第二章连续方程和运动方程精选文档.ppt

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1、第二章连续方程和运动方程本讲稿第一页，共三十八页xyz12例如在某例如在某t时刻：时刻：1点：点：t1时刻：时刻：t2时刻时刻欧拉法欧拉法：以流场中每一以流场中每一空间位置空间位置作为描述对象，描述作为描述对象，描述这些位置上流体物理参数对时间的分布规律这些位置上流体物理参数对时间的分布规律本讲稿第二页，共三十八页欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量，与拉格朗日法最大欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量，与拉格朗日法最大的区别是欧拉法中的定义得到的的函数都是场函数，可以广的区别是欧拉法中的定义得到的的函数都是场函数，可以广泛的利用场论的知识泛的利用场论的知识在在气象观测气象观测中广泛使用欧拉法。在

2、世界各地（中广泛使用欧拉法。在世界各地（相当于空间点相当于空间点）设立星罗棋布的气象站。根据统一时间各气象站把同一时间观测设立星罗棋布的气象站。根据统一时间各气象站把同一时间观测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，然后发至世界各地，到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，然后发至世界各地，绘绘制成制成同一时刻同一时刻的气象图的气象图，据此做出天气预报。，据此做出天气预报。强调场概念，强调场概念，如重力场中连续性方程如重力场中连续性方程本讲稿第三页，共三十八页2.2.拉格朗日的观点拉格朗日的观点拉格朗日的观点拉格朗日的观点（LagrangeLagrange）在流体运动的空间内选择一固定的在流体运动的

3、空间内选择一固定的流体质点流体质点流体质点流体质点（质量固定）且追（质量固定）且追随质点运动，观察其特性（如位置、体积等随时间）的变化，来研随质点运动，观察其特性（如位置、体积等随时间）的变化，来研究整个流动场内流体的运动规律。究整个流动场内流体的运动规律。ABCDt1时刻ABCDt2时刻本讲稿第四页，共三十八页例如在某例如在某t时刻：时刻：xyz121点：点：2点：点：t=t0时流体质点的坐标是(a,b,c)本讲稿第五页，共三十八页欧拉法与拉格朗日法区别：欧拉法与拉格朗日法区别：欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况，

4、的流动状况，研究场中各点状态研究场中各点状态拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全部流拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全部流 动过程动过程,研究流体质点的运动规律（研究流体质点的运动规律（运动方程运动方程）在流动的流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述每个质在流动的流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述每个质点的运动是很困难甚至不可能，很难实现，在流体力学中不常采用。点的运动是很困难甚至不可能，很难实现，在流体力学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得较多。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得较多。在流场中，由于辨认空间比辨认某一个质点容易。因此，在流

5、场中，由于辨认空间比辨认某一个质点容易。因此，欧拉法欧拉法在流体力学中被广泛采用。在流体力学中被广泛采用。例如：例如：水从管中以怎样的速度流出，风经过门窗等等，只要水从管中以怎样的速度流出，风经过门窗等等，只要知道一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面），而知道一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面），而不需要了解某一质点，不需要了解某一质点，或某一流体集团的全部流动过程或某一流体集团的全部流动过程本讲稿第六页，共三十八页拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法 着着眼眼于于流流体体质质点点，跟跟踪踪质质点描述其运动历程点描述其运动历程着着眼眼于于空空间间点点，研研究究质质点点流流经经空空间

6、间各各固固定定点点的的运运动动特性特性是描述液体运动是描述液体运动常用的一种方法。常用的一种方法。本讲稿第七页，共三十八页二、物理量的时间倒数二、物理量的时间倒数二、物理量的时间倒数二、物理量的时间倒数：偏导数、全导数和随体导数：偏导数、全导数和随体导数：偏导数、全导数和随体导数：偏导数、全导数和随体导数(真实导数真实导数真实导数真实导数)1.1.三者定义三者定义三者定义三者定义(以流体密度以流体密度以流体密度以流体密度 为例为例为例为例)密度的全导数密度的全导数密度的全导数密度的全导数本讲稿第八页，共三十八页2.2.三者的物理意义三者的物理意义三者的物理意义三者的物理意义本讲稿第九页，共三十

