第二章因次分析与定理精选文档.ppt
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1、第二章因次分析与定第二章因次分析与定理理本讲稿第一页,共三十三页第一节第一节 物理量的因次、量度单位和因次式物理量的因次、量度单位和因次式 1 因次、量纲的概念因次、量纲的概念因因次次及及量量纲纲:表表征征物物理理量量,除除了了有有量量的的数数值值外外,还还有有量量的的种种类类(或或类类别别),如如长长度度、时时间间、质质量量、力力等等,人人们们把把表表征征物物理理量量的的种种类类通通称称为为“因因次次”(Dimension)或称为或称为“量纲量纲”。国际单位国际单位国际单位国际单位单单位位:度度量量各各物物理理量量数数值值大大小小的的标标准准,称称为为单单位位。市市制制、公公制制、英英制制、
2、美美制制。1 1)长度)长度)长度)长度米米米米3 3)质量)质量)质量)质量千克千克千克千克2 2)时间)时间)时间)时间秒秒秒秒4 4)力)力)力)力 牛顿牛顿牛顿牛顿本讲稿第二页,共三十三页第一节第一节 物理量的因次、量度单位和因次式物理量的因次、量度单位和因次式 2 物理量分类物理量分类 物理量可分为两大类物理量可分为两大类物理量物理量物理量物理量1 1)有有有有因因因因次次次次的的的的:如如如如长长长长度度度度、时时时时间间间间、速速速速度度度度、加加加加速速速速度度度度、质质质质量量量量、力力力力等等等等,这这这这类类类类物物物物理理理理量量量量要要要要以以以以人人人人为为为为的的
3、的的单单单单位位位位来来来来表表表表示示示示,其其其其数数数数值值值值大小随着单位的更换而改变;大小随着单位的更换而改变;大小随着单位的更换而改变;大小随着单位的更换而改变;1m=100cm1m=100cm2 2)无无无无因因因因次次次次的的的的:如如如如坡坡坡坡度度度度、佛佛佛佛汝汝汝汝德德德德数数数数、雷雷雷雷诺诺诺诺数数数数等等等等,这这这这些些些些量量量量是是是是一一一一个个个个纯纯纯纯数数数数或或或或比比比比值值值值,其其其其数数数数值值值值大大大大小小小小不不不不受受受受量量量量度度度度单单单单位更换的影响。位更换的影响。位更换的影响。位更换的影响。本讲稿第三页,共三十三页2、物理
4、量的因次分类、物理量的因次分类 物理量的因次可分为两大类物理量的因次可分为两大类因因因因 次次次次1 1)基基基基本本本本因因因因次次次次:它它它它们们们们彼彼彼彼此此此此是是是是相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的,即即即即它它它它们们们们中中中中的的的的任任任任何何何何一一一一个个个个因因因因次不能从其它基本因次推导出来。次不能从其它基本因次推导出来。次不能从其它基本因次推导出来。次不能从其它基本因次推导出来。2 2)导出因次:这类因次可由基本因次推导出来。)导出因次:这类因次可由基本因次推导出来。)导出因次:这类因次可由基本因次推导出来。)导出因次:这类因次可由基本因次推导出来。若选
5、择若选择若选择若选择MM、L L、T T 为基本因次,为基本因次,为基本因次,为基本因次,则速度因次可表示为:则速度因次可表示为:则速度因次可表示为:则速度因次可表示为:V=L/T=LTV=L/T=LTV=L/T=LTV=L/T=LT-1-1-1-1 加速度的因次为:加速度的因次为:加速度的因次为:加速度的因次为:a=V/T=LTa=V/T=LTa=V/T=LTa=V/T=LT-2-2-2-2 力的因次为:力的因次为:力的因次为:力的因次为:F=F=F=F=MMa=a=a=a=M M LTLTLTLT-2-2-2-2 力力力力学学学学上上上上通通通通常常常常选选选选择择择择长长长长度度度度(以
6、以以以LL表表表表示示示示)、时时时时间间间间(以以以以TT表表表表示示示示)和和和和质质质质量量量量(以以以以MM表表表表示示示示)作作作作为为为为基基基基本本本本因因因因次次次次,显显显显然然然然它它它它们们们们是是是是相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的。它它它它们们们们中中中中任任任任一一一一个个个个不不不不能能能能从从从从另另另另外外外外二二二二个个个个推推推推导导导导出出出出来来来来 (例例例例如如如如LL不不不不可可可可能能能能由由由由MM、TT来组成)。来组成)。来组成)。来组成)。第一节第一节 物理量的因次、量度单位和因次式物理量的因次、量度单位和因次式 本讲稿第四页,共
