常微分方程应用.ppt

《常微分方程应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程应用.ppt（86页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、关于常微分方程的应用第一张，PPT共八十六页，创作于2022年6月1 1、找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程、找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:(1)(1)根据物理规律列方程；根据物理规律列方程；解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)(2)利用微元法列方程；利用微元法列方程；比例关系比例关系牛顿第二定律牛顿第二定律确定定解条件确定定解条件 (个性个性 )初始条件初始条件边界条件边界条件可能还要衔接条件可能还要衔接条件4 4、分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 2

2、 2、利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.3 3、求通解求通解,并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解.第二张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三张，PPT共八十六页，创作于2022年6月代入上式解得代入上式解得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则100年后镭的质量为：年后镭的质量为：第四张，PPT共八十六页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：第五张，PPT共八十六页，创作于2022年6月机

3、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六张，PPT共八十六页，创作于2022年6月可得可得 OMA=OAM=例例例例3 3 3 3：探照灯反射镜面设计探照灯反射镜面设计探照灯反射镜面设计探照灯反射镜面设计解解:设光源在坐标原点设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线则反射镜面由曲线 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成 .过曲线上任意点过曲线上任意点 M(x,y)作切线作切线 M T,由光的反射定律由光的反射定律:入射角入射角 =反射角反射角取取x 轴平行于光线反射方向轴平行于光线反射方向,从而从而 AO=OM要求点光源的光线反要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性射出去有良好的方

4、向性 ,试求反射镜面的形状试求反射镜面的形状.而而 AO 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在制造探照灯反射镜面时，在制造探照灯反射镜面时，第七张，PPT共八十六页，创作于2022年6月利用曲线的对称性利用曲线的对称性,不妨设不妨设 y 0,积分得积分得故有故有得得 (抛物线抛物线)于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 于是得微分方程于是得微分方程 :第八张，PPT共八十六页，创作于2022年6月顶到底的距离为顶到底的距离为 h,说明说明说明说明:则将则将这时旋转曲面方程为这时旋转曲面方程为若已知反射镜

5、面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得代入通解表达式得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第九张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （1）分析、简化分析、简化利用微元法求解利用微元法求解第十张，PPT共八十六页，创作于2022年6月(2)列方程列方程 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十一张，PPT共八十六页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐的改变量盐的改变量 =流入的盐量流入的盐量 流出的盐量流出的

6、盐量第十二张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解：解：例例5 5：某车间体积为某车间体积为1200012000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每分钟用一台风量为每分钟20002000立方米的鼓立方米的鼓风机通入含风机通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时同时以同样的风量将混合均匀的空气排出以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机问鼓风机开动开动6 6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为在在 内内,的通入量的通

7、入量的排出量的排出量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十三张，PPT共八十六页，创作于2022年6月的通入量的通入量的排出量的排出量的改变量的改变量6 6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十四张，PPT共八十六页，创作于2022年6月 例例6 6：有一盛满水的漏斗，高为有一盛满水的漏斗，高为10厘米。顶角为厘米。顶角为600,漏斗漏斗下有一横截面积为下有一横截面积为0.5平方厘米的小孔。问：水全部流完需要平方厘米的小孔。问：水全部流完需要多长时间？多长时间？解解由力学知识得由力学知识

8、得,水从孔口水从孔口流出的速度为流出的速度为设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,则漏斗内水的体积的改变量为则漏斗内水的体积的改变量为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十五张，PPT共八十六页，创作于2022年6月又在时间间隔又在时间间隔从小孔流出的水的体积为从小孔流出的水的体积为解得解得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十六张，PPT共八十六页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：设鱼雷的运动轨迹为设鱼雷的运动轨迹为并设经过时间并设经过时间 t 鱼雷

9、位于鱼雷位于点点 P(x,y)，乙舰位于点，乙舰位于点 Q(1,v0t)第十七张，PPT共八十六页，创作于2022年6月则则即即由题意由题意由由(1),(2)消去消去 v0t 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上式两边求导并整理得上式两边求导并整理得并有初始条件并有初始条件第十八张，PPT共八十六页，创作于2022年6月(3)式是不显含式是不显含 y 的，令的，令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3)式化为式化为初始条件为初始条件为解得解得(4)式左端分子有理化得式左端分子有理化得第十九张，PPT共八十六页，创作于2022年6月(4)式

