第三章平面与空间直线PPT讲稿.ppt

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1、第三章 平面与空间直线第1页，共75页，编辑于2022年，星期二第一节第一节 平面及其方程平面及其方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程1 1、方位向量、方位向量 在空间给定一个点在空间给定一个点M0与两个不共线的向量与两个不共线的向量a,b，则，则通过点通过点M0且与且与a,b平行的平面平行的平面 就被唯一确定。向量就被唯一确定。向量a,b称为平面称为平面 的方位向量。的方位向量。显然，任何一对与平面显然，任何一对与平面 平行的不共线向量都可作平行的不共线向量都可作为平面为平面 的方位向量。的方位向量。第2页，共75页，编辑于20

2、22年，星期二2 2、平面的向量式参数方程、平面的向量式参数方程 在空间，取标架O；e1,e2,e3,并设点M0的径矢OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb （1）方程（1）称为平面的向量式参数方程向量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平面上的充要条件为向量M0M与a,b,面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：第3页，共75页，编辑于2022年，星期二3 3、平面的坐标式参数方程、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0=x0,

3、y0,z0,r=x,y,z并设a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2则由（1）可得（2）式称为平面的坐标式参数方程坐标式参数方程。r=r0+ua+vb （1）第4页，共75页，编辑于2022年，星期二例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2=x2-x1,y2-y1,z2-z1,因此，平面的向量式参数方程向量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐标式参数方程坐标式参数方程为设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径矢为ri=OMi，则可取方位向量为r

4、3-r1=M1M3=x3-x1,y3-y1,z3-z1,第5页，共75页，编辑于2022年，星期二从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （5）与或（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程平面的三点式方程。第6页，共75页，编辑于2022年，星期二特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,则平面的方程为称为平面的截距式方程截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距截距。xzyM1M2M3o第7页，共75页，编辑于2022年，星期二 如果一非零向量垂直于一如果一非零向量

5、垂直于一平面，这向量就叫做该平面的平面，这向量就叫做该平面的法向量法向量法向量的法向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量二、平面的点法式方程二、平面的点法式方程1.法向量法向量:注注:1 对平面对平面,法向量法向量n不唯一不唯一;2 平面平面 的法向量的法向量n与与 上任一向量垂直上任一向量垂直.第8页，共75页，编辑于2022年，星期二2.2.平面的点法式方程平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M=0而M0 M=x x0,y y0,z z0,得:

6、A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程(1)为平面的点法式方程点法式方程.(1)第9页，共75页，编辑于2022年，星期二例1:求过点(2,3,0)且以 n=1,2,3为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1 (x 2)2 (y+3)+3 (z 0)=0即:x 2y+3z 8=0 第10页，共75页，编辑于2022年，星期二nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=3,4,6 M1M3=2,3,1可取n=M1M2 M1M3=14i+9j k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M

7、3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0即:14x+9y z 15=0 第11页，共75页，编辑于2022年，星期二例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为向量M1M2=2，2，-4=21，1，-2垂直于平面，所以平面的一个法向量为n=1,1,-2.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0第12页，共75页，编辑于2022年，星期二三、平面的一般方程三、平面的一般方程三、平面的一般方程三、平面

8、的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n=A,B,C证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为它表示过定点注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (2)称为平面的一般方程.且法向量为 n=A,B,C的平面.第13页，共75页，编辑于2022年，星期二例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=2 3,42(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0即:2x 3y+4z 4=0第14页，共75页，编辑于2022年，星期二2.平面方程的几种

9、特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0第15页，共75页，编辑于2022年，星期二(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=A,B,C与x 轴上的单位向量 i=1,0,0垂直,所以n i=A 1+B 0+C 0=A=0于是:平行于x 轴的平面方程是 By+Cz+D=0;平行于y 轴的平面方程是 Ax+Cz+D=0;平行于z 轴的平面方程是 Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.第16页，共75页，编辑于2022年，星期二(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy

10、面的平面方程是平行于xOz 面的平面方程是平行于yOz 面的平面方程是.Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0第17页，共75页，编辑于2022年，星期二例3:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.设所求平面的方程是 By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3B C=0 C=3B所求平面方程为 By 3Bz=0即:y 3z=0 第18页，共75页，编辑于2022年，星期二例4:设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.解:设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,

