第二章复变函数的导数精选文档.ppt

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1、第二章复变函数的导数1本讲稿第一页，共二十七页2.1 2.1 复变函数的极限复变函数的极限2.1.1 复变函数极限的概念复变函数极限的概念注意注意:uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中本讲稿第二页，共二十七页本讲稿第三页，共二十七页2.1.2 极限计算的定理极限计算的定理与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.本讲稿第四页，共二十七页例例3:3:证证(一一)本讲稿第五页，共二十七页根据定理一可知根据定理一可知,证证

2、(二二)本讲稿第六页，共二十七页在扩充复平面上，可以定义以下广义极限在扩充复平面上，可以定义以下广义极限例如例如 的定义为的定义为的定义为的定义为例如：设例如：设 ，则由定义可以证明，则由定义可以证明本讲稿第七页，共二十七页2.2.1.复变函数复变函数 连续的概念连续的概念2.2 函数的连续性函数的连续性例例1：由上节我们知道由上节我们知道所以所以 cosz 在在z0处连续处连续例例2：证明函数证明函数 sinz 在整个复平面连续在整个复平面连续证明：设证明：设 z=x+yi,z0=x0+y0i为复平面上的任一定点为复平面上的任一定点由于由于z0是复平面上的任一定点，故是复平面上的任一定点，故

3、 sinz在整个复平面上连续在整个复平面上连续本讲稿第八页，共二十七页2.2.2.复变函数复变函数 连续的定理连续的定理例例3：讨论初等函数：讨论初等函数：secz,cscz,tanz,cotz,shz,chz的连续性。的连续性。例例4：讨论函数讨论函数argz 的连续性。的连续性。例例5：讨论函数讨论函数Lnz 的连续性。的连续性。特殊的特殊的:(1)(1)有理整函数有理整函数(多项式多项式)(2)(2)有理分式函数有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.本讲稿第九页，共二十七页例例6 6：证证复平面上有界闭区域复平面上有界闭区域R 上连续的函数

4、上连续的函数w=f(z),它的模它的模|f(z)|在在R 上一定有上一定有界界本讲稿第十页，共二十七页2.3 导数导数2.3.1 导数的概念导数的概念在定义中应注意在定义中应注意:函数函数 f(z)的导数定义为的导数定义为本讲稿第十一页，共二十七页例例1:1:解解:例例2:2:讨论函数讨论函数 f(z)=Im(z)的可导性的可导性解解:本讲稿第十二页，共二十七页例例3:3:证明证明 函数函数 f(z)在在z0 0 处可导则在处可导则在 z0 0 处一定连续处一定连续,但函数但函数 f(z)在在 z0 0 处处连续不一定在连续不一定在 z0 0 处可导处可导.证：证：证毕证毕 本讲稿第十三页，共

5、二十七页2.3.2 2.3.2 导数的运算法则导数的运算法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:本讲稿第十四页，共二十七页本讲稿第十五页，共二十七页证证:必要性：必要性：2.3.3函数可导的必要与充分条件函数可导的必

6、要与充分条件设设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z=x+iy有导数有导数a+ib,这里这里a及及b为实数，根据导数定为实数，根据导数定义，义，本讲稿第十六页，共二十七页 充分性：充分性：本讲稿第十七页，共二十七页证毕证毕本讲稿第十八页，共二十七页例例5：判定下列函数在何处可导，若可导求其导数：判定下列函数在何处可导，若可导求其导数(1)f(z)=x2-y2+2ixy (2)f(z)=|z|(3)f(z)=ez (4)f(z)=sinz (5)f(z)=|z|22.3.4 高阶导数高阶导数我们把我们把 w=f(z)的导数的导数 叫做函数叫做函数w=f(z)的一阶导数。类此地，的一阶导数

7、。类此地，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶的导数，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶的导数，一般，一般地，地，(n-1)导数的导数称为导数的导数称为f(z)的的n 阶导数，二阶及二阶以上的导数阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数统称为高阶导数本讲稿第十九页，共二十七页2.4 解析函数解析函数2.4.1 解析函数的概念解析函数的概念定义：定义：如果函数如果函数f(z)不仅在不仅在z0处可导，而且在处可导，而且在z0的某个领域内任一点可导，则的某个领域内任一点可导，则称称f(z)在在z0解析，如果函数解析，如果函数f(z）在区域）在区域D内任一点解析，则称内任一点解析，则称f(

8、z)在区域在区域D内内解析。解析。例例1：讨论下列函数的解析性：讨论下列函数的解析性(1)f(z)=z2 (2)f(z)=|z|2根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概念的概念.即函数在一点处即函数在一点处可导可导,不一定在该点处解析不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.本讲稿第二十页，共二十七页2.4.2 初等函数的解析性初等函数的解析性有导数的运算法则可知，在某区域

9、上解析的函数经过加、减、乘、除（分母有导数的运算法则可知，在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除（分母不为零）运算得到的函数在该区域上仍解析。两个及两个以上的解析函数经不为零）运算得到的函数在该区域上仍解析。两个及两个以上的解析函数经过有限次复合运算后得到的函数仍未解析函数。単值解析函数的単值反函数过有限次复合运算后得到的函数仍未解析函数。単值解析函数的単值反函数仍为解析函数。仍为解析函数。指数指数ez 函数在整个复平面上解析函数在整个复平面上解析三角函数三角函数 sinz,cosz,tanz,cotz,secz,cscz 在其定义与内解析；反三角函数在其定义与内解析；反三角函数的解析性要紧对

10、各反函数具体讨论。的解析性要紧对各反函数具体讨论。双曲函数双曲函数 shz,chz,thz 在整个复平面上解析；反双曲函数的解析性要紧对各在整个复平面上解析；反双曲函数的解析性要紧对各反函数具体讨论。反函数具体讨论。对数函对数函Lnz 数在原点和负实轴上不解析，除原点和负实轴以外，数在原点和负实轴上不解析，除原点和负实轴以外，Lnz 处处解析处处解析本讲稿第二十一页，共二十七页2.4.3 函数解析的必要与充分条件函数解析的必要与充分条件例例2：讨论下列函数的解析性：讨论下列函数的解析性(1)f(z)=2x(1-y)+i(x2-y2+2y)(2)f(z)=zRe(z)(3)f(z)=e-xe-y

11、i证：证：本讲稿第二十二页，共二十七页2.5 调和函数调和函数2.5.1 调和函数的概念调和函数的概念 证明：证明：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则本讲稿第二十三页，共二十七页即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:上面定理说明：上面定理说明：本讲稿第二十四页，共二十七页例例1：设设u(x,y)=x2-y2,v(x,y)=2xy问问u 和和v 调和函数吗？调和函数吗？v 是是u 的共轭的共轭调和函数吗？调和函数吗？现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：如果如果u,v 是任意选取的在区域是任意选取的在区域D内的两个调和函数，内的两个调和函数，则则u+vi 在在D内就不一定解析内就不一定解析2.5.2 已知实部或虚部的解析函数的表达式已知实部或虚部的解析函数的表达式本讲稿第二十五页，共二十七页类似地，类似地，本讲稿第二十六页，共二十七页例例2：已知下列调和函数，求解析函数：已知下列调和函数，求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).(1)u(x,y)=shxsiny (2)v(x,y)=x2-y2+2y (2)u(x,y)=y3-3x2y (4)v(x,y)=-x2+y2本讲稿第二十七页，共二十七页