10、式+(5)式得式得初始条件为初始条件为解得解得即乙舰航行到点即乙舰航行到点 时，被时，被鱼雷鱼雷击中。击中。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解：解：垂直方向上的力垂直方向上的力重力：重力：阻力：阻力：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十一张，PPT共八十六页，创作于2022年6月水平方向上的力水平方向上的力阻力：阻力：利用牛顿第二定律得两个初值问题利用牛顿第二定律得两个初值问题解得解得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十二张，PPT共八十六页，创作于2022年

11、6月例例例例9 9 9 9：人造卫星发射问题人造卫星发射问题人造卫星发射问题人造卫星发射问题 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星，欲向宇宙发射一颗人造卫星，为使其摆脱地球引力，为使其摆脱地球引力，初始速度应不小于第二宇宙速度，初始速度应不小于第二宇宙速度，试计算此速度。试计算此速度。设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m,地球质量为地球质量为 M,卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得:(G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题:又设卫星的初速度又设卫星的初速度机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十三张，P

12、PT共八十六页，创作于2022年6月代入原方程代入原方程,得得两边积分得两边积分得利用初始条件利用初始条件,得得因此因此注意到注意到 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十四张，PPT共八十六页，创作于2022年6月为使上式成立，为使上式成立，因为当因为当h=R(在地面上在地面上)时时,引力引力 =重力重力,即即代入代入即得即得这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十五张，PPT共八十六页，创作于2022年6月利用牛顿第二定律求解方程的一些问题利用牛顿第二定律求解方程的一些问题利用牛顿第二定律求解方

13、程的一些问题利用牛顿第二定律求解方程的一些问题另一端离钉子另一端离钉子 12 m,12 m,如不计钉子对链条所产生的摩如不计钉子对链条所产生的摩擦力擦力,求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 .解：解：建立坐标系如图建立坐标系如图.设在时刻设在时刻 t ,链条较长一段链条较长一段下垂下垂 x m,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数此时链条受力此时链条受力由牛顿第二定律由牛顿第二定律,得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1010：一链条挂在一钉子上，启动时一端离钉子一链条挂在一钉子上，启动时一端离钉子8m8m，第二十六张，PPT共八十六页，创作于20

14、22年6月由初始条件得由初始条件得故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得当当 x=20 m 时时,(s)(s)微分方程通解微分方程通解:思考思考:若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 ,定解问题的定解问题的数学模型是什么数学模型是什么?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十七张，PPT共八十六页，创作于2022年6月摩擦力为链条摩擦力为链条摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m1 m 长的重量长的重量长的重量长的重量 时的数学模型为时的数学模型为时的数学模型为时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所此时链条滑下

15、来所需时间为：需时间为：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十八张，PPT共八十六页，创作于2022年6月从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函数关之间的函数关系设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉，在系设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉，在 下沉过程中还受到阻力和浮力作用，设仪器质量为下沉过程中还受到阻力和浮力作用，设仪器质量为 m，体积为体积为B,海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比 ,

16、比例系数为比例系数为 k(k 0),试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程,并求出函数关系式并求出函数关系式 y=y(v).(98(98考研考研 )建立坐标系如图建立坐标系如图.质量质量 m体积体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律重力重力浮力浮力阻力阻力机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例11111111：解解:设时刻设时刻 t ，仪器下沉了，仪器下沉了 y(t)第二十九张，PPT共八十六页，创作于2022年6月初始条件为初始条件为用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得质量质量 m体积体积 B得得机动机动 目录目录 上页上

17、页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意:第三十张，PPT共八十六页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十一张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解：解：由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设经过设经过 t 小时小时,飞机的滑行距离为飞机的滑行距离为 x(t)公里公里第三十二张，PPT共八十六页，创作于2022年6月例例例例13131313：质量为质量为质量为质量为 m 的质点受力的质点受力的质点受力的质点受力F F 的作用沿的作用沿的作用沿的作用沿 ox 轴作直线轴作直线轴作直