11、0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:oyPxzQR第19页，共75页，编辑于2022年，星期二所求平面的方程为:即:(3)第20页，共75页，编辑于2022年，星期二设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解第21页，共75页，编辑于2022年，星期二化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为第22页，共75页，编辑于2022年，星期二若平面上的一点 特殊地取自原点O 向平面 所引垂线的垂足，而 的法向量取单位向量 ，设 ，那么由点

12、 和法向量 决定的平面的向量式法式方程为：平面的坐标式方程，简称法式方程为平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1；因为p是原点O 到平面 的距离，所以常数第23页，共75页，编辑于2022年，星期二平面的一般方程平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化与法式方程的互化取取 乘平面的一般方程乘平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 可得法式方程可得法式方程 在取定符号后叫做在取定符号后叫做法式化因子法式化因子选取的符号通常与常数项选取的符号通常与常数项 相反的符号相反

13、的符号第24页，共75页，编辑于2022年，星期二例例 把平分面把平分面 的方程的方程 化为法式方程，化为法式方程，求自原点指向平面求自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求原点到的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离平面的距离第25页，共75页，编辑于2022年，星期二第二节第二节 平面与点的相关位置平面与点的相关位置 设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点P0到平面的距离。在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)则 P1P0=x0 x1,y0 y1,z0 z1过P0点作一法向量 n=A,B,C于是:第26页，共75页，编辑于2022年，星期二又 A(

14、x0 x1)+B(y0 y1)+C(z0 z1)=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+C z1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:(4)第27页，共75页，编辑于2022年，星期二例如:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+2z 10=0的距离第28页，共75页，编辑于2022年，星期二第三节 两平面的相关位置1、设两个平面的方程为：1：A1x+B1y+c1z+D1=0 (1)2：A2x+B2y+c2z+D2=0 (2)定理1：两个平面（1）与（2）相交A1:B1:C1A2:B2:C2.平行 重合 第29页，共75页，编辑于2022年，

15、星期二（1）定义）定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.2、两平面的夹角、两平面的夹角第30页，共75页，编辑于2022年，星期二（2 2）、两个平面的交角公式）、两个平面的交角公式 设两个平面1，2间的二面角用(1,2)表示，而两平面的法向量n1,n2的夹角记为=(n1,n2），显然有(1,2)=或-因此1n1n22第31页，共75页，编辑于2022年，星期二3 3、两平面垂直的充要条件、两平面垂直的充要条件两平面(1)(2)垂直的充要条件为A1A2+B1B2+C1C2=0第32页，共75页，编辑于2022年，星期二例5

16、:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面 x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量 n=A,B,C已知平面 x+y+z=0的法向量 n1=1,1,1 所以:n M1M2 且n n1 而 M1M2=1,0,2于是:A (1)+B 0+C (2)=0 A 1+B 1+C 1=0第33页，共75页，编辑于2022年，星期二解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n=2,1,1所以,所求平面方程是2 (x 1)+1 (y 1)+1 (z 1)=0即:2x y z=0第34页，共75页，编辑于2022年，星期二例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：

17、研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角第35页，共75页，编辑于2022年，星期二两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.第36页，共75页，编辑于2022年，星期二练练 习习 题题第37页，共75页，编辑于2022年，星期二第38页，共75页，编辑于2022年，星期二练习题答案练习题答案第39页，共75页，编辑于2022年，星期二 已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量v=X,Y共线，求直线l的方程。解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0，则点M在l上的充要条件为矢量

18、M0M与v共线，即M0M=tv(t为随M而定的实数）又因为M0M=r-r0所以r-r0=tv（1）矢量式参数方程为 r=r0+tv(t+)（2）矢量式参数方程为故得l的 第四节第四节 空间直线及其方程空间直线及其方程第40页，共75页，编辑于2022年，星期二注1：参数t的几何意义：当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。事实上，|MM0|=|tv|=|t|注2：直线的方向矢量：与直线l共线的非零矢量 v 称为直线l的方向矢量。（3）：直线的对称式方程由直线的参数方程（2）中消去参数t可得：对称式方程第41页，共75页，编辑于2022年，星期二定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可

