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1、第五讲时间序列分析本讲稿第一页，共六十八页本章主要内容：本章主要内容：扰动项扰动项序列相关的建模：自回归模型（序列相关的建模：自回归模型（ARAR模型）模型）平稳时间序列建型：自回归移动平均模型（平稳时间序列建型：自回归移动平均模型（ARMAARMA模型模型)非非平平稳稳时时间间序序列列建建模模：单单位位根根检检验验、协协整整分分析析、误误差差修修正正模型（模型（ECM)ECM)本讲稿第二页，共六十八页一、扰动项序列相关性的检验和建模一、扰动项序列相关性的检验和建模1 1、序列相关理论、序列相关理论 第第四四章章在在讨讨论论古古典典线线性性回回归归建建模模时时，假假设设扰扰动动项项序序列列u

2、ut t 是是独独立立、无无相相关关的的。对对时时间间序序列列模模型型来来说，无序列相关的基本假设说，无序列相关的基本假设即即为为 ：在在假假设设成成立立的的条条件件下下，使使用用OLSOLS所所得得到到的的估估计计量量是线性无偏最优的。是线性无偏最优的。本讲稿第三页，共六十八页如果如果扰动项扰动项序列序列u ut t表现为：表现为：扰扰动动项项之之间间不不再再是是完完全全相相互互独独立立的的，而而是是存存在在某某种种相相关关性。性。若若扰扰动动项项u ut t序序列列存存在在相相关关，则则回回归归方方程程的的估估计计结结果果不不再再优优良良，OLSOLS估估计计量量不不再再有有效效，计计算算

3、的的标标准准差差不不正正确确，回回归归检检验验不不可可信信。因因此此必必须须采采用用其其他他的的方方法法，解解决决扰扰动动项项不不满满足足回回归归假假设设所所带带来来的的模模型型估估计计问题。问题。本讲稿第四页，共六十八页（1 1）残差图）残差图 对残差作散点图，若残差围绕对残差作散点图，若残差围绕y=0参考线上下随参考线上下随机摆动，说明无序列相关。机摆动，说明无序列相关。2 2、序列相关的检验方法序列相关的检验方法 本讲稿第五页，共六十八页（2 2）相关系数和相关系数和Q Q统计量检验统计量检验 希望自相希望自相关系数和偏相关系数都比较小关系数和偏相关系数都比较小自自自自相相相相关关关关系

4、系系系数数数数：时时间间序序列列u ut t滞滞后后k k阶阶的的自自相相关关系系数数由由下下式式估估计：计：自自相相关关系系数数表表示示扰扰动动项项序序列列u ut t与与邻邻近近数数据据u ut tk k之之间间的的相相关程度。关程度。偏偏偏偏自自自自相相相相关关关关系系系系数数数数：偏偏自自相相关关系系数数是是指指在在给给定定u ut t-1-1，u ut t-2-2，u ut-k-t-k-1 1的条件下，的条件下，u ut t与与u ut-kt-k之间的条件相关性。之间的条件相关性。本讲稿第六页，共六十八页Q Q统计量检验统计量检验构造构造Q Q统计量进行检验：统计量进行检验：其其中中

5、：r rj j是是扰扰动动项项序序列列的的j j阶阶自自相相关关系系数数，T T是是样样本容量，本容量，P P是滞后阶数。是滞后阶数。本讲稿第七页，共六十八页（3 3）DWDW统计量检验统计量检验 Durbin-Watson Durbin-Watson 统计量（简称统计量（简称DWDW统计量）（只能）统计量）（只能）用于检验一阶序列相关，用于检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于残差的线性联系。对于残差u ut t建立一阶自回归方程：建立一阶自回归方程：DWDW统计量检验的统计量检验的原假设：原假设：=0=0，备选假设是，备选假设是 0 0。本讲稿第

6、八页，共六十八页 DW检验适于检验适于一阶一阶序列相关性检验，其取值范围序列相关性检验，其取值范围（0，4），），DW越接近越接近2，序列相关程度越小；越，序列相关程度越小；越接近接近0（或（或4），序列正（或负）相关程度越大，），序列正（或负）相关程度越大，见下图。其中见下图。其中DL、DU根据样本数根据样本数n、变量个数、变量个数k查查表表得出。得出。一阶正自相关 无法判断 无一阶自相关性 无法判断 一阶负自相关 DW检验的缺点检验的缺点:（1）只适于一阶序列相关性的只适于一阶序列相关性的检验；（检验；（2）如果回归方程右边存在滞后因变量，）如果回归方程右边存在滞后因变量，DW检验不再有效