7、八页随体导数的意义随体导数的意义局部导数局部导数：在一个固定 点（x,y,z)该量随时间的变化；对流导数对流导数：由于流体质点运动，从一个点转移到另一个点时发生的变化；所以上述方程式表明：流体微元体积上的一个点在在d时间内从进入微元体积的空间位置（时间内从进入微元体积的空间位置（x,y,z)移动到微元体积移动到微元体积的空间位置（的空间位置（x+dx,y+dy,z+dz)时，流体密度时，流体密度随间的变化率随间的变化率z(x,y,z)xydzdxdy本讲稿第十页，共三十八页第二节第二节 连续性方程（连续性方程（微分质量方程）微分质量方程）微分质量方程）微分质量方程）一、连续性方程的推导：一、连

8、续性方程的推导：一、连续性方程的推导：一、连续性方程的推导：研究方法研究方法研究方法研究方法：欧拉观点欧拉观点欧拉观点欧拉观点理论依据理论依据理论依据理论依据：质量守恒定律质量守恒定律质量守恒定律质量守恒定律计算依据计算依据计算依据计算依据：输出输出输出输出-输入输入输入输入+累积累积累积累积=0=0 (*)本讲稿第十一页，共三十八页 它适用于它适用于稳态稳态稳态稳态或或非稳态非稳态非稳态非稳态系统、系统、理想理想理想理想流体或流体或真实真实真实真实流体、流体、可压缩可压缩可压缩可压缩或或不可压缩不可压缩不可压缩不可压缩流体，流体，牛顿型牛顿型牛顿型牛顿型或或非牛顿型非牛顿型非牛顿型非牛顿型流

9、体。流体。连续性方程是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、最重连续性方程是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、最重连续性方程是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、最重连续性方程是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、最重要的微分方程之一。要的微分方程之一。要的微分方程之一。要的微分方程之一。写成向量形式：写成向量形式：本讲稿第十二页，共三十八页几种算法符号及意义几种算法符号及意义几种算法符号及意义几种算法符号及意义谢树艺，工程数学谢树艺，工程数学矢量分析与场论矢量分析与场论哈米尔顿（哈米尔顿（哈米尔顿（哈米尔顿（Hamilton)Hamilton)算子：算子：算子：算子：梯度：梯度：梯度

10、：梯度：散度：散度：散度：散度：拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯旋度旋度旋度旋度本讲稿第十三页，共三十八页第二节第二节第二节第二节 连续性方程连续性方程连续性方程连续性方程二、连续性方程的分析和简化二、连续性方程的分析和简化二、连续性方程的分析和简化二、连续性方程的分析和简化 选择单位质量流体研究，其体积为选择单位质量流体研究，其体积为v，按照拉格朗日观点：，按照拉格朗日观点：式式(2-2)与式与式(2-3)比较得：比较得：本讲稿第十四页，共三十八页第二节第二节第二节第二节 连续性方程连续性方程连续性方程连续性方程二、连续性方程的分析和简化二、连续性方程的分析和简化二、连续性方程的分析和简化二

11、、连续性方程的分析和简化 进一步简化分析：进一步简化分析：(1)若为稳态流动，则若为稳态流动，则(2)若为不可压缩流体，则若为不可压缩流体，则速度向量的散度，实际表示流体微元在三个速度向量的散度，实际表示流体微元在三个轴向的线性形变速率之和。轴向的线性形变速率之和。本讲稿第十五页，共三十八页三、柱坐标与球坐标系的连续性方程三、柱坐标与球坐标系的连续性方程三、柱坐标与球坐标系的连续性方程三、柱坐标与球坐标系的连续性方程1.柱坐标系的连续性方程柱坐标系的连续性方程 时间；r 径向座标；z 轴向座标；方位角；各方向的速度分量。本讲稿第十六页，共三十八页2.球坐标系的连续性方程球坐标系的连续性方程 时

12、间；r 径向座标；方位角；余纬度；各方向的速度分量。本讲稿第十七页，共三十八页一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程研究方法研究方法研究方法研究方法：拉格朗日观点拉格朗日观点拉格朗日观点拉格朗日观点理论依据理论依据理论依据理论依据：动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律即牛顿第二定律即牛顿第二定律 若质量固定，采用随体导数表示的牛顿第二定律为：若质量固定，采用随体导数表示的牛顿第二定律为：第三节第三节 运动方程运动方程流体运动的加速度。流体运动的加速度。流体运动的加速度。流体运动的加速度。本讲稿第十八页，共三十八页一、用应力表

13、示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程第三节第三节 运动方程运动方程将上式写成将上式写成将上式写成将上式写成x x，y y，z z方向的分量形式：方向的分量形式：方向的分量形式：方向的分量形式：本讲稿第十九页，共三十八页一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程1.1.质质质质量量量量力力力力 指指作作用用在在所所考考察察流流体体整整整整体体体体上上的的外外力力。若若在在重重力力场场中中，质量力就是重力，故微元体所受质量力在三个方向可表示为：质量力就是重力，故微元体所受质量力在三个方向可表示为：