18、线轴作直线运动运动,在开始时刻在开始时刻随着时间的增大随着时间的增大 ,此力此力F 均匀地减均匀地减直到直到 t=T 时时F(T)=0.如果开始时质点在原点如果开始时质点在原点,解解:据题意有据题意有t=0 时时设力设力F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数:F=F(t).小小,求质点的运动规律求质点的运动规律.初始速度为初始速度为0,且且对方程两边积分对方程两边积分,得得 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十三张，PPT共八十六页，创作于2022年6月利用初始条件利用初始条件于是于是两边再积分得两边再积分得再利用再利用故所求质点运动规律为故所求质点运动规律为机动

19、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十四张，PPT共八十六页，创作于2022年6月例例1414：设河边点设河边点O的正对岸为点的正对岸为点A,河宽河宽OA=h,一鸭子从点一鸭子从点 A 游向点游向点为平行直线为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点且鸭子游动方向始终朝着点O,如图所示建立坐标系，如图所示建立坐标系，设时刻设时刻 t 鸭子位于点鸭子位于点 P(x,y)，设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)的游速大小为的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程 .O,水流速度大小为水流速度大小为 a,两岸两岸 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

20、解：解：鸭子游速为：鸭子游速为：则由题意则由题意第三十五张，PPT共八十六页，创作于2022年6月定解条件定解条件由此得微分方程由此得微分方程即即(齐次方程齐次方程 )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十六张，PPT共八十六页，创作于2022年6月代入前方程得代入前方程得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得两式相加得两式相加得第三十七张，PPT共八十六页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 鸭子游过的轨迹方程为鸭子游过的轨迹方程为第三十八张，PPT共八十六页

21、，创作于2022年6月例例例例15151515：绳索仅受绳索仅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解:取坐标系如取坐标系如 图图.考察最低点考察最低点 A 到到(:密度密度,s s:弧长弧长)弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件,有有故有故有设有一均匀设有一均匀,柔软的绳索柔软的绳索,两端固定两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点任意点M(x,y)弧段的受力情况弧段的受力情况:A 点受水平张力点受水平张力H HM 点受切向张力点受切向张力T T两式相除得两式相除得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十九张，PPT

22、共八十六页，创作于2022年6月则得定解问题则得定解问题:原方程化为原方程化为两端积分得两端积分得则有则有两端积分得两端积分得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为悬悬 链链 线线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十张，PPT共八十六页，创作于2022年6月则得定解问题则得定解问题:原方程化为原方程化为两端积分得两端积分得则有则有两端积分得两端积分得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为悬悬 链链 线线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十一张，PPT共八十六页，创作于2022年6月当重力与弹性力抵消时当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态

23、物体处于平衡状态,例例1616：质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向若用手向物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如建立坐标系如 图图.设时刻设时刻 t 物体位移为物体位移为 x(t).(1)(1)自由振动情况自由振动情况.弹性恢复力弹性恢复力物体所受的力有物体所受的力有:(虎克定律虎克定律)成正比成正比,方向相反方向相反.建立位移满足的

24、微分方程建立位移满足的微分方程.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十二张，PPT共八十六页，创作于2022年6月据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得则得则得有阻尼自由振动方程有阻尼自由振动方程:阻力阻力(2)(2)强迫振动情况强迫振动情况.若物体在运动过程中还受到位移若物体在运动过程中还受到位移则得则得有阻尼强迫振动方程有阻尼强迫振动方程:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方向上的铅直外力（干扰力）方向上的铅直外力（干扰力）第四十三张，PPT共八十六页，创作于2022年6月例例例例17171717：求物体的运动规律求物体的运动规律.解解:问题