7、。检验不再有效。本讲稿第九页，共六十八页（4）LM检验检验 与与DWDW统计量仅检验残差是否存在一阶自相关不同，统计量仅检验残差是否存在一阶自相关不同，LMLM检验（检验（Lagrange multiplierLagrange multiplier，即拉格朗日乘数检，即拉格朗日乘数检验）可用于检验残差序列是否存在高阶自相关验）可用于检验残差序列是否存在高阶自相关。LM LM检验假设为：检验假设为：原假设：直到原假设：直到p p阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，p p为预先定义好的为预先定义好的整数；整数；备选假设：存在备选假设：存在p p阶自相关。阶自相关。检验步骤为：检验步骤为：本

8、讲稿第十页，共六十八页第一步第一步,估计回归方程，并求出残差估计回归方程，并求出残差u ut t 第二步第二步,建立残差对原始回归因子建立残差对原始回归因子X Xt t 和和1 1p p阶滞后残阶滞后残差的回归方程差的回归方程 构建检验残差回归方程显著性的构建检验残差回归方程显著性的F F统计量和统计量和TRTR2 2统计量。统计量。第三步第三步,根据统计量根据统计量进行残差序列相关性推断，若进行残差序列相关性推断，若:统计量统计量 0.05,Probability0.05,说明不存在序列相说明不存在序列相关关;统计量统计量 临界值，即临界值，即Probability0.05,Probabil

9、ity0.05,说明存在序列相关说明存在序列相关本讲稿第十一页，共六十八页3、残差序列相关性检验在、残差序列相关性检验在Eviews中的实现中的实现 例例1，在在Eviews安安装装路路径径下下的的“cs.wf1”.wf1”数数据据中中中中，列列列列示示示示了了了了1947年年第第1季季度度1995年年第第1季季度度美美国国消消费费CS 和和GDP数数据据（已已消消除除了了季季节节要要素素的的影影响响），要要求求建建立立消消费费CS 和和GDP及及前前一一期期消消费费CS(1）之之间间的的线线性性回回归归方方程程，并并检检验验残残差差序序列列的的相相关关性。性。在在 主主 窗窗 口口 选选 择

10、择：Quick/Equation Quick/Equation Estimation/Estimation/在在SpecificationSpecification框中输入框中输入“CS C CS(-1)GDPCS C CS(-1)GDP”应用最小二乘法应用最小二乘法建立回归方程建立回归方程：t=(1.93)(41.24)(3.23)R2=0.999 D.W.=1.605 本讲稿第十二页，共六十八页 从从DW值值看看，残残差差序序列列相相关关现现象象不不明明显显，但但由由于于回回归归方方程程右右边边存存在在滞滞后后因因变变量量，DW检检验验不不再再有有效效，因因此此采采用用其其他他方方法进行检

11、验。法进行检验。相关系数统计量检验。在方程工具栏中选择：相关系数统计量检验。在方程工具栏中选择：View/Residual Tests/correlogram View/Residual Tests/correlogram Q Q statisticsstatistics 结结果果阅阅读读：EViewsEViews将将显显示示残残差差的的自自相相关关和和偏偏自自相相关关数数值值以以及及对对应应于于高高阶阶序序列列相相关关的的Q Q统统计计量量。如如果果残残差差不不存存在在序序列列相相关关，在在各各阶阶滞滞后后的的自自相相关关和和偏偏自自相相关关值值都都接接近近于于零。所有的零。所有的Q-Q-统

12、计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的P P值。值。本讲稿第十三页，共六十八页LMLM检验。在方程窗口工具栏选择：检验。在方程窗口工具栏选择：View/Residual View/Residual Tests/Serial Tests/Serial correlation correlation LM LM Test/Test/在滞后定义对话框，输入要检验序列的最高阶数在滞后定义对话框，输入要检验序列的最高阶数5 5 结结果果表表明明，残残差差序序列列明明显显的的序序列列相相关关，具具体体地地说说，在在0.10.1的显著性水平上，残差序列存在的显著性水平上，残差序列存在1 1、2 2、