14、第三节第三节 运动方程运动方程本讲稿第二十页，共三十八页一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程2.2.表面力（机械力）表面力（机械力）表面力（机械力）表面力（机械力）作用在微元流体诸作用在微元流体诸表面上表面上表面上表面上的外力，它又可分的外力，它又可分为法向力和切向力（剪应力），记为为法向力和切向力（剪应力），记为。一个平面上的表面力可以用三个。一个平面上的表面力可以用三个表面应力分量表示如：表面应力分量表示如：xxxx，xyxy，xzxz第一个下标第一个下标x 表示垂直于表示垂直于x轴的轴的yz平面（即应力分量的作用面垂平面（即应力

15、分量的作用面垂直于直于x 轴）；第二个下标轴）；第二个下标 x(y,z)表示应力分量的作用表示应力分量的作用第三节第三节 运动方程运动方程方向；方向；可以看出可以看出可以看出可以看出：具有相同下标的应力分量：具有相同下标的应力分量(xx)表表示示法向法向法向法向应力分量；拉伸方向（向外）为正，压缩应力分量；拉伸方向（向外）为正，压缩方向（向内）为负。方向（向内）为负。混合下标的应力分量混合下标的应力分量(xy，xz)表示表示切向切向切向切向应力分应力分量；量；本讲稿第二十一页，共三十八页一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程2.2.表面

16、力表面力表面力表面力 第三节第三节 运动方程运动方程六六个个表表面面，每每一一表表面面力力均均可可分分解解成成三三个个平平行行于于x、y、z三三个个坐坐标标轴轴的的应应力力分分量量，则则：36=18个个。在在x、y、z方方向向上上各各有有六六个个，当当微微元元体体体体积积缩缩小小为为一一点点时时，相相对对表表面面上上的的法法向向应应力力与与切切线线应应力力都都是是相相应应地地大大小小相相等等、方方向向相相反反的的，故故只只需需采采用用9个个表表面面力力就就可可以以完完全全表表达达。即即：3个个法法向向分分量量，6个个切切线线分分量。量。本讲稿第二十二页，共三十八页 dy/2 dy/2 dx/2

17、 o dx/2 dx/2 o dx/2 dy/2 dy/2x xy y一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程2.2.表面力表面力表面力表面力 第三节第三节 运动方程运动方程上述上述6个剪应力可以使微元体旋转个剪应力可以使微元体旋转且彼此不独立。如图的四个剪应力对且彼此不独立。如图的四个剪应力对于旋转轴线产生力矩：于旋转轴线产生力矩：当微元体积趋近于当微元体积趋近于当微元体积趋近于当微元体积趋近于0 0使使使使r r趋近于趋近于趋近于趋近于0 0力矩质量力矩质量力矩质量力矩质量 旋转半径旋转半径旋转半径旋转半径2 2 角加速度角加速度角加

18、速度角加速度本讲稿第二十三页，共三十八页一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程2.2.表面力表面力表面力表面力 第三节第三节 运动方程运动方程因此实质上因此实质上因此实质上因此实质上9 9个应力只有个应力只有个应力只有个应力只有6 6个应力为独立变量，个应力为独立变量，个应力为独立变量，个应力为独立变量，即即即即3 3个法向应力和个法向应力和个法向应力和个法向应力和3 3个剪应力个剪应力个剪应力个剪应力如图在如图在如图在如图在x x方向的净表面力分量：方向的净表面力分量：方向的净表面力分量：方向的净表面力分量：本讲稿第二十四页，共三十八

19、页一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程将式将式(2-11a)和式和式(2-12)代入式代入式(2-10a)中并整理得：中并整理得：第三节第三节 运动方程运动方程x x方向以应力表示的运动方程方向以应力表示的运动方程方向以应力表示的运动方程方向以应力表示的运动方程 同理可得：同理可得：以应力表示的粘性流体运动微分方程以应力表示的粘性流体运动微分方程以应力表示的粘性流体运动微分方程以应力表示的粘性流体运动微分方程本讲稿第二十五页，共三十八页二、应力与形变速率之间的关系二、应力与形变速率之间的关系二、应力与形变速率之间的关系二、应力与形变速

