第二章第二节行列式性质精选文档.ppt

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1、第二章第二节行列式性质本讲稿第一页，共二十一页.例如例如 证明思想证明思想 ：仍然是从定义出发证，祥略。仍然是从定义出发证，祥略。如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零式为零.为什么？为什么？.例如例如性质性质 2将行列式的两行将行列式的两行(列列)对调对调,行列式变号行列式变号推论推论本讲稿第二页，共二十一页性质性质 3(展开法则展开法则)行列式等于它的任意一行行列式等于它的任意一行(列列)中所中所有元素与它们对应的代数余子式乘积之和有元素与它们对应的代数余子式乘积之和.即即本讲稿第三页，共二十一页推论推论行列式中任一行行列式中任一行(列列)中

2、元素与另一行中元素与另一行(列列)对应元素的对应元素的代数余子式乘积之和等于零代数余子式乘积之和等于零,即即证证:由性质由性质3按第按第j行展开得到行展开得到rirj本讲稿第四页，共二十一页推论推论行列式中任一行行列式中任一行(列列)中元素与另一行中元素与另一行(列列)对应元素的对应元素的代数余子式乘积之和等于零代数余子式乘积之和等于零,即即证证:由性质由性质3按第按第j行展开得到行展开得到rirj本讲稿第五页，共二十一页性质性质 4行列式的某一行行列式的某一行(列列)元素的公因子可提到行列式外面元素的公因子可提到行列式外面,即即例如:本讲稿第六页，共二十一页证证:推论推论 行列式的某一行行列

3、式的某一行(列列)元素的全为零元素的全为零,则此行列式为零则此行列式为零.行列式的某两行行列式的某两行(列列)对应元素成比例对应元素成比例,则此行列式为零则此行列式为零.推论推论 本讲稿第七页，共二十一页性质性质5若行列式的第若行列式的第i行行(列列)元素的每一个元素都可以表示为元素的每一个元素都可以表示为两数的和两数的和,则该行列式可以表示为两行列式之和则该行列式可以表示为两行列式之和,即即这并不是唯一的分这并不是唯一的分拆方法！拆方法！本讲稿第八页，共二十一页性质性质6把行列式的第把行列式的第j行行(列列)元素的元素的k倍加到第倍加到第i行行(列列)的对应元素的对应元素上上,行列式的值不变

4、行列式的值不变.例例 计算行列式计算行列式 运算符号运算符号 ：交换行列式两行（列），记作交换行列式两行（列），记作 行列式第行列式第i i行（列）乘以数行（列）乘以数k k，记作，记作 以数以数k k乘行列式第乘行列式第i i行（列）加到第行（列）加到第j j行（列）上，记作行（列）上，记作本讲稿第九页，共二十一页例例 求求 证证本讲稿第十页，共二十一页证证:第二行乘以第二行乘以-1-1加到第一行上加到第一行上,第三行乘以第三行乘以-1-1加到第二行上加到第二行上,第四第四行乘以行乘以-1-1加到第三行上，依次之，直到第加到第三行上，依次之，直到第n n行乘以行乘以-1-1加到第加到第n-1

5、n-1行上行上.可可得得本讲稿第十一页，共二十一页例例 计算行列式计算行列式解解:第二行乘以第二行乘以-1-1加到其它各行上去可得加到其它各行上去可得本讲稿第十二页，共二十一页例例 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得本讲稿第十三页，共二十一页本讲稿第十四页，共二十一页例例 当当解解:第一行乘以第一行乘以-1-1加到其它各行上去可得加到其它各行上去可得本讲稿第十五页，共二十一页例例 计算计算2n阶行列式阶行列式解解 按第一行展开按第一行展开,有有再对两个再对两个(2n-1)阶行列式各按最后一行展开阶行列式各按最后一行展开,得得本讲稿第十六页，共二十一页例例 计算

6、计算n阶行列式阶行列式解解:将最后一列写成两数之和的形式将最后一列写成两数之和的形式,再由行列式的性质再由行列式的性质5可得可得本讲稿第十七页，共二十一页由观察可知由观察可知,上式右端第一个行列式按最后一列展开得上式右端第一个行列式按最后一列展开得Dn-1,而第二个而第二个行列式从最后一行开始行列式从最后一行开始,每后一行乘以每后一行乘以(-1)加到相邻的前一行上加到相邻的前一行上,就就变为下三角形变为下三角形,其值为其值为1,故得故得例例 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式本讲稿第十八页，共二十一页证证:将第将第n-1行乘以行乘以(-x1)加到第加到第n行行,将第

7、将第n-2行乘以行乘以(-x1)加到第加到第n-1行行,这样依次下去这样依次下去,最后将第最后将第1行乘以行乘以(-x1)加到第加到第2行行,得得按第一列展开按第一列展开,并提出每一列的公因子并提出每一列的公因子(xi-x1)(i=1,2,n),得递推公式得递推公式:本讲稿第十九页，共二十一页本讲稿第二十页，共二十一页 (行列式中行与列具有同等的地行列式中行与列具有同等的地位位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值小结行列式的行列式的6个性质个性质本讲稿第二十一页，共二十一页