13、3 3阶自相关。阶自相关。本讲稿第十四页，共六十八页4、残差存在序列相关的回归方程的修正残差存在序列相关的回归方程的修正 线线性性回回归归模模型型残残差差序序列列相相关关的的存存在在，会会导导致致模模型型估估计计结结果果的的失失真真。因因此此，必必须须对对残残差差序序列列的的结结构构给给予予正正确确的的描描述述，以以期期消消除除序序列列相相关关对对模模型型估估计计结结果果带带来来的的不不利利影影响响。通通常常可可以以用用自自回回归模型归模型AR(AR(p p)来描述一个平稳序列的自相关结构，定义如下：来描述一个平稳序列的自相关结构，定义如下：本讲稿第十五页，共六十八页其其中中：u ut t 是

14、是第第一一个个回回归归方方程程的的残残差差，参参数数 0 0，1 1，2 2，k k 是是回回归归模模型型的的系系数数。第第二二个个式式子子是是残残差差u ut t的的 p p 阶阶自自回回归归模模型型，参参数数 1 1，2 2，p p 是是 p p 阶阶自自回回归归模模型型的的系系数数，t t 是是残残差差u ut t自自回回归归模模型型的的误误差差项项，并并且且是是均均值为值为0 0，方差为常数的白噪声序列。，方差为常数的白噪声序列。下下面面将将讨讨论论如如何何利利用用AR(AR(p p)模模型型修修正正残残差差的的序序列列相相关关，以及用什么方法来估计消除残差序列相关后的方程参数。以及用

15、什么方法来估计消除残差序列相关后的方程参数。本讲稿第十六页，共六十八页（1 1 1 1）一阶序列相关）一阶序列相关）一阶序列相关）一阶序列相关 为为了了便便于于理理解解，先先讨讨论论一一元元线线性性回回归归模模型型，并并且且残残差差u ut t具有一阶序列相关的情形，即一阶自回归具有一阶序列相关的情形，即一阶自回归AR(1)AR(1)模型：模型：将两式合并得到：将两式合并得到：在在估估计计上上述述模模型型参参数数时时，EviewsEviews将将上上述述线线性性模模型型变换为下列非线性模型采用迭代法进行估计：变换为下列非线性模型采用迭代法进行估计：本讲稿第十七页，共六十八页（2 2 2 2）高

16、阶序列相关）高阶序列相关）高阶序列相关）高阶序列相关 对对于于残残差差序序列列存存在在p p阶阶序序列列相相关关，采采取取与与一一阶阶序序列列相相类类似似的的方方法法，用用Gauss-NewtonGauss-Newton迭迭代代法法求求得得非非线线性性回回归归方方程程的参数。的参数。本讲稿第十八页，共六十八页（3 3 3 3）在在在在EviewsEviews中的实现：中的实现：中的实现：中的实现：例例例例2 2 2 2、在在在在例例例例1 1 1 1的的的的基基基基础础础础上上上上建建建建立立立立ARARARAR模模模模型型型型。前前面面检检验验到到残残差差序序列列存存在在1 1、2 2、3

17、3阶阶序序列列相相关关。这这里里将将采采用用3 3阶阶ARAR模模型型来来修修正正方程残差的自相关性。方程残差的自相关性。在工作文件窗口选择：在工作文件窗口选择：Quick/Equation Quick/Equation Estimation/Estimation/在在SpecificationSpecification框框中中输输入入“cs c gdp cs(-1)ar(1)ar(2)ar(3)”得到以下结果：得到以下结果：本讲稿第十九页，共六十八页CSCSt t=-65.84+0.25*GDP=-65.84+0.25*GDPt t+0.65*CS+0.65*CSt-1t-1t t=(-3.

18、91)=(-3.91)（7.297.29）（13.5813.58）u ut t 0.37*u 0.37*ut-1t-1+0.23*u+0.23*ut-2 t-2+0.22*u0.22*ut-3t-3 t=(4.85)t=(4.85)(3.07)(3.07)(3.03)(3.03)R R2 2=0.999782=0.999782D.W.=1.935376D.W.=1.935376本讲稿第二十页，共六十八页 再对新的残差序列进行再对新的残差序列进行LMLM相关性检验，最终相关性检验，最终得到的结果是修正后的回归方程的残差序列不得到的结果是修正后的回归方程的残差序列不存在相关。因此，用存在相关。因此

19、，用ARAR模型修正后的回归方程模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。的估计结果是有效的。本讲稿第二十一页，共六十八页 本本节节将将不不再再仅仅仅仅以以一一个个回回归归方方程程的的残残差差序序列列为为研研究究对对象象，而而是是直直接接讨讨论论一一个个平平稳稳时时间间序序列列的的建建模模问问题题。在在现现实实中中很很多多问问题题，如如利利率率波波动动、收收益益率率变变化化及及汇汇率率变变化化率率等等通通常常是是一一个个平稳序列，或者通过差分等变换可以化成一个平稳序列。平稳序列，或者通过差分等变换可以化成一个平稳序列。本本 节节 中中 介介 绍绍 的的 ARMAARMA模模 型型(autoreg