19、看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第42页，共75页，编辑于2022年，星期二1、方位向量的定义：、方位向量的定义：如果一非零向量如果一非零向量s=m,n,p,平平行于一条已知直线，这个向量称行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方位向量方位向量二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程 而而s 的坐标的坐标m,n,p称为直线称为直线L的一组的一组方向数方向数.sM0L第43页，共75页，编辑于2022年，星期二2.2.直线的对称式方程直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方位向量 s=m,n,p

20、所以得比例式(2)称为空间直线的对称式方程或点向式方程./第44页，共75页，编辑于2022年，星期二三、三、空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程得:称为空间直线的参数方程.(3)令令直线的一组直线的一组方向数方向数方位向量的余弦称为直方位向量的余弦称为直线的线的方向余弦方向余弦.第45页，共75页，编辑于2022年，星期二例1:写出直线x+y+z+1=02x y+3z+4=0的对称式方程.解:(1)先找出直线上的一点M0(x0,y0,z0)令z0=0,代入方程组,得x+y+1=02x y+4=0解得:所以,点 在直线上.第46页，共75页，编辑于2022年，星期二(2)再找直线的方位向量

21、 s.由于平面1:x+y+z+1=0的法线向量n1=1,1,1平面2:2x y+3z+4=0的法线向量n2=2,1,3所以,可取=4i j 3k于是,得直线的对称式方程:第47页，共75页，编辑于2022年，星期二例2:求通过点A(2,3,4)与B(4,1,3)的直线方程.解:直线的方位向量可取 AB=2,2,1所以,直线的对称式方程为第48页，共75页，编辑于2022年，星期二设直线和平面的方程分别为一、直线与平面的位置关系的充要条件一、直线与平面的位置关系的充要条件定理1 直线(1)与平面(2)的相互位置关系有下列的充要条件：第49页，共75页，编辑于2022年，星期二1o 相交：AX+B

22、Y+CZ02o 平行AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D03o 重合AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D=0证：将直线方程改与为参数式第50页，共75页，编辑于2022年，星期二将（3）代入（2）并整理得(AX+BY+CZ)t=-(Ax0+By0+Cz0+D)（4）因此，当且仅当AX+BY+CZ0时，（4）有唯一解这时直线与平面有唯一公共点；当且仅当AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D0时方程（4）无解，这时直线与平面有没有公共点；当且仅当AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D=0时方程（4）有无数个解，这时直线在平面内。第51页，共75页，编辑于20

23、22年，星期二定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角二、直线与平面的夹角二、直线与平面的夹角第52页，共75页，编辑于2022年，星期二（1）直线与平面的夹角公式）直线与平面的夹角公式（2）直线与平面的）直线与平面的位置关系：位置关系：/s/n s n第53页，共75页，编辑于2022年，星期二例1:判定下列各组直线与平面的关系.解:L的方位向量 s=2,7,3 的法向量 n=4,2,2s n=(2)4+(7)(2)+3 (2)=0又M0(3,4,0)在直线L上,但不满足平面方程,所以L与 平行,但不重合.第54页，共

24、75页，编辑于2022年，星期二解:L的方位向量 s=3,2,7 的法向量 n=6,4,14 L 与 垂直.第55页，共75页，编辑于2022年，星期二解:L的方位向量 s=3,1,4 的法向量 n=1,1,1s n=3 1+1 1+(4)1=0又L上的点 M0(2,2,3)满足平面方程,所以,L 与 重合.第56页，共75页，编辑于2022年，星期二解解为所求夹角为所求夹角第57页，共75页，编辑于2022年，星期二一、空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系1、位置关系：共面异面相交平行重合2、相关位置的判定：设两直线L1,L2的方程为s1=m1,n1,p1s2=m2,n2,p2第58

25、页，共75页，编辑于2022年，星期二定理1判定空间两直线L1，L2的相关位置的充要条件：（1）异面（2）共面=0相交：m1:n1:p1m2:n2:p2平行：m1:n1:p1=m2:n2:p2(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)重合：m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)第59页，共75页，编辑于2022年，星期二二、两直线的夹角二、两直线的夹角定义:两直线的方位向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角.s1s2已知直线L1,L2的方程s1=m1,n1,p1s2=m2,n2,p2第60页，共75页，编辑于2022年，星期二1.L1与 L2的夹