20、率之间的关系1.1.剪应力剪应力剪应力剪应力 每一剪应力与其相应两方向上的形变速率有关。经分析推每一剪应力与其相应两方向上的形变速率有关。经分析推导其关系为：导其关系为：第三节第三节 运动方程运动方程本讲稿第二十六页，共三十八页二、应力与形变速率之间的关系二、应力与形变速率之间的关系二、应力与形变速率之间的关系二、应力与形变速率之间的关系2.2.法向应力法向应力法向应力法向应力 当流体运动时，法向应力由两部分组成：其一是流体当流体运动时，法向应力由两部分组成：其一是流体压力，它使流体微元承受压缩而发生压力，它使流体微元承受压缩而发生体积形变体积形变体积形变体积形变；其二是由流体的粘性；其二是由

21、流体的粘性引起，它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩进而发生引起，它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩进而发生线性形变线性形变线性形变线性形变。各法向应力与形变速率之间的关系各法向应力与形变速率之间的关系各法向应力与形变速率之间的关系各法向应力与形变速率之间的关系：第三节第三节 运动方程运动方程静压力静压力静压力静压力 使流体产生体积形变使流体产生体积形变使流体产生体积形变使流体产生体积形变粘性力粘性力粘性力粘性力 使流体在法线方向上拉伸使流体在法线方向上拉伸使流体在法线方向上拉伸使流体在法线方向上拉伸或压缩进而发生线性形变或压缩进而发生线性形变或压缩进而发生线性形变或压缩进而发生线性形变

22、本讲稿第二十七页，共三十八页三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程(N N-S S方程方程方程方程)将式将式(2-14a)、(2-14b)、(2-15a)代入式代入式(2-13a)得：得：第三节第三节第三节第三节 运动方程运动方程运动方程运动方程本讲稿第二十八页，共三十八页三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程(N N-S S方程方程方程方程)将上三式写成向量形式：将上三式写成向量形式：第三节第三节第三节第三节 运动方程运动方程运动方程运动方程 以质量、粘度和流动状况表示的运动微分方程，以质量、

23、粘度和流动状况表示的运动微分方程，以质量、粘度和流动状况表示的运动微分方程，以质量、粘度和流动状况表示的运动微分方程，奈维奈维奈维奈维-斯托斯托斯托斯托克斯克斯克斯克斯(Navier-StokesNavier-Stokes)方程或牛顿型流体的运动方程方程或牛顿型流体的运动方程方程或牛顿型流体的运动方程方程或牛顿型流体的运动方程讨论：（讨论：（讨论：（讨论：（1 1 1 1）对于稳定或非稳定，可压缩或不可压缩，理想或非理对于稳定或非稳定，可压缩或不可压缩，理想或非理想流体均适用。但需说明该方程仅适用于想流体均适用。但需说明该方程仅适用于牛顿型牛顿型牛顿型牛顿型。（2 2 2 2）各项意义：各项意

24、义：惯性力惯性力惯性力惯性力质量力质量力质量力质量力压力梯度压力梯度压力梯度压力梯度粘性力粘性力粘性力粘性力本讲稿第二十九页，共三十八页三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程(N N-S S方程方程方程方程)对于不可压缩运动流体的运动方程可简化为：对于不可压缩运动流体的运动方程可简化为：写成向量形式：写成向量形式：本讲稿第三十页，共三十八页四、以动压头表示的不可压缩四、以动压头表示的不可压缩四、以动压头表示的不可压缩四、以动压头表示的不可压缩NSNS方程方程方程方程 y z x p p1 1 y y z z x x X X p p2 2 第三节

25、第三节 运动方程运动方程本讲稿第三十一页，共三十八页柱坐标柱坐标本讲稿第三十二页，共三十八页球坐标球坐标本讲稿第三十三页，共三十八页球坐标球坐标本讲稿第三十四页，共三十八页混合过程动量传递混合过程动量传递本讲稿第三十五页，共三十八页流体流动模型流体流动模型本讲稿第三十六页，共三十八页Turbulent flow around the hull of a very large crude oil carrier本讲稿第三十七页，共三十八页连续性方程和运动方程的推导；连续性方程和运动方程的推导；连续性方程和运动方程的推导；连续性方程和运动方程的推导；方程中各项的意义；方程中各项的意义；方程中各项的意义；方程中各项的意义；特殊情况下方程的简化；特殊情况下方程的简化；特殊情况下方程的简化；特殊情况下方程的简化；随体导数；随体导数；随体导数；随体导数；拉格朗日观点；拉格朗日观点；拉格朗日观点；拉格朗日观点；动压力和静压力；动压力和静压力；动压力和静压力；动压力和静压力；本章要点总结本章要点总结本讲稿第三十八页，共三十八页