第7章 函数的导数和积分PPT讲稿.ppt
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1、第7章 函数的导数和积分第1页,共42页,编辑于2022年,星期一7.1 7.1 函数的导数函数的导数n7.1.1 7.1.1 函数导数的解析解函数导数的解析解n使用符号求导函数的调用格式是:n diff(fun,x,n)n其中,fun是函数符号表达式;x是符号自变量;n是求导的阶数(n为1时可以省略)。n例例7-1 7-1 计算函数的一阶和二阶导数。n%求函数导数解析解nsyms x%定义表达式中的符号变量nf=sqrt(cos(x)-x*sin(x);%定义函数表达式ndisp(函数的1阶导数:),f1=diff(f)ndisp(函数的2阶导数:),f2=diff(f,2)第2页,共42页
2、,编辑于2022年,星期一nM文件运行结果:n函数的1阶导数:nf1=n-1/2/cos(x)(1/2)*sin(x)-sin(x)-x*cos(x)n函数的2阶导数:nf2=n-1/4/cos(x)(3/2)*sin(x)2-1/2*cos(x)(1/2)-2*cos(x)+x*sin(x)第3页,共42页,编辑于2022年,星期一n7.1.2 7.1.2 二维函数和参数方程的偏导数二维函数和参数方程的偏导数n1、二维函数的偏导数n使用符号求二维函数fun(x,y)偏导数的函数调用格式是:n diff(diff(fun,x),y)n diff(diff(fun,y),x)n其中,fun是函数
3、符号表达式;x和y是符号自变量n例例7-27-2 计算二维函数的2阶偏导数:第4页,共42页,编辑于2022年,星期一n%求二维函数2阶偏导数解析解nsyms x y%定义表达式中的符号变量nf=x2*y/(x+y)3;%定义二维函数表达式ndisp(对变量x的2阶偏导数:)nd2x=diff(f,x,2)ndisp(对变量y的2阶偏导数:)nd2y=diff(f,y,2)ndisp(函数的2阶偏导数:)ndxy=diff(diff(f,x),y)ndisp(函数的2阶偏导数的简化符号表达式:)nsdxy=simplify(dxy)第5页,共42页,编辑于2022年,星期一nM文件运行结果:n
4、对变量x的2阶偏导数:nd2x=n2*y/(x+y)3-12*x*y/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5n对变量y的2阶偏导数:nd2y=n-6*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5n函数的2阶偏导数:ndxy=n2*x/(x+y)3-6*x*y/(x+y)4-3*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5n函数的2阶偏导数的简化符号表达式:nsdxy=n-x*(x2-7*x*y+4*y2)/(x+y)5第6页,共42页,编辑于2022年,星期一第7页,共42页,编辑于2022年,星期一n2、参数方程的偏导数n设参数方程为 和 ,计算参数方程k阶导数 的函数调用格式是
5、:n diff(f,t,k)/diff(g,t,k)n例例7-37-3 计算参数方程导数 解析解,并计算当 时的数值解。n%求参数方程导数的解析解nsyms t%定义参数方程中的符号变量nx=log(cos(t);%定义参数方程1ny=cos(t)-t*sin(t);%定义参数方程2第8页,共42页,编辑于2022年,星期一ndydx1=diff(y,t)/diff(x,t);ndisp(参数方程的1阶导数的简化符号表达式:)nsdydx1=simplify(dydx1)ndydx2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2);ndisp(参数方程的2阶导数的简化符号表达式:)nsdydx
6、2=simplify(dydx2)n%计算t=pi/3时的二阶导数值(有效数字6位)ns2=vpa(subs(dydx2,t,pi/3),6);ndisp(t=pi/3时的二阶导数值:),s2nM文件运行后得到的计算结果:n参数方程的1阶导数的简化符号表达式:nsdydx1=n(2*sin(t)+t*cos(t)*cos(t)/sin(t)第9页,共42页,编辑于2022年,星期一n参数方程的2阶导数的简化符号表达式:nsdydx2=n-(-3*cos(t)+t*sin(t)*cos(t)2nt=pi/3时的二阶导数值:ns2=n.148275n因此,参数方程一阶和二阶导数的解析解是:第10页
