本变换基本变换 比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映

13、射变换）、旋转比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。变换、平移交换、错切变换、透视变换等。变换矩阵：变换矩阵：2.2 图形变换图形变换第三十四张，PPT共一百页，创作于2022年6月 2.2 图形变换图形变换第三十五张，PPT共一百页，创作于2022年6月 2.2 图形变换图形变换第三十六张，PPT共一百页，创作于2022年6月 2.2 图形变换图形变换第三十七张，PPT共一百页，创作于2022年6月2 2、三维变换、三维变换基本变换基本变换基本变换基本变换 比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称变换比例变换（缩小与放大）、平移变换

14、、旋转变换、对称变换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等 。变换矩阵：变换矩阵：2.2 图形变换图形变换第三十八张，PPT共一百页，创作于2022年6月基本变换基本变换 2.2 图形变换图形变换第三十九张，PPT共一百页，创作于2022年6月 2.2 图形变换图形变换第四十张，PPT共一百页，创作于2022年6月组合变换组合变换 2.2 图形变换图形变换第四十一张，PPT共一百页，创作于2022年6月 2.2 图形变换图形变换第四十二张，PPT共一百页，创作于2022年6月 2.2 图形变换图形变换第四十三张，PPT共一百页，创作于202

15、2年6月B B zierzier曲线的定义曲线的定义为曲线的控制顶点为曲线的控制顶点为曲线的控制顶点为曲线的控制顶点BernsteinBernsteinBernsteinBernstein基函数基函数基函数基函数2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面1、BzierBzier曲线曲线曲线曲线 2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第四十四张，PPT共一百页，创作于2022年6月Bernstein基函数的性质基函数的性质uu 非负性非负性非负性非负性uu 权性权性权性权性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性端点处：端点处：2.3

16、 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第四十五张，PPT共一百页，创作于2022年6月uu 非负性非负性非负性非负性uu 权性权性权性权性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性证明：证明：证明：证明：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第四十六张，PPT共一百页，创作于2022年6月uu 非负性非负性非负性非负性uu 规范性规范性规范性规范性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第四十七张，PPT共一百页，创作于2022年6月

17、uu 非负性非负性非负性非负性uu 规范性规范性规范性规范性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性证明：证明：证明：证明：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第四十八张，PPT共一百页，创作于2022年6月uu 非负性非负性非负性非负性uu 规范性规范性规范性规范性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性证明：证明：证明：证明：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第四十九张，PPT共一百页，创作于2022年6月uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何

18、不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性通过首、末控制顶点通过首、末控制顶点2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十张，PPT共一百页，创作于2022年6月uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性因为因为所以所以类似地有：类似地有：跟首末各一条边有跟首末各一条边有关关跟首末各两条边有

19、跟首末各两条边有关关2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十一张，PPT共一百页，创作于2022年6月uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地确定。原因可曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地确定。原因可曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地确定。原因可曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地确定。原因可以从基函数的权性得到解释。

20、以从基函数的权性得到解释。以从基函数的权性得到解释。以从基函数的权性得到解释。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十二张，PPT共一百页，创作于2022年6月uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性由基函数的对称性决定。由基函数的对称性决定。只要控制顶点顺序颠倒一下，只要控制顶点顺序颠倒一下，即可实现对曲线的反向。即可实现对曲线的反向。因为颠倒控制多边形顶点的顺序，即颠倒控制多边形顶点的顺序，即则新曲线为：则新

21、曲线为：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十三张，PPT共一百页，创作于2022年6月uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性。保凸性。保凸性。保凸性。BzierBzier曲线的实质是一系列绝对矢量的曲线的实质是一系列绝对矢量的凸组合（加权组合）。此性质便于确定凸组合（加权组合）。此性质便于确定Bzier Bzier 曲线的范围。曲线的范围。凸包示意图凸包示意图2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十四张，PPT共一百页，

22、创作于2022年6月uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性 BzierBzier曲线比其控制多边形更光滑，拐曲线比其控制多边形更光滑，拐折减少。折减少。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十五张，PPT共一百页，创作于2022年6月uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性