20、ressive(autoregressive moving moving average models)average models)可以用来研究这些经济变量的变化规律。可以用来研究这些经济变量的变化规律。二、平稳时间序列的建模二、平稳时间序列的建模ARMA模型模型模型模型 本讲稿第二十二页，共六十八页 如果随机过程如果随机过程 的均值和方差、自协方差都不取决于的均值和方差、自协方差都不取决于t t，则称，则称 ut t 是协方是协方差平稳的或弱平稳的：差平稳的或弱平稳的：注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 u ut t 与与 u ut-t-s s 之间的

21、协方差仅取决于之间的协方差仅取决于s s，即仅与观测值之间的间，即仅与观测值之间的间隔长度隔长度s s有关，而与时期有关，而与时期t t 无关。一般所说的无关。一般所说的“平稳性平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。含义就是上述的弱平稳定义。对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 和和 s 1 1 1 1、平稳性定义、平稳性定义、平稳性定义、平稳性定义本讲稿第二十三页，共六十八页2、平稳时间序列模型种类、平稳时间序列模型种类(1)自回归模型自回归模型自回归模型自回归模型AR(p p)p p 阶自回归模型记作阶自回归模型记作AR(p)AR(p)，可表示为：，可表示为：其其中

22、中：参参数数 c c 为为常常数数；1 1,2 2,p p 是是自自回回归归模模型型系系数数；p p为为自自回回归归模模型型阶阶数数；t t 是是均均值值为为0 0，方方差差为为 2 2 的白噪声序列。的白噪声序列。AR(p)AR(p)也也就就是是用用时时间间序序列列变变量量本本身身的的历历史史数数据据来来表表达达现现在的预测值。在的预测值。本讲稿第二十四页，共六十八页(2)移动平均模型移动平均模型MA(q)q 阶移动平均模型记作阶移动平均模型记作MA(q)，可表示为：，可表示为：ut=t+1 t-1+2 t 2 +q t-q其其中中：参参数数 为为常常数数；参参数数 1,2,q 是是 q 阶

23、阶移移动动平平均均模模型型的的系系数数；t 是是均均值值为为0，方方差差为为 2的白噪声序列。的白噪声序列。MA(q)也也就就是是用用时时间间数数列列变变量量过过去去的的预预测测误误差来表达现在的预测值。差来表达现在的预测值。本讲稿第二十五页，共六十八页(3)ARMA(3)ARMA(p,q)模型模型 ut=c+1 ut-1+2 ut 2 +p ut-p +t+1 t-1+2 t 2 +q t-qARMA(p,q)也也就就是是用用时时间间序序列列变变量量本本身身的的历历史史数数据据和和过过去去的的预预测测误误差差来来表表达达现现在在的的预预测测值值。它它是是 AR(AR(p p)与与MA(q)的

24、的组组合合形形式式，当当 p=0 时时，ARMA(0,q)=MA(q)；当当q=0时，时，ARMA(p,0)=AR(p)。本讲稿第二十六页，共六十八页ARMAARMA模型阶数的判断模型阶数的判断 ：在在实实际际应应用用中中，可可借借助助自自相相关关系系数数和和偏偏自自相关系数去大概判断相关系数去大概判断ARMA(ARMA(p p,q q)模型的阶数：模型的阶数：MA(q)MA(q)模模型型的的自自相相关关系系数数在在 q q 阶阶以以后后是是截截尾尾的的，偏偏自自相相关关系系数数呈呈现现出出某某种种形形式式的的衰衰减减，偏偏相相关关过过程程逐渐趋于零；逐渐趋于零；AR(p)AR(p)模模型型的

25、的自自相相关关系系数数具具有有拖拖尾尾性性，呈呈负负指指数衰减数衰减，偏自相关系数偏自相关系数是是 p p 阶截尾的。阶截尾的。最后确定的模型阶数还要经过反复的试验及检验。最后确定的模型阶数还要经过反复的试验及检验。本讲稿第二十七页，共六十八页3 3、ARMA(ARMA(p p,q q)模型估计模型估计模型估计模型估计 在在在在EviewsEviews中的实现中的实现中的实现中的实现 例例3，“5-7.wf1”数数据据是是1990年年1月月2004年年12月月我我国国居居民民的的消消费费价价格格指指数数CPI（上上年年同同月月=100），试试利利用用ARMA模型模拟其变化规律。模型模拟其变化规