25、归结为求解无阻尼强迫振动方程问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当当p k 时时,齐次通解齐次通解:非齐次特解形式非齐次特解形式:上例中若设物体只受弹性恢复力上例中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰和铅直干扰力力代入（代入（*）可得）可得:（*）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十四张，PPT共八十六页，创作于2022年6月当干扰力的角频率当干扰力的角频率 p 固有频率固有频率 k 时时,自由振动自由振动强迫振动强迫振动 当当 p=k 时时,非齐次特解形式非齐次特解形式:代入（代入（*）可得）可得:方程（方程（*）的解为）的解为 机动机动 目录目录 上页上页 下

26、页下页 返回返回 结束结束 因此原方程因此原方程（*）之解为之解为第四十五张，PPT共八十六页，创作于2022年6月若要利用共振现象若要利用共振现象,应使应使 p 与与 k 尽量靠近尽量靠近,随着随着 t 的增大的增大 ,强迫振动的振幅强迫振动的振幅这时产生共振现象这时产生共振现象 .可无限增大可无限增大,若要避免共振现象若要避免共振现象,应使应使 p 远离固有频率远离固有频率 k;或使或使 p=k.自由振动自由振动强迫振动强迫振动对机械来说对机械来说,共振可能引起破坏作用共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏如桥梁被破坏,电机机座被破坏等电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说但对电磁振荡来说,共振可

27、能起有共振可能起有利作用利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理如收音机的调频放大即是利用共振原理.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十六张，PPT共八十六页，创作于2022年6月例例例例18181818：解解:由由 例例16 知知,位移满足位移满足质量为质量为 m 的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动在无外力作用下做自由运动,初始初始求物体的运动规律求物体的运动规律 立坐标系如图立坐标系如图,设设 t=0 时物体的位置为时物体的位置为取其平衡位置为原点建取其平衡位置为原点建 因此定解问题为因此定解问题为自由

28、振动方程自由振动方程 ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十七张，PPT共八十六页，创作于2022年6月方程方程:特征方程特征方程:特征根特征根:利用初始条件得利用初始条件得:故所求特解故所求特解:方程通解方程通解:1)1)1)1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n n=0)=0)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十八张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解的特征解的特征解的特征解的特征:简谐振动简谐振动 A A:振幅振幅,:初相初相,周期周期:固有频率固有频率 机动机动 目录目录 上页

29、上页 下页下页 返回返回 结束结束 (仅由系统特性确定仅由系统特性确定)第四十九张，PPT共八十六页，创作于2022年6月方程方程:特征方程特征方程:特征根特征根:小阻尼小阻尼:n k临界阻尼临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十张，PPT共八十六页，创作于2022年6月(n k)大阻尼解的特征大阻尼解的特征大阻尼解的特征大阻尼解的特征:1)1)无振荡现象无振荡现象;此图参数此图参数:2)2)对任何初始条件对任何初始条件即随时间即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置的增大物体总趋于平衡位置.机动机动

30、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 返回返回第五十二张，PPT共八十六页，创作于2022年6月(n=k)临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 :任意常数由初始条件定任意常数由初始条件定,最多只与最多只与 t 轴交于一点轴交于一点;即随时间即随时间 t t 的增大物体总趋于平衡位置的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象无振荡现象 ;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 返回返回第五十三张，PPT共八十六页，创作于2022年6月在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0 0例例例例19191919：有一电

31、路有一电路有一电路有一电路 如如如如 图图图图 所示所示所示所示,电阻电阻 R 和电和电 解解:列方程列方程 .已知经过电阻已知经过电阻 R 的电压降为的电压降为R i 经过经过 L L的电压降为的电压降为因此有因此有即即初始条件初始条件:由回路电压定律由回路电压定律:其中电源其中电源求电流求电流感感 L 都是常量都是常量,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十四张，PPT共八十六页，创作于2022年6月 解方程解方程:由初始条件由初始条件:得得利用一阶线性方程解的公式可得利用一阶线性方程解的公式可得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十