26、角的余弦为:2.L1垂直于 L2 m1 m2+n1 n2+p1 p2=03.L1平行于 L2 第61页，共75页，编辑于2022年，星期二解:直线L1,L2的方位向量 s1=1,4,1 s2=2,2,1有:所以:第62页，共75页，编辑于2022年，星期二解解设所求直线的方位向量为设所求直线的方位向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程第63页，共75页，编辑于2022年，星期二解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令第64页，共75页，编辑于2022年，星期二代入平面方程得代入平面方

27、程得 ,交点交点取所求直线的方位向量为取所求直线的方位向量为所求直线方程为所求直线方程为第65页，共75页，编辑于2022年，星期二三、两异面直线间的距离与公垂线的方程三、两异面直线间的距离与公垂线的方程1、两异面直线间的距离、两异面直线间的距离设两异面直线L1，L2与其公垂线L0的交点为N1，N2，则L1与L2之间的距离L0L1L2N1N2M1M2s1s2第66页，共75页，编辑于2022年，星期二所以两异面直线L1，L2的距离为第67页，共75页，编辑于2022年，星期二2、两直线的公垂线方程、两直线的公垂线方程 公垂线可看为由过L1上的点M1，以v1,v1v2为方位向量的平面与过L2上的

28、点M2，以v2,v1v2为方位向量的平面的交线，因此，公垂线的方程为：其中X，Y，Z为v1v2 的分量。第68页，共75页，编辑于2022年，星期二例1 求通过点P(1,1,1)且与两直线都相交的直线的方程。解：设所求直线的方向矢为v=X,Y,Z,则直线为因为L与L1，L2都相交，且L1过点M1(0,0,0),方向矢为v1=1,2,3,L2过点M2(1,2,3)，方向矢为v2=2,1,4故第69页，共75页，编辑于2022年，星期二即 X-2Y+Z=0 X+2Y-Z=0解得 X:Y:Z=0:1:2故所求直线的方程为例2 已知两直线试证明它们为异面直线，并求其距离和公垂线的方程。解：第70页，共

29、75页，编辑于2022年，星期二所以L1与L2为异面直线。又v1v2=0,0,2,所以公垂线的方程为即第71页，共75页，编辑于2022年，星期二第八节第八节 平面束平面束一、平面束一、平面束1、有轴平面束：、有轴平面束：空间通过同一条直线的所有平面的集合称为有轴平面束，该直线称为平面束的轴。2、平行平面束、平行平面束 空间平行于同一平面的平面的集合称为平行平面束。定理1 如果两个平面1：A1x+B1y+C1z+D1=02：A2x+B2y+C2z+D2=0第72页，共75页，编辑于2022年，星期二交于一条直线L，则以直线L为轴的有轴平面束的方程为m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x

30、+B2y+C2z+D2)=0其中m,n是不全为零的任意实数。（证略）定理2 如果两个平面1：A1x+B1y+C1z+D1=02：A2x+B2y+C2z+D2=0为平行平面，即A1:A2=B1:B2=C1:C2,则方程m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0表示平行平面束，平面束中的任一平面都与1平行。m,n不全为零，且m:nA1:A2=B1:B2=C1:C2.第73页，共75页，编辑于2022年，星期二推论：由平面：Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束 的方程为Ax+By+Cz+=0其中为任意实数。例1 求通过直线且与平面x+y+z-1=0垂直的平面的方程

31、。解：设所求平面的方程为m(2x+y-2z+1)+n(x+2y-z-2)=0即(2m+n)x+(m+2n)y+(-2m-n)z+(m-2n)=0由两平面垂直的条件，得即(2m+n)+(m+2n)+(-2m-n)=0第74页，共75页，编辑于2022年，星期二即 m+2n=0因此 m:n=2:(-1)所求平面的方程为3x-3z+4=0例2、求与平面3x+y-z+4=0平行且在Oz轴上截距为-2的平面的方程。解：设所求平面的方程为3x+y-z+=0因为平面在Oz轴上的截距为-2，故平面过点(0,0,-2).由此得2+=0 =-2 故所求平面的方程为3x+y-z-2=0第75页，共75页，编辑于2022年，星期二