26、律。利利用用后后面面将将要要介介绍绍的的单单位位根根检检验验可可知知CPICPI序序列列是是一一个个非非平平稳的序列，但是它的一阶差分序列变量稳的序列，但是它的一阶差分序列变量 d_ d_cpi=cpi-cpi(-1)=d(cpi)cpi=cpi-cpi(-1)=d(cpi)是平稳的。是平稳的。本讲稿第二十八页，共六十八页在在EviewsEviews中的操作：中的操作：假假如如要要对对d_cpi建建立立ARMA(3,2)ARMA(3,2)模模型型，则则在在工工作作文文件件窗窗口口选选择择;Quick/Equation Quick/Equation Estimation/Estimation/在

27、在SpecificationSpecification框框中中输输入入“d_cpi ar(1)ar(2)ar(3)ma(1)ma(2)d_cpi ar(1)ar(2)ar(3)ma(1)ma(2)”本讲稿第二十九页，共六十八页但但是是，观观察察d_cpid_cpi序序列列的的自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数的的图图形形，可可以以看看出出序序列列的的自自相相关关系系数数是是拖拖尾尾的的，偏偏自自相相关关系系数数在在1 1阶阶截截尾尾，也也可可判判断断d_cpid_cpi序序列列基基本本满满足足AR(1)AR(1)过过程程即即ARMA(1,0)ARMA(1,0)。得得到到以下结果以

28、下结果 t=(5.37)R2=0.142 D.W.=2.065(注注意意：模模型型设设定定 “d_cpi d_cpi ar(1)ar(1)”与与 “d_cpi d_cpi d_cpi(-d_cpi(-1)1)”等效），等效），本讲稿第三十页，共六十八页 前前述述的的AR(AR(p p)、MA(MA(q q)和和ARMA(ARMA(p p,q q)三三个个模模型型只只适适用用于于刻刻画画一一个个平平稳稳序序列列的的自自相相关关性性。一一个个平平稳稳序序列列的的数数字字特特征征，如如均均值值、方方差差和和协协方方差差等等是是不不随随时时间间的的变变化化而而变变化化的的，时时间间序序列列在在各各个个

29、时时间间点点上上的的随随机机性性服服从从一一定定的的概概率率分分布布。也也就就是是说说，对对于于一一个个平平稳稳的的时时间间序序列列可可以以通通过过过过去去时时间间点点上上的的信信息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。但但是是很很多多经经济济序序列列是是不不平平稳稳的的时时间间序序列列，如如文文件件“5-9-“5-9-12.wf12.wf我国我国19781978年年20022002年的年的GDPGDP序列就是非平稳时间序列。序列就是非平稳时间序列。三、非平稳时间序列建模三、非平稳时间序列建模 本讲稿第三十一页，共六十八页中国中国中国中国19

30、781978年年年年20022002年的年的年的年的GDPGDP序列序列序列序列 从上图可以看出，中国的从上图可以看出，中国的GDP 在在19782002年之间具有很年之间具有很强的上升趋势，是非平稳时间序列。强的上升趋势，是非平稳时间序列。本讲稿第三十二页，共六十八页(1)(1)(1)(1)描述非平稳经济时间序列的两种方法描述非平稳经济时间序列的两种方法描述非平稳经济时间序列的两种方法描述非平稳经济时间序列的两种方法一种方法是包含一个确定性时间趋势一种方法是包含一个确定性时间趋势 其其中中 u ut t 是是平平稳稳序序列列；a a+t t 是是线线性性趋趋势势函函数数。这这种种过过程程也也

31、称称为为趋趋趋趋势势势势平平平平稳稳稳稳，因因为为如如果果从从上上式式中中减减去去 a a+t t，结结果果是是一一个个平平稳稳过过程程。注注意意到到像像上上图图一一类类的的经经济济时时间间序序列列常常呈呈指指数数趋趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势。势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势。1.1.概述概述概述概述 本讲稿第三十三页，共六十八页另另一一种种方方法法是是设设定定为为单单单单位位位位根根根根过过过过程程程程，非非平平稳稳序序列列中中有有一一类类序序列列可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑下式：可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑下式：也可写成也