32、五张，PPT共八十六页，创作于2022年6月暂态电流暂态电流稳态电流稳态电流 因此所求电流函数为因此所求电流函数为因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义解的意义:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十六张，PPT共八十六页，创作于2022年6月例例2020：人口预测问题：人口预测问题：1)Malthus人口模型人口模型(1798年年)基本假设：基本假设：人口作为时间人口作为时间 t 的函数的函数 x(t)，其变化率与当其变化率与当时的人口数成正比，比例系数时的人口数成正比，比例系数 r 称为人口增长率，其数学称为人口增长率，其数学模型为：模型为：1 1、Mal

33、thus人口模型；人口模型；2 2、阻滞增长模型（、阻滞增长模型（Logistic 模型）。模型）。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十七张，PPT共八十六页，创作于2022年6月实际应用时，把时间离散化，以年为单位，实际应用时，把时间离散化，以年为单位，这模型对有的国家或地区吻合较好，有的却不行，这模型对有的国家或地区吻合较好，有的却不行，其原因是自然资源，环境条件等因素对人口增长其原因是自然资源，环境条件等因素对人口增长起着重大的阻滞作用，为此，对上述模型做合理的起着重大的阻滞作用，为此，对上述模型做合理的修正。修正。人口以指数形式增长。人口以指数形式增长。机

34、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十八张，PPT共八十六页，创作于2022年6月2)2)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型)假设：假设：人口增长率是人口的函数人口增长率是人口的函数 r(x)。设它为线性函数：设它为线性函数：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十九张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解此初值问题得解此初值问题得:Logistic Logistic 函数函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十张，PPT共八十六页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上

35、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分析：分析：第六十一张，PPT共八十六页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十二张，PPT共八十六页，创作于2022年6月作业作业第三节 目录 上页 下页 返回 结束 习题习题5-8(P432)5-8(P432)1；4；6；13；16；19；25；28第六十三张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解解例例1 1通解通解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 备用题：备用题：第六十四张，PPT共八十六页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第

36、六十五张，PPT共八十六页，创作于2022年6月例例2 2：有高为有高为1 1米的半球形容器，水从它的底部小孔米的半球形容器，水从它的底部小孔 流出，流出，小孔横截面积为小孔横截面积为1 1平方厘米平方厘米(如图如图)。开始时容器内盛满了水，。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度求水从小孔流出过程中容器里水面的高度 h(水面与孔口水面与孔口中心间的距离中心间的距离)随时间随时间 t 的变化规律。的变化规律。解：解：由力学知识得由力学知识得,水从孔口流出水从孔口流出的流量为的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度机动机动 目录目录 上页上页 下页

37、下页 返回返回 结束结束 第六十六张，PPT共八十六页，创作于2022年6月设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h 降至降至 ,比较比较(1)和和(2)得得:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十七张，PPT共八十六页，创作于2022年6月即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十八张，PPT共八十六页，创作于2022年6月例例例例3.3.3.3.已知某车间的容积为已知某车间的容积为已知某车间的容积为已知某车间的容积为的新鲜空气的新鲜

38、空气问每分钟应输入多少才能在问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空分钟后使车间空的含量不超过的含量不超过 0.06%?设每分钟应输入设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含时刻车间空气中含则在则在内车间内内车间内两端除以两端除以 并令并令与原有空气很快混合均匀后与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出以相同的流量排出 )得微分方程得微分方程(假定输入的新鲜空气假定输入的新鲜空气 输入输入 ,的改变量为的改变量为 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:第六十九张，PPT共八十六页，创作于2022年6月t=30 t=30 时时解定解问题解定解问题因此每分钟应至少输

39、入因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气新鲜空气 .初始条件初始条件得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 k=?第七十张，PPT共八十六页，创作于2022年6月速度速度大小为大小为 2v,方向指向方向指向A,设设 t 时刻时刻 B 位于位于 (x,y),如如 图图 所示所示,则有则有去分母后两边对去分母后两边对 x 求导求导,得得又由于又由于设物体设物体 A 从点从点(0,1)出发出发,以大小为常数以大小为常数 v 例例例例4 4 4 4：的速度沿的速度沿 y 轴正向运动轴正向运动,物体物体 B 从从 (1,0)出发出发,试建立物体试建立物体 B 的运动轨迹应满的运动