23、变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性 是变差减小性的推论。是变差减小性的推论。是变差减小性的推论。是变差减小性的推论。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十六张，PPT共一百页，创作于2022年6月1 1、几何作图法几何作图法几何作图法几何作图法2 2 2 2、递归分割算法、递归分割算法、递归分割算法、递归分割算法Bzier曲线的递推定义曲线的递推定义2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十七张，PPT共一百页，创作于2022年6月用递推算法求出曲线上的一点用递推算法求出曲线上的一点用递推算法求出曲线上的一点用递推算法求出曲线上的一点p(tp(t*)，该点把曲线分为两段，该点把曲

24、线分为两段，该点把曲线分为两段，该点把曲线分为两段BzierBzier曲曲曲曲线，它们的控制顶点分别如图所示。线，它们的控制顶点分别如图所示。线，它们的控制顶点分别如图所示。线，它们的控制顶点分别如图所示。Bzier曲线的分割曲线的分割2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十八张，PPT共一百页，创作于2022年6月张量积张量积Bzier曲面曲面给定空间点阵给定空间点阵给定空间点阵给定空间点阵b bi,ji,j,i i=0,1,=0,1,mm;j j=0,1,=0,1,n n。构造张量积曲面：。构造张量积曲面：。构造张量积曲面：。构造张量积曲面：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第五十

25、九张，PPT共一百页，创作于2022年6月B-B-样条曲线示例。样条曲线示例。三次均匀三次均匀B-B-样条曲线样条曲线2、B-B-样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线 2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十张，PPT共一百页，创作于2022年6月1.1.三次均匀三次均匀B-B-样条曲线段样条曲线段其中：其中：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十一张，PPT共一百页，创作于2022年6月v三次均匀三次均匀B-B-样条曲线段的端点性质样条曲线段的端点性质:2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十二张，PPT共一百页，创作于2022年6月 均匀均匀均匀均匀B-B-B-B-样条曲线的几何

26、性质：样条曲线的几何性质：样条曲线的几何性质：样条曲线的几何性质：直观性。直观性。直观性。直观性。局部性。局部性。比比比比BezierBezier曲线更强的凸包性曲线更强的凸包性曲线更强的凸包性曲线更强的凸包性。保凸性。保凸性。对称性对称性 曲线易于反向。曲线易于反向。与与BezierBezier曲线一样具有几何不变性、变差减小性曲线一样具有几何不变性、变差减小性曲线一样具有几何不变性、变差减小性曲线一样具有几何不变性、变差减小性。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十三张，PPT共一百页，创作于2022年6月 讨论几种退化情况：讨论几种退化情况：讨论几种退化情况：讨论几种退化情况：三点

27、共线三点共线三点共线三点共线 四点共线四点共线四点共线四点共线 两顶点重合两顶点重合两顶点重合两顶点重合 三顶点重合三顶点重合三顶点重合三顶点重合2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十四张，PPT共一百页，创作于2022年6月二次均匀二次均匀B B样条曲线样条曲线：端点性质端点性质：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十五张，PPT共一百页，创作于2022年6月非均匀非均匀非均匀非均匀B B B B样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线1.1.均匀均匀B B样条存在的问题样条存在的问题2.2.非均匀非均匀B B样条基函数的定义样条基函数的定义:2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十

28、六张，PPT共一百页，创作于2022年6月 B-样条基函数的支撑区样条基函数的支撑区间为间为u i ,u i+m+12.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十七张，PPT共一百页，创作于2022年6月 节点重复度增加节点重复度增加节点重复度增加节点重复度增加1 1 1 1，支撑区间中减少一个非零节点，支撑区间中减少一个非零节点，支撑区间中减少一个非零节点，支撑区间中减少一个非零节点区间，该节点处的可微性降低区间，该节点处的可微性降低区间，该节点处的可微性降低区间，该节点处的可微性降低1 1 1 1次。例：次。例：次。例：次。例：零阶连续零阶连续零阶连续零阶连续零阶不连续零阶不连续零阶不连续零