32、可写成 ：其其中中：a a是是常常数数，u ut t是是平平稳稳序序列列，若若u ut t i.i.di.i.d.N N(0,(0,2 2)，且且u ut t 是是一一个个白白噪噪声声序序列列。若若令令a a=0 0，y y0 0=0=0，则则由由上上面面第第一一个个式式子子生生成成的的序序列列 y yt t，有有var(var(y yt t)=)=t t 2 2（t t =1,1,2,2,T T），显显然然违违背背了了时时间间序序列列平平稳稳性性的的假假设设，而而差差分分序序列列是是含含位位移移a a的的随随机机游游走，说明走，说明 y yt t 的差分序列的差分序列 y yt t是平稳序列

33、。是平稳序列。本讲稿第三十四页，共六十八页（2 2 2 2）单整）单整）单整）单整 像像前前述述 y yt t 这这种种非非平平稳稳序序列列，可可以以通通过过差差分分运运算算，得得到到平平稳稳性性的的序序列列称称为为单单单单整整整整(integration)(integration)(integration)(integration)序序序序列列列列。定定义义如下：如下：定定定定义义义义：如如果果序序列列 y yt t，通通过过 d d 次次差差分分成成为为一一个个平平稳稳序序列列，而而这这个个序序列列差差分分 d d 1 1 次次时时却却不不平平稳稳，那那么么称称序序列列 y yt t为为

34、d d 阶阶单单整整序序列列，记记为为 y yt t I I(d d)。特特别别地地，如如果果序序列列 y yt t本本身身是是平平稳稳的的，则则为为零零阶阶单单整整序列，记为序列，记为 y yt t I I(0)(0)。本讲稿第三十五页，共六十八页2 2 2 2、时间序列平稳性检验、时间序列平稳性检验、时间序列平稳性检验、时间序列平稳性检验 检检查查序序列列平平稳稳性性的的标标准准方方法法是是单单位位根根检检验验。有有多多种单位根检验方法，在此将介绍种单位根检验方法，在此将介绍DFDF检验、检验、ADFADF检验。检验。本讲稿第三十六页，共六十八页 其其中中：a a 是是常常数数，t t 是

35、是线线性性趋趋势势函函数数，u ut t N N(0,(0,2 2)。（1 1 1 1）DF DF DF DF检验检验检验检验 为说明为说明DFDF检验的使用，先考虑检验的使用，先考虑3 3种形式的回归模型种形式的回归模型 （1）（2）（3）本讲稿第三十七页，共六十八页如果如果-1-1 11，则，则 y yt t 平稳（或趋势平稳）。平稳（或趋势平稳）。如果如果 =1=1，y yt t 序列是非平稳序列。前面第一个式可写成：序列是非平稳序列。前面第一个式可写成：显然显然 y yt t 的差分序列是平稳的。的差分序列是平稳的。如果如果 的绝对值大于的绝对值大于1 1，序列发散，且其差分序列是非平

36、稳的。，序列发散，且其差分序列是非平稳的。本讲稿第三十八页，共六十八页 因因此此，判判断断一一个个序序列列是是否否平平稳稳，可可以以通通过过检检验验 是否严格小于是否严格小于1 1来实现。也就是说：来实现。也就是说：原假设原假设原假设原假设H H H H0 0 0 0：=1=1=1=1序列不平稳序列不平稳 备选假设备选假设备选假设备选假设H H H H1 1 1 1：1 1 1 临临界界值值，接接受受原原假假设设（序序列列不不平平稳稳)；t t t t =临临临临界界界界值值值值，接受备择假设，即序列平稳。接受备择假设，即序列平稳。接受备择假设，即序列平稳。接受备择假设，即序列平稳。但但是是，

37、Dickey-FullerDickey-Fuller研研究究了了这这个个t t 统统计计量量在在原原假假设设下下已已经经不不再再服服从从 t t 分分布布，它它依依赖赖于于回回回回归归归归的的的的形形形形式式式式(如如如如是是是是否否否否引引引引进进进进了了了了常常常常数项和趋势项数项和趋势项数项和趋势项数项和趋势项)。本讲稿第四十页，共六十八页（2 2）ADFADF检验检验 ADFADF检检验验方方法法通通过过在在回回归归方方程程右右边边加加入入因因变变量量y yt t 的的滞后差分项来控制高阶序列相关滞后差分项来控制高阶序列相关 本讲稿第四十一页，共六十八页 扩展定义将检验扩展定义将检验