40、轨迹应满足的微分方程及初始条件足的微分方程及初始条件.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:第七十一张，PPT共八十六页，创作于2022年6月代入代入 式得所求微分方程式得所求微分方程:其初始条件为其初始条件为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七十二张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解：解：(1)模型假设模型假设设敌机以匀速设敌机以匀速v1作直线作直线飞行，导弹的飞行方向飞行，导弹的飞行方向始终指向敌机，其速度始终指向敌机，其速度为为 v2，(2)模型构成模型构成如图建立坐标系：初始时刻敌机在原点，导弹在如图建立坐标系：初始时刻敌

41、机在原点，导弹在 A(a,0)，时刻时刻 t，导弹在导弹在 P(x,y)，敌机在敌机在 Q(0,v1t)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七十三张，PPT共八十六页，创作于2022年6月设导弹的飞行路线为设导弹的飞行路线为则则即即两端对两端对 x 求导得求导得又导弹的速度为又导弹的速度为 v2，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由题意由题意第七十四张，PPT共八十六页，创作于2022年6月代入代入(1)得得得初值问题得初值问题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)式两端对式两端对 x 求导得求导得第七十五张，PP

42、T共八十六页，创作于2022年6月(3)模型求解模型求解模型是不显含模型是不显含 y 的，解得的，解得x=0 时导弹击中目标，此时时导弹击中目标，此时则导弹击中目标所用时间为则导弹击中目标所用时间为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七十六张，PPT共八十六页，创作于2022年6月M:地球质量地球质量m:物体质量物体质量例例例例6 6 6 6：静止开始落向地面静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力不计空气阻力).).解解:如如 图图 所示选取坐标系所示选取坐标系.则有定解问题则有定解问题:代入方程得代入方程得积分得

43、积分得一个离地面很高的物体一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由受地球引力的作用由 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七十七张，PPT共八十六页，创作于2022年6月两端积分得两端积分得因此有因此有注意注意“”号号机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七十八张，PPT共八十六页，创作于2022年6月由于由于 y=R 时时由原方程可得由原方程可得因此落到地面因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为时的速度和所需时间分别为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七十九张，PPT共八十六页，创作于2022年6月说明说明

44、说明说明:若此例改为如若此例改为如若此例改为如若此例改为如 图图图图 所示的坐标系所示的坐标系所示的坐标系所示的坐标系,解方程可得解方程可得问问:此时开方根号前应取什么符号此时开方根号前应取什么符号?说明道理说明道理 .则定解问题为则定解问题为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第八十张，PPT共八十六页，创作于2022年6月例例例例7 7 7 7：成正比成正比,求求解解:根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,然后积分然后积分 :得得利用初始条件利用初始条件,得得代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解并设降落伞

45、离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时足够大时机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第八十一张，PPT共八十六页，创作于2022年6月解：解：例例8 8：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第八十二张，PPT共八十六页，创作于2022年6月求质点的运动规求质点的运动规例例例例9 9 9 9：上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比 (比例

46、系数比例系数两边对两边对 s 求导得求导得:牛顿第二定律牛顿第二定律为为 k),),开方如何定开方如何定 +?+?已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动,作用在质点作用在质点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:第八十三张，PPT共八十六页，创作于2022年6月求电容器两两极板间电压求电容器两两极板间电压 例例例例10101010：联组成的电路联组成的电路,其中其中R,L,C 为常数为常数 ,所满足的微分方程所满足的微分方程 .提示提示:设电路中电流为设电路中电流为 i(t),上的电量为上的电量为 q(t),自感电动势为自感电动势为由电学知由

47、电学知根据回路电压定律根据回路电压定律:设有一个电阻设有一个电阻 R ,自感自感L,电容电容 C 和电源和电源 E 串串极板极板机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0 0第八十四张，PPT共八十六页，创作于2022年6月串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源如果电容器充电后撤去电源 (E=0),则得则得 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 化为关于化为关于的方程的方程:故有故有 第八十五张，PPT共八十六页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第八十六张，PPT共八十六页，创作于2022年6月