第五章不定积分精选文档.ppt

《第五章不定积分精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章不定积分精选文档.ppt（82页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第五章不定积分1本讲稿第一页，共八十二页注注2 2：不定积分的结果必须包含一个任意常数：不定积分的结果必须包含一个任意常数C.C.3.不定积分的几何意义：不定积分的几何意义：表示一簇表示一簇积分曲线，每条曲线在其横积分曲线，每条曲线在其横 坐标相同的点处的坐标相同的点处的切线互相平行。切线互相平行。0 xy已知曲线的切线已知曲线的切线斜率求曲线方程斜率求曲线方程就是对斜率求不就是对斜率求不定积分。定积分。本讲稿第二页，共八十二页4.4.不定积分的性质不定积分的性质（1）求不定积分与求导数或微分互为逆运算）求不定积分与求导数或微分互为逆运算1234思考：思考：本讲稿第三页，共八十二页(2)不为零

2、的常数因子可提到积分号外不为零的常数因子可提到积分号外（3）和的积分等于积分）和的积分等于积分 的和的和本讲稿第四页，共八十二页5.基本积分公式表基本积分公式表本讲稿第五页，共八十二页本讲稿第六页，共八十二页本讲稿第七页，共八十二页6.不定积分中的常不定积分中的常 用变换与技巧用变换与技巧（1）分解、折项、同除同乘；）分解、折项、同除同乘；（2）三角变换：倍角、半角、积化和差、）三角变换：倍角、半角、积化和差、本讲稿第八页，共八十二页被积函数中存在复合关系先换元再说被积函数中存在复合关系先换元再说.被积函数中含抽象函数被积函数中含抽象函数 时，设法求时，设法求 的表达式的表达式.本讲稿第九页，

3、共八十二页对三角函数的积分，化为同角同名对三角函数的积分，化为同角同名.被积函数中含有导数的积分被积函数中含有导数的积分分部积分分部积分被积函数中出现被积函数中出现二、基本问题及解法二、基本问题及解法问题问题(一一)与原函数有关的命题与原函数有关的命题运算依据运算依据:原函数的定义、不定积分的定义、原函数的定义、不定积分的定义、不定积分与微分的关系。不定积分与微分的关系。本讲稿第十页，共八十二页运算方法：（运算方法：（1）在单项选择题中求不定积分，选）在单项选择题中求不定积分，选择具有任意常数择具有任意常数C的备选答案求导，若其值等于被的备选答案求导，若其值等于被积函数，则此备选答案为所求；（

4、积函数，则此备选答案为所求；（2）已知不定积）已知不定积分的结果求被积函数，则对不定积分的结果求导分的结果求被积函数，则对不定积分的结果求导本讲稿第十一页，共八十二页分析：由分析：由而而故选故选(B)本讲稿第十二页，共八十二页例例4.则则分析：分析：例5.设的一个原函数为则本讲稿第十三页，共八十二页分析：由于故本讲稿第十四页，共八十二页问题问题(二二)：不定积分的计算：不定积分的计算 计算不定积分，通常要对被计算不定积分，通常要对被 积函数进行适当的积函数进行适当的变换，如代数变换（根式变换、指数对数变换、倒变换，如代数变换（根式变换、指数对数变换、倒代换、分解折项，同乘、同除等）以及三角换、

5、反代换、分解折项，同乘、同除等）以及三角换、反三角变换，将积分化为常规型。三角变换，将积分化为常规型。1.直接积分法直接积分法:有些积分可直接用不定积分的性有些积分可直接用不定积分的性质和基本积分公式求之质和基本积分公式求之;或者进行代数、三角的恒或者进行代数、三角的恒等变换（因式分解、折项、添项、和角、倍角公等变换（因式分解、折项、添项、和角、倍角公式）化为简单函数和的积分。式）化为简单函数和的积分。本讲稿第十五页，共八十二页本讲稿第十六页，共八十二页本讲稿第十七页，共八十二页本讲稿第十八页，共八十二页2.第一换元法第一换元法(凑微分法凑微分法)凑微分法是当被积函数为复合函数凑微分法是当被积

6、函数为复合函数 时，时，将积分变量将积分变量x的微分的微分dx凑成凑成 的形式再用公式。的形式再用公式。本讲稿第十九页，共八十二页本讲稿第二十页，共八十二页本讲稿第二十一页，共八十二页本讲稿第二十二页，共八十二页本讲稿第二十三页，共八十二页例例2.求列不定积分求列不定积分本讲稿第二十四页，共八十二页例3.求下列积分本讲稿第二十五页，共八十二页注：本题也可用换元法，令原式例4.求下列积分本讲稿第二十六页，共八十二页本讲稿第二十七页，共八十二页本讲稿第二十八页，共八十二页3.3.第二换元法第二换元法结果要求变量回代结果要求变量回代类型特点类型特点（1）被积函数中含有根式、且又不便直接积分）被积函数