7、三十三页 可见某一物理量的因次总可以由基本因次推导出来,可见某一物理量的因次总可以由基本因次推导出来,而且是基本因次幂指数的乘积而且是基本因次幂指数的乘积,即:,即:该式称为因次关系式。该式称为因次关系式。该式称为因次关系式。该式称为因次关系式。证明过程:见书证明过程:见书证明过程:见书证明过程:见书P32P32页。页。页。页。物物理理量量的的性性质质可可由由指指数数来来反反映映,如如均均为为0,则则y为为一一次次无无因因次次纯纯数数,指指数数中中有有一一个不等于个不等于0,就可以说是一个有因次的物理量。,就可以说是一个有因次的物理量。y为一运动学量为一运动学量 y为一几何学量为一几何学量 y
8、为一动力学量为一动力学量 从上式可以导出常见的有因次的物理量从上式可以导出常见的有因次的物理量本讲稿第五页,共三十三页 如面积是由两个长度的乘积组成的,则它们的因次为长度因次的平方如面积是由两个长度的乘积组成的,则它们的因次为长度因次的平方如面积是由两个长度的乘积组成的,则它们的因次为长度因次的平方如面积是由两个长度的乘积组成的,则它们的因次为长度因次的平方,A=,A=,A=,A=LLLL2 2 2 2 或写成或写成或写成或写成A=A=A=A=MM0 0 0 0L L L L2 2 2 2T T T T0 0 0 0 。流速因次为流速因次为流速因次为流速因次为V=LTV=LTV=LTV=LT-
9、1-1-1-1=MM0 0 0 0LTLTLTLT-1-1-1-1 ;力的因次为力的因次为力的因次为力的因次为F=F=F=F=MMa=a=a=a=M M LTLTLTLT-2-2-2-2 。物理量物理量物理量物理量 无因次量无因次量无因次量无因次量 有因次量有因次量有因次量有因次量 基本量基本量基本量基本量导出量导出量导出量导出量 常见因次关系详见常见因次关系详见P34页表页表21第一节第一节 物理量的因次、量度单位和因次式物理量的因次、量度单位和因次式 本讲稿第六页,共三十三页第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法1、因次和谐原理、因次和谐原理 凡是正确反映某一物
10、理现象变化规律的完整的物理方程,凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程,凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程,凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程,其各项因次都必须是一致的,这称为因次和谐原理。其各项因次都必须是一致的,这称为因次和谐原理。其各项因次都必须是一致的,这称为因次和谐原理。其各项因次都必须是一致的,这称为因次和谐原理。只有类型相同的物理量才能相加减,即因次相同的物理量才能相加只有类型相同的物理量才能相加减,即因次相同的物理量才能相加只有类型相同的物理量才能相加减,即因次相同的物理量才能相加只有类型相同的物理量才能相加减,即因次相同的物理量才能相加减
11、,两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。比如,减,两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。比如,减,两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。比如,减,两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。比如,1m+1kg1m+1kg1m+1kg1m+1kg是没有是没有是没有是没有意义的。所以,方程中各项因次都必须是一致的。意义的。所以,方程中各项因次都必须是一致的。意义的。所以,方程中各项因次都必须是一致的。意义的。所以,方程中各项因次都必须是一致的。利用方程因次和谐特征:(利用方程因次和谐特征:(利用方程因次和谐特征:(利用方程因次和谐特征:(1 1 1 1)可以探求物理方程的结构形式,)可以探求物理