29、阶不连续！根据！根据Ck-r连续性的结论，可在连续性的结论，可在B-样条曲线样条曲线内部构造尖点和尖角甚至断点。内部构造尖点和尖角甚至断点。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十八张，PPT共一百页，创作于2022年6月 端节点重复度为端节点重复度为端节点重复度为端节点重复度为mm1 1时，时，时，时，B-B-样条曲线具有与样条曲线具有与样条曲线具有与样条曲线具有与BzierBzier曲线相同的端点性质。曲线相同的端点性质。曲线相同的端点性质。曲线相同的端点性质。端节点重复度为端节点重复度为端节点重复度为端节点重复度为m m m m1 1 1 1，其它内部节点的重复度均为，其它内部节点的

30、重复度均为，其它内部节点的重复度均为，其它内部节点的重复度均为1 1 1 1，且均匀分，且均匀分，且均匀分，且均匀分布时，称为布时，称为布时，称为布时，称为准均匀准均匀准均匀准均匀B-B-B-B-样条曲线。样条曲线。样条曲线。样条曲线。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第六十九张，PPT共一百页，创作于2022年6月次次B B样条曲面可以表达为：样条曲面可以表达为：其中，其中，为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。B-样条样条曲面为张量积曲面。曲面为张量积曲面。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十张，PPT共一百页，创作于2022年6月NURB

31、SNon-Uniform Rational B-SplineBezier方法、方法、B样条方法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是自由曲样条方法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是自由曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。1974，美国的，美国的K.J.Versprille以博士论文的形式发表了第以博士论文的形式发表了第1篇有关篇有关NURBS的的文章，以后文章，以后L.Piegl 和和W.Tiller对对NURBS进行了深入研究，使之在理论和应进行了深入研究，使之在理论和应用上趋于成熟。用上趋于成熟。IGES

32、和和STEP标准分别将其列为优化类型和唯一的自由曲线曲面表标准分别将其列为优化类型和唯一的自由曲线曲面表示方法。示方法。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十一张，PPT共一百页，创作于2022年6月 学习学习NURBSNURBS重点掌握的问题：重点掌握的问题：1.NURBS的定义的定义 2.权因子的意义权因子的意义 3.圆锥截线的圆锥截线的NURBS表示表示 4.NURBS的各种算法的各种算法 5.各种构型曲面的各种构型曲面的NURBS表示表示 2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十二张，PPT共一百页，创作于2022年6月 有理分式表示有理分式表示:其中，其中，其中，其中，w

33、wi,i=0,1,n 为与控制顶点为与控制顶点 相联系的权因子。相联系的权因子。w w0，w wn0其余其余w wi 0。N i,k为为k次规范次规范B样条基函数。样条基函数。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十三张，PPT共一百页，创作于2022年6月有理基函数表示有理基函数表示有理基函数表示有理基函数表示有理有理有理有理B-B-样条基函数的性质：样条基函数的性质：样条基函数的性质：样条基函数的性质：局部支撑性质局部支撑性质局部支撑性质局部支撑性质 规范性规范性规范性规范性 可微性可微性可微性可微性 节点区间内节点区间内节点区间内节点区间内 ,节点节点节点节点 区间上区间上区间上区间

34、上 若若若若 ，则，则 若若若若 ，则，则 若若若若 ，则，则 若若若若 ，则，则2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十四张，PPT共一百页，创作于2022年6月齐次坐标表示齐次坐标表示齐次坐标表示齐次坐标表示2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十五张，PPT共一百页，创作于2022年6月NURBSNURBS的定义步骤：的定义步骤：的定义步骤：的定义步骤：1.1.确定带权控制顶点确定带权控制顶点确定带权控制顶点确定带权控制顶点2.2.用带权控制顶点定义一条齐次空间中的用带权控制顶点定义一条齐次空间中的用带权控制顶点定义一条齐次空间中的用带权控制顶点定义一条齐次空间中的K K次次次次

35、B-B-样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线3.3.将齐次空间中的将齐次空间中的将齐次空间中的将齐次空间中的K K次次次次B-B-样条曲线投影到样条曲线投影到样条曲线投影到样条曲线投影到 的的的的平面上，得平面上，得平面上，得平面上，得2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十六张，PPT共一百页，创作于2022年6月权因子的几何意义权因子的几何意义权因子的几何意义权因子的几何意义权因子的几何意义示意图权因子的几何意义示意图权因子的几何意义示意图权因子的几何意义示意图共线四点的交比：共线四点的交比：共线四点的交比：共线四点的交比：vv讨论：权因子对曲线形状的影响讨论：权因子对曲线形状的影响讨论：