7、中含有根式、且又不便直接积分;（2）被积函数含指数、对数、三角、反三角函）被积函数含指数、对数、三角、反三角函 数、且又不便用其他方数、且又不便用其他方 法积分法积分.本讲稿第二十九页，共八十二页（2）三角换元）三角换元变量回代用直角三角形变量回代用直角三角形本讲稿第三十页，共八十二页本讲稿第三十一页，共八十二页例例1 1 求求解解令令本讲稿第三十二页，共八十二页例例2 2 求求解解令令本讲稿第三十三页，共八十二页例例 求求解解令令本讲稿第三十四页，共八十二页本讲稿第三十五页，共八十二页例例5.求下列积分求下列积分本讲稿第三十六页，共八十二页例例6.求下列积分（指数换元）求下列积分（指数换元）

8、本讲稿第三十七页，共八十二页例例7.求下列不定积分（三角换元）求下列不定积分（三角换元）例例8.求下列不定积分求下列不定积分本讲稿第三十八页，共八十二页本讲稿第三十九页，共八十二页.分部积分法分部积分法本讲稿第四十页，共八十二页本讲稿第四十一页，共八十二页解（一）解（一）令令显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.例例1 1 求积分求积分解（二）解（二）令令本讲稿第四十二页，共八十二页解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）例例2 2 求积分求积分例例3 3 求积分求积分解解本讲稿第四十三页，共八十二页例例4 4 求积分求积分解解:本讲稿第四十四页，共八十二页例例5

9、5 求积分求积分解解注：本题也先换元后分部积分注：本题也先换元后分部积分.本讲稿第四十五页，共八十二页解解例例6例例7 求求解:令,则本讲稿第四十六页，共八十二页例8.本讲稿第四十七页，共八十二页例9.例10.本讲稿第四十八页，共八十二页例11.设 的一个原函数求解：本讲稿第四十九页，共八十二页5.5.其它积分其它积分本讲稿第五十页，共八十二页例1.求下列积分本讲稿第五十一页，共八十二页本讲稿第五十二页，共八十二页注：利用积化和差公式：本讲稿第五十三页，共八十二页本讲稿第五十四页，共八十二页例2.求下列积分本讲稿第五十五页，共八十二页本讲稿第五十六页，共八十二页4).4).抽象函数的积分抽象函

10、数的积分运算方法运算方法:换元积分法、分部积分法。换元积分法、分部积分法。解解由题设知，由题设知，本讲稿第五十七页，共八十二页本讲稿第五十八页，共八十二页例4.已知 是函数 的一个原函数，求分析：由题设知，从而可直接求出 代入被积函数求不定积分即可的一个原函数，有解：本讲稿第五十九页，共八十二页因此例5.设 ，计算分析：关键是通过换元求出 的表达式解：设本讲稿第六十页，共八十二页本讲稿第六十一页，共八十二页问题问题(三三)不定积分的应用不定积分的应用本讲稿第六十二页，共八十二页本讲稿第六十三页，共八十二页本讲稿第六十四页，共八十二页本讲稿第六十五页，共八十二页本讲稿第六十六页，共八十二页三、三

11、、课后练习课后练习本讲稿第六十七页，共八十二页8.设9.设本讲稿第六十八页，共八十二页10.已知 的一个原函数为，则分析：由题意原式11.提示：原式12.若分析：对等式两边求导，得本讲稿第六十九页，共八十二页13.已知分析：先求14.设分析：等式两边求导，有本讲稿第七十页，共八十二页12.计算下列不定积分计算下列不定积分本讲稿第七十一页，共八十二页本讲稿第七十二页，共八十二页15.提示：考虑被积函数的奇偶性原式本讲稿第七十三页，共八十二页16.提示：令 故本讲稿第七十四页，共八十二页解：分部积分法17.本讲稿第七十五页，共八十二页解：令原式18.本讲稿第七十六页，共八十二页19.计算不定积分提示：（1）（换元、凑微分）20.求提示：原式本讲稿第七十七页，共八十二页求21.已知 的一个原函数为提示：本讲稿第七十八页，共八十二页22.求提示：拆成两项积分，原式=23.求本讲稿第七十九页，共八十二页提示：原式24.求提示：分部积分.原式=本讲稿第八十页，共八十二页25.已知一条曲线上任一点处切线的斜率与该点的横坐标成正比，又知曲线通过点（1，3），并在该点处切线的倾角为 ，求该曲线方程.解：设曲线方程为 和按题设知于是所求曲线方程为本讲稿第八十一页，共八十二页26.设 的原函数为解：由分部积分法，有而由题设可知故本讲稿第八十二页，共八十二页