12、方程的结构形式,)可以探求物理方程的结构形式,)可以探求物理方程的结构形式,(2 2 2 2)检验复杂方程式的正确性,()检验复杂方程式的正确性,()检验复杂方程式的正确性,()检验复杂方程式的正确性,(3 3 3 3)还可以用来导出模型试)还可以用来导出模型试)还可以用来导出模型试)还可以用来导出模型试验中必须遵循的相似准则。因此,这一原理是因次分析的重要验中必须遵循的相似准则。因此,这一原理是因次分析的重要验中必须遵循的相似准则。因此,这一原理是因次分析的重要验中必须遵循的相似准则。因此,这一原理是因次分析的重要依据。依据。依据。依据。2、因次和谐原理的重要性、因次和谐原理的重要性本讲稿第
13、七页,共三十三页1.一一个个物物理理方方程程式式在在因因次次上上是是和和谐谐的的,则则方方程程的的文文字字结结构构形形式式不不随随量量度度单单位位的的更更换换而而变变化化。因因此此因因次次和和谐谐原原理理可可以以用用以以检检验验新新建建方方程程式式或或经经验验公公式式的的正正确确性性和完整性。和完整性。伯努利方程伯努利方程伯努利方程伯努利方程上上上上式式式式中中中中各各各各项项项项的的的的因因因因次次次次都都都都是是是是长长长长度度度度 L L,所所所所以以以以因因因因次次次次是是是是和和和和谐谐谐谐的的的的。不不不不管管管管方方方方程程程程中中中中各各各各项项项项采采采采用用用用的的的的单单
14、单单位位位位是是是是什什什什么么么么,方程的形式都不会改变,若同除以任一项变为无量纲方程式,其形式仍然不会改变。方程的形式都不会改变,若同除以任一项变为无量纲方程式,其形式仍然不会改变。方程的形式都不会改变,若同除以任一项变为无量纲方程式,其形式仍然不会改变。方程的形式都不会改变,若同除以任一项变为无量纲方程式,其形式仍然不会改变。如如如如果果果果一一一一个个个个方方方方程程程程在在在在因因因因次次次次上上上上不不不不和和和和谐谐谐谐,则则则则要要要要检检检检查查查查方方方方程程程程式式式式是是是是否否否否完完完完整整整整,采采采采用用用用度度度度量量量量单单单单位位位位是是是是否否否否一一一
15、一致致致致,数学分析过程是否严谨。数学分析过程是否严谨。数学分析过程是否严谨。数学分析过程是否严谨。2、因次和谐原理的重要性、因次和谐原理的重要性本讲稿第八页,共三十三页2.用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数。用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数。2、因次和谐原理的重要性、因次和谐原理的重要性质量为质量为质量为质量为M M M M、以速度、以速度、以速度、以速度v v v v沿半径为沿半径为沿半径为沿半径为R R R R的圆周运动时其关系式为:的圆周运动时其关系式为:的圆周运动时其关系式为:的圆周运动时其关系式为:利用因次和谐原理可以证明利用因次和谐原理可以证明利用因次和谐原理可
16、以证明利用因次和谐原理可以证明关系式的关系式的关系式的关系式的合理合理合理合理性性性性 左侧左侧左侧左侧 F=MLT F=MLT F=MLT F=MLT-2-2-2-2 右侧右侧右侧右侧显然左侧与右侧的因次相同,即可证得:显然左侧与右侧的因次相同,即可证得:显然左侧与右侧的因次相同,即可证得:显然左侧与右侧的因次相同,即可证得:各物理量的量纲为:各物理量的量纲为:各物理量的量纲为:各物理量的量纲为:F=MLTF=MLTF=MLTF=MLT-2-2-2-2 、m=Mm=Mm=Mm=M、v=MLTv=MLT-1-1、R=LR=L根据因次和谐原理,左右两侧的量纲应该和谐根据因次和谐原理,左右两侧的量
17、纲应该和谐根据因次和谐原理,左右两侧的量纲应该和谐根据因次和谐原理,左右两侧的量纲应该和谐 :本讲稿第九页,共三十三页 3.用因次和谐原理建立某些物理方程。用因次和谐原理建立某些物理方程。实实际际工工程程中中有有许许多多自自然然现现象象,直直至至目目前前仍仍尚尚未未找找出出具具体体形形式式的的物物理理方方程程。通通过过观观察察和和试试验验等等只只知知道道有有哪哪些些物物理理量量参参与与作作用用,那那么么,利利用用因因次次和和谐谐原原理理往往往往可可以以确确定定方程式的结构模式。方程式的结构模式。举例:水平圆管中层流流量举例:水平圆管中层流流量Q的计算式的确定。的计算式的确定。通过试验知道它通过