36、权因子对曲线形状的影响讨论：权因子对曲线形状的影响2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十七张，PPT共一百页，创作于2022年6月圆锥截线的圆锥截线的NURBS表示表示三段圆弧表示整圆三段圆弧表示整圆三段圆弧表示整圆三段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十八张，PPT共一百页，创作于2022年6月 用如图所示的标准型二次有用如图所示的标准型二次有理理Bzier曲线（曲线（NURBS的一个特例）的一个特例）表示给定的圆锥截线，主要任务是确表示给定的圆锥截线，主要任务是确定定w1。vv所以，当所以，当所以，当

37、所以，当w w1 1为任意值时，曲线上的为任意值时，曲线上的为任意值时，曲线上的为任意值时，曲线上的p(1/2)p(1/2)点在点在点在点在mbmb1 1的连线上。的连线上。的连线上。的连线上。二次曲线弧二次曲线弧二次曲线弧二次曲线弧的形状因子的形状因子的形状因子的形状因子2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第七十九张，PPT共一百页，创作于2022年6月对于圆弧，可以证明对于圆弧，可以证明对于圆弧，可以证明对于圆弧，可以证明可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：讨论讨论讨论讨论

38、：vv负权因子；负权因子；负权因子；负权因子；vv节点插入；节点插入；节点插入；节点插入；给定控制顶点给定控制顶点b b0 00 00 0、b b1 11 0 1 0、b b2 20 10 1及权因子及权因子w w0 0=w w2 2 =1,=1,w w1 1=1/2=1/2，定义一条平面有理二次，定义一条平面有理二次B Bzierzier曲线曲线p(u),0p(u),0 u u 1.1.（1 1）求插入一个节点）求插入一个节点1/21/2后，新的控制顶点及相应后，新的控制顶点及相应的权因子；（的权因子；（2 2）求曲线上参数为）求曲线上参数为1/21/2的点的点p p(1/2)(1/2)。习

39、习习习题题题题2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第八十张，PPT共一百页，创作于2022年6月NURBSNURBS曲面方程：曲面方程：曲面方程：曲面方程：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面第八十一张，PPT共一百页，创作于2022年6月拟合：拟合：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型中的常用术语曲线与曲面造型中的常用术语曲线与曲面造型中的常用术语曲线与曲面造型中的常用术语 2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第八十二张，PPT共一百页，创作于2022年6月光顺：光顺：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第八十三张，PPT共一百页，创作于2022年6

40、月几何连续性：几何连续性：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第八十四张，PPT共一百页，创作于2022年6月参数连续性：参数连续性：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第八十五张，PPT共一百页，创作于2022年6月几何连续性：几何连续性：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第八十六张，PPT共一百页，创作于2022年6月裁剪曲面：裁剪曲面：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第八十七张，PPT共一百页，创作于2022年6月曲面设计：曲面设计：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第八十八张，PPT共一百页，创作于2022年6月拉伸：拉伸：截面曲线确定深

41、度生成拉伸拉伸曲面图2.25 拉伸曲面生成过程2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第八十九张，PPT共一百页，创作于2022年6月拉伸的数学描述：拉伸的数学描述：拉伸的数学描述：拉伸的数学描述：给定母线给定母线给定母线给定母线，驱动方向，驱动方向，驱动方向，驱动方向 ，驱动距离驱动距离驱动距离驱动距离 d d ，可构造可构造可构造可构造NURBSNURBS列表柱面：列表柱面：列表柱面：列表柱面：其中，其中，其中，其中，2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十张，PPT共一百页，创作于2022年6月旋转：旋转：图2.26 旋转曲面生成过程母线旋转轴旋转旋转角度生成旋转曲面2.4