38、原原假假设设为为：至至少少存存在在一一个个单单位位根根；备备选选假假设设为为：序序列列不不存存在在单单位位根根。序序列列 y yt t可可能能还还包包含含常常数数项项和和时时间间趋趋势势项项。判判断断 的的估估计计值值 是是接接受受原原假假设设或或者者接接受受备备选选假假设设，进进而判断一个高阶自相关序列而判断一个高阶自相关序列AR(AR(p p)过程是否存在单位根。过程是否存在单位根。类类似似于于DFDF检检验验，MackinnonMackinnon通通过过模模拟拟也也得得出出在在不不同同回回归归模模型型及及不不同同样样本本容容量量下下检检验验 不不同同显显著著性性水水平平的的 t t 统统

39、计计量量的的临临界界值值。这这使使我我们们能能够够很很方方便便的的在在设设定定的的显显著著性性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。本讲稿第四十二页，共六十八页 例例4，根据根据“5-7.wf1”数据，用数据，用ADF检验居检验居民消费价格指数民消费价格指数cpi序列的平稳性序列的平稳性.在用在用ADFADF进行单位根检验前，需要设定序列进行单位根检验前，需要设定序列是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列的图形过画出原序列的图形(打开打开cpi/view/cpi/view/graph/line)gr

40、aph/line)来判断是否要加入常数项或者时间趋来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。从的势项。从的cpicpi图形可以看出含有常数项，但不图形可以看出含有常数项，但不含有时间趋势项。含有时间趋势项。cpicpi序列的序列的ADFADF检验结果如下：检验结果如下：本讲稿第四十三页，共六十八页 检检验验结结果果显显示示，接接受受原原假假设设，即即cpicpi序序列列是是一一个个非平稳的序列。非平稳的序列。再再对对一一阶阶差差分分d_d_cpicpi序序列列进进行行单单位位根根检检验验，ADFADF检检验验结结果果如如下下：一一阶阶差差分分d_d_cpicpi序序列列拒拒绝绝原原假假设设，接接受

41、受d_d_cpicpi序序列列是是平平稳稳序序列列的的结结论论。因因此此，cpicpi序序列列是是1 1阶单整序列，即阶单整序列，即cpicpiI(1)I(1)。本讲稿第四十四页，共六十八页 3.ARIMA 3.ARIMA 3.ARIMA 3.ARIMA模型模型模型模型 (1)ARIMA1)ARIMA1)ARIMA1)ARIMA模型的形式模型的形式模型的形式模型的形式 我我们们已已经经介介绍绍了了对对于于单单整整序序列列能能够够通通过过d d次次差差分分将将非非平平稳稳序序列列转转化化为为平平稳稳序序列列。设设 y yt t 是是 d d 阶阶单单整整序序列列，即即 y yt t I I(d

42、d)，则，则 w wt t 为为平平稳稳序序列列，即即 w wt t I I(0)(0)，于于是是可可以以对对 w wt t 建建立立ARMA(ARMA(p p,q q)模型模型 本讲稿第四十五页，共六十八页 估估计计ARIMA(ARIMA(p p,d d,q q)模模型型同同估估计计ARMA(ARMA(p p,q q)具具体体的的步步骤骤相相同同，唯唯一一不不同同的的是是在在估估计计之之前前要要确确定定原原序序列列的的差差分分阶阶数数d d，对，对 y yt t 进行进行 d d 阶差分。阶差分。因因此此，ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)模模型型区区别别于于ARMA(p,q)

43、ARMA(p,q)之之处处就就在在于于前前者者的的自自回回归归部部分分的的特特征征多多项项式式含含有有d d个个单单位位根根。因因此此，对对一一个个序序列列建建模模之之前前，我我们们应应当当首首先先确确定定该该序序列列是是否否具具有有非非平平稳稳性性，这这就就首首先先需需要要对对序序列列的的平平稳稳性性进进行行检检验验，特特别别是是要检验其是否含有单位根及所含有的单位根的个数。要检验其是否含有单位根及所含有的单位根的个数。本讲稿第四十六页，共六十八页（2 2 2 2）ARIMA(ARIMA(ARIMA(ARIMA(p p p p,d d,q q q q)模型建模的步骤模型建模的步骤模型建模的步

44、骤模型建模的步骤 对原序列进行平稳性检验，确定序列单整阶数对原序列进行平稳性检验，确定序列单整阶数d d；通通过过计计算算能能够够描描述述序序列列特特征征的的一一些些统统计计量量（如如自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数），来来确确定定ARMAARMA模模型型的的阶阶数数 p p 和和 q q；估估计计模模型型的的未未知知参参数数，并并检检验验参参数数的的显显著著性性，以以及及模模型本身的合理性；型本身的合理性；进进行行诊诊断断分分析析，以以证证实实所所得得模模型型确确实实与与所所观观察察到到的的数数据据特特征相符征相符.模模型型的的残残差差序序列列应应当当是是一一个个白白噪噪声声