18、试验知道它通过试验知道它通过试验知道它与如下参数有关:与如下参数有关:与如下参数有关:与如下参数有关:圆管半径圆管半径圆管半径圆管半径 单位管长的压差单位管长的压差单位管长的压差单位管长的压差 流体流体流体流体动力动力动力动力粘滞粘滞粘滞粘滞系数系数系数系数写出函数关系式:写出函数关系式:写出函数关系式:写出函数关系式:假设:假设:假设:假设:2、因次和谐原理的重要性、因次和谐原理的重要性本讲稿第十页,共三十三页其因次式为:其因次式为:其因次式为:其因次式为:选择选择选择选择M,L,TM,L,TM,L,TM,L,T为基本量纲,则写出两边的量纲表达式:为基本量纲,则写出两边的量纲表达式:为基本量
19、纲,则写出两边的量纲表达式:为基本量纲,则写出两边的量纲表达式:根据因次和谐原理,方程两侧同类因次的指数必须相同,即:根据因次和谐原理,方程两侧同类因次的指数必须相同,即:根据因次和谐原理,方程两侧同类因次的指数必须相同,即:根据因次和谐原理,方程两侧同类因次的指数必须相同,即:本讲稿第十一页,共三十三页联解上列联解上列联解上列联解上列3 3 3 3式得:式得:式得:式得:从而有从而有从而有从而有 写成函数关系式为写成函数关系式为写成函数关系式为写成函数关系式为 其中,其中,其中,其中,k k k k为无因次系数,由试验结果分析得:为无因次系数,由试验结果分析得:为无因次系数,由试验结果分析得
20、:为无因次系数,由试验结果分析得:于是圆管中层流流量公式为:于是圆管中层流流量公式为:于是圆管中层流流量公式为:于是圆管中层流流量公式为:本讲稿第十二页,共三十三页第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法二、因次分析方法二、因次分析方法 由因次和用因次和谐原理,可以得到如下认识:由因次和用因次和谐原理,可以得到如下认识:1、自然界中某一物理现象的变化规律,可以用一个完整的、自然界中某一物理现象的变化规律,可以用一个完整的物理方程物理方程来描述;来描述;2、一个完整的物理方程式、一个完整的物理方程式必须符合因次和谐原理必须符合因次和谐原理;3、一一个个完完整整的的物物理
21、理方方程程式式其其文文字字结结构构不不随随人人为为确确定定的的量量度度单单位位的的更更换换而而改改变变;4、因因次次和和谐谐的的条条件件是是方方程程式式中中各各个个变变量量的的基基本本因因次次的的指指数数在在方方程程式式两两侧彼此相等侧彼此相等。因次分析方法就是建立在上述结论基础上,是用于探求物因次分析方法就是建立在上述结论基础上,是用于探求物因次分析方法就是建立在上述结论基础上,是用于探求物因次分析方法就是建立在上述结论基础上,是用于探求物理现象的函数关系式的一种数学分析方法。理现象的函数关系式的一种数学分析方法。理现象的函数关系式的一种数学分析方法。理现象的函数关系式的一种数学分析方法。本
22、讲稿第十三页,共三十三页第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法二、因次分析方法二、因次分析方法 因次分析方法有因次分析方法有因次分析方法有因次分析方法有二种二种二种二种:瑞利(瑞利(瑞利(瑞利(RayleighRayleighRayleighRayleigh)法)法)法)法适用于解决较简单问题适用于解决较简单问题适用于解决较简单问题适用于解决较简单问题 定理定理定理定理具有普遍性的方法具有普遍性的方法具有普遍性的方法具有普遍性的方法 瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的函数关系。瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的函数关系。瑞利方法的实质是应
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