7、,共42页,编辑于2022年,星期一n7.1.3 n7.1.3 n维函数的偏导数维函数的偏导数n1、n维隐函数的偏导数n设n维隐函数为 ,由于变量之间偏导数的关系是n则计算变量 对变量 的偏导数的函数调用格式是:n -diff(f,xj)/diff(f,xi)第11页,共42页,编辑于2022年,星期一n例例7-47-4 计算二维隐函数n偏导数的解析解。n%求二维隐函数偏导数的解析解nsyms x y%定义函数表达式中的符号变量nf=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);%定义二维隐函数表达式ndydx=-diff(f,x)/diff(f,y);%计算二维隐函数的偏导数dy/dxn
8、disp(二维隐函数偏导数的简化符号表达式)nsdydx=simplify(dydx)第12页,共42页,编辑于2022年,星期一nM文件运行后得到的计算结果:n二维隐函数偏导数的简化符号表达式:nsdydx=n-(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y)/x/(x-2)/(2*y+x)n因此,二维隐函数偏导数的解析解是:第13页,共42页,编辑于2022年,星期一n2、jacobion矩阵n设有n个自变量 的m个函数n相应的偏导数构成jacobion矩阵为第14页,共42页,编辑于2022年,星期一n运用MATLAB符号工具箱函数可以直接求出jacobion矩阵n jacob
9、ion(f,x)n其中,f是n维函数,x是n维向量。n该函数用于计算n维函数f对n维向量x的jacobion矩阵,其第i行、第j列的值为。当f为数量时,所得的值为f的梯度。当v为数量时,该函数相当于diff(f,x)。n例例7-57-5 已知三维函数 试计算它的偏导数。第15页,共42页,编辑于2022年,星期一n%计算多维函数的导数nsyms x y znf1=x*y*z;f2=x2-y;f3=x+z;ndisp(多维函数表达式向量:)nf=f1;f2;f3ndisp(多维函数的偏导数矩阵:)nJ=jacobian(f,x y z)nM文件运行结果:n多维函数表达式向量:nf=x*y*zn
10、x2-yn x+z第16页,共42页,编辑于2022年,星期一n多维函数的偏导数矩阵:nJ=n y*z,x*z,x*yn 2*x,-1,0n 1,0,1n因此,三维函数的偏导数矩阵是:第17页,共42页,编辑于2022年,星期一n7.1.4 7.1.4 数值微分数值微分n根据函数在一些离散点的函数值,推算它在某点的导数或某高阶导数的近似值。通常用差商代替微商,或用一能近似代替该函数的较简单的函数(如多项式、样条函数)的相应导数作为所求导数的近似值。针对实验数据X(向量或多维数组)数值微分,由于函数表达式是未知的,需要采用数值解法(中心差分方法的微分算法)。n例例7-67-6 已知一组实验数据如
11、表7-1所示,试计算它的4阶微分。表7-1 实验数据x0.00000.20000.40000.60000.80001.0000y0.39270.56720.69820.79410.86140.9053第18页,共42页,编辑于2022年,星期一n%用中心差分方法的数值微分算法nfunction dy,dx=diff_ctr(y,dt,n)nyx1=y 0 0 0 0 0;yx2=0 y 0 0 0 0;yx3=0 0 y 0 0 0;nyx4=0 0 0 y 0 0;yx5=0 0 0 0 y 0;yx6=0 0 0 0 0 y;nswitch nn case 1n dy=(-diff(yx1
12、)+7*diff(yx2)n+7*diff(yx3)-diff(yx4)/(12*dt);l0=3;n case 2n dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)-15*diff(yx3)+diff(yx4)/(12*dt2);l0=3;第19页,共42页,编辑于2022年,星期一n case 3n dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+7*diff(yx5)-diff(yx6)/(8*dt3);l0=5;n case 4n dy=(-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28*dif
13、f(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*dt3);l0=5;nEndndy=dy(l0+1:end-l0);ndx=(1:length(dy)+l0-2-(n2)*dt;第20页,共42页,编辑于2022年,星期一n%用中心差分方法的数值微分算法调用M文件nsx=0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000;nsy=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053;ny=sy,sx;ndt=0.2;nn=4;ndy,dx=diff_ctr(y,dt,n)nM文件运行结果:ndy=19.2187-2
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