45、序序列列，用用前前面面的的检检验验序列相关的方法检验。序列相关的方法检验。本讲稿第四十七页，共六十八页 例例5，根根据据“5-9-12.wf1”数数据据，建建立立gdp的的ARIMA（2,1,2）模模型型（建建模模数数据据：19782000年年，2001和和2002年年实实际际数数据据不不参参加加建建模模，留作检验）。留作检验）。前面经过一阶差分检验是平稳的，所以前面经过一阶差分检验是平稳的，所以d 1在在在在EviewsEviewsEviewsEviews中估计中估计中估计中估计ARIMAARIMAARIMAARIMA模型模型模型模型:本讲稿第四十八页，共六十八页在在EviewsEviews

46、中的操作步骤：中的操作步骤：用用ADFADF单单位位根根检检验验发发现现GDPGDP序序列列是是1 1阶阶单单整整序序列列，即即GDPGDPI I(1)(1)；观观察察GDPGDP一一阶阶差差分分序序列列D(GDP,1)D(GDP,1)的的相相关关图图，发发现现自自相相关关系系数数在在2 2阶阶截截尾尾，偏偏自自相相关关系系数数在在2 2阶阶截截尾尾，则则取取模型的阶数模型的阶数 p p=2=2 和和q q=2=2，建立，建立ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)模型；模型；对对gdpgdp估估 计计 ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)模模 型型，在在 模模 型型 设设

47、 定定 中中 输输 入入 “d(gdp,1)d(gdp,1)ar(1)ar(1)ar(2)ar(2)ma(1)ma(1)ma(2)ma(2)”，得得到到以以下下结果：结果：对GDP一阶差分后建模本讲稿第四十九页，共六十八页 GDPt=1.09GDPt-1 0.162GDPt-2+t+0.91 t-1+0.238 t-2 R2=0.87 D.W=1.76对对回回归归模模型型残残差差进进行行序序列列相相关关LMLM检检验验可可以以看看出出模模型型的的残残差差不不存存在在序序列列相相关关。方方法法为为：打打开开方方程程 窗窗 口口/View/Residual/View/Residual Tests/

48、Serial Tests/Serial correlation LM Testcorrelation LM Test。利利用用模模型型进进行行gdpgdp的的拟拟合合和和预预测测。方方法法为为：打打开开方方程程窗窗口口/Forecast/Forecast/Forecast Forecast samplesample设设定定为为“1978 20021978 2002”一阶差分本讲稿第五十页，共六十八页 4 4 4 4、协整方程、协整方程、协整方程、协整方程 在在前前面面介介绍绍的的ARMAARMA模模型型中中要要求求经经济济时时间间序序列列是是平平稳稳的的，但但是是由由于于实实际际应应用用中中大

49、大多多数数时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的，通通常常采采用用差差分分方方法法消消除除序序列列中中含含有有的的非非平平稳稳趋趋势势，使使得得序序列列平平稳稳化化后后建建立立模模型型，这这就就是是上上节节介介绍绍的的ARIMAARIMA模模型型。但但是是变变变变换换换换后后后后的的的的序序序序列列列列限限限限制制制制了了了了所所所所讨讨讨讨论论论论经经经经济济济济问问问问题题题题的的的的范范范范围围围围，并并并并且且且且有有有有时时时时变变变变换换换换后后后后的的的的序序序序列列列列由由由由于于于于不不不不具具具具有有有有直直直直接接接接的的的的经经经经济济济济意意意意义义义义，使使得得化化为

50、为平平稳稳序序列列后后所所建建立立的的时时间间序序列列模模型型不不便便于于解解释。释。本讲稿第五十一页，共六十八页 19871987年年EngleEngle和和GrangerGranger提提出出的的协协整整理理论论及及其其方方法法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽虽虽虽然然然然一一一一些些些些经经经经济济济济变变变变量量量量的的的的本本本本身身身身是是是是非非非非平平平平稳稳稳稳序序序序列列列列，但但但但是是是是，它它它它们们们们的的的的线线线线性性性性组组组组合合合合却却却却有有有有可可可可能能能能是是是是平平平平稳稳稳稳序序序序列列列列。这这这这