42、 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十一张，PPT共一百页，创作于2022年6月旋转曲面的数学表示：旋转曲面的数学表示：给定母线给定母线给定母线给定母线将上式同圆的将上式同圆的将上式同圆的将上式同圆的NURBSNURBS定义方法相结合，便可得到旋转面：定义方法相结合，便可得到旋转面：定义方法相结合，便可得到旋转面：定义方法相结合，便可得到旋转面：其中，其中，其中，其中，应根据应根据应根据应根据 d dj j 来获得来获得来获得来获得.2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十二张，PPT共一百页，创作于2022年6月扫成：扫成：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十三

43、张，PPT共一百页，创作于2022年6月变剖面扫成：变剖面扫成：图2.28 可变剖面的扫成（a）轨迹曲线组（c）辅助轨迹曲线组（d）可变剖面扫成曲面箭头方向（b）设定原始轨迹选为原始轨迹2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十四张，PPT共一百页，创作于2022年6月水水 箱箱 NURBS 曲曲 面面剖面线剖面线剖面线剖面线+轮廓线轮廓线轮廓线轮廓线+扫掠规则扫掠规则扫掠规则扫掠规则剖面线在扫动过程中的变化方式剖面线在扫动过程中的变化方式剖面线在扫动过程中的变化方式剖面线在扫动过程中的变化方式vv 同步扫掠同步扫掠vv 脊线扫掠脊线扫掠vv 平行扫掠平行扫掠vv 旋转扫掠旋转扫掠工程

44、需求的反映工程需求的反映2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十五张，PPT共一百页，创作于2022年6月蒙皮：蒙皮：单向蒙皮曲面的生成过程单向蒙皮曲面的生成过程选取参考截面线单向蒙皮曲面生成2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十六张，PPT共一百页，创作于2022年6月单向蒙皮曲面：单向蒙皮曲面：单向蒙皮曲面：单向蒙皮曲面：方法步骤：方法步骤：方法步骤：方法步骤：vv 检取各截面线检取各截面线检取各截面线检取各截面线vv 升阶，统一次数升阶，统一次数升阶，统一次数升阶，统一次数vv 插入节点，统一节点矢量插入节点，统一节点矢量插入节点，统一节点矢量插入节点，统一节点矢量

45、vv 确定确定确定确定v v v v向节点矢量向节点矢量向节点矢量向节点矢量vv v v v v向向向向NURBSNURBSNURBSNURBS控制顶点反算控制顶点反算控制顶点反算控制顶点反算vv 正向计算正向计算正向计算正向计算2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十七张，PPT共一百页，创作于2022年6月双向蒙皮曲面：双向蒙皮曲面：双向蒙皮曲面：双向蒙皮曲面：方法步骤：方法步骤：方法步骤：方法步骤：vv 构造构造构造构造u u向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。vv 构造构造构造构造v v向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面

46、。vv 构造由构造由构造由构造由u u、v v向截面线的交点组成的点阵形成的向截面线的交点组成的点阵形成的向截面线的交点组成的点阵形成的向截面线的交点组成的点阵形成的张量积曲面。张量积曲面。张量积曲面。张量积曲面。vv 通过节点插入和升阶使三张曲面在两个方向上通过节点插入和升阶使三张曲面在两个方向上通过节点插入和升阶使三张曲面在两个方向上通过节点插入和升阶使三张曲面在两个方向上分别具有相同的次数和节点矢量。分别具有相同的次数和节点矢量。分别具有相同的次数和节点矢量。分别具有相同的次数和节点矢量。vv 进行布尔和运算，得到最终曲面。进行布尔和运算，得到最终曲面。进行布尔和运算，得到最终曲面。进行布尔和运算，得到最终曲面。2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十八张，PPT共一百页，创作于2022年6月涡涡 轮轮 叶叶 片片排排 气气 管管 NURBS 曲曲 面面型型 芯芯 NURBS 曲曲 面面曲线曲面造型方法应用实例曲线曲面造型方法应用实例曲线曲面造型方法应用实例曲线曲面造型方法应用实例 2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第九十九张，PPT共一百页，创作于2022年6月柴油机汽缸盖柴油机汽缸盖手电钻手电钻整体叶轮整体叶轮2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法第一百张，PPT共一百页，创作于2022年6月