第八章模糊数学建模精选文档.ppt

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1、第八章模糊数学建模本讲稿第一页，共三十三页提提 纲纲序言序言基本概念：模糊集和录属函数基本概念：模糊集和录属函数模糊决策：模糊综合评判模糊决策：模糊综合评判本讲稿第二页，共三十三页一、序言一、序言模糊数学是研究什么的？模糊数学是研究什么的？模糊现象：模糊现象：模糊现象：模糊现象：“亦此亦彼亦此亦彼亦此亦彼亦此亦彼”的不分明现象的不分明现象的不分明现象的不分明现象模糊数学模糊数学研究和揭示模糊现象研究和揭示模糊现象的定量处理方法。的定量处理方法。本讲稿第三页，共三十三页用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.1.确定性现象：如水加温到确定性

2、现象：如水加温到100100o oC C就沸腾，这种现象的规律就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；性靠经典数学去刻画；2.2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画性靠概率统计去刻画;3.3.模糊现象：如模糊现象：如“今天天气很热今天天气很热”，“小伙子很帅小伙子很帅”等等，等等，此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。本讲稿第四页，共三十三页秃子悖论秃子悖论:天下天下所有的人都是秃子的人都是秃子设头发根数为设头发根数为n nn=1 n=1 显然显然若若n=

3、kn=k为秃子为秃子则则 n=k+1 n=k+1亦为秃子亦为秃子模糊概念模糊概念模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。本讲稿第五页，共三十三页 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精

4、然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如例如,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.”.尽管这里只提供了一个精确信息尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信男人，而其他信息息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经

5、过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人合分析判断，就可以接到这个人.本讲稿第六页，共三十三页共同特点：模糊概念的外延不清楚。共同特点：模糊概念的外延不清楚。术语来源术语来源Fuzzy:Fuzzy:毛绒绒的，边界不清楚的，模糊的，不分明的毛绒绒的，边界不清楚的，模糊的，不分明的 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用泛而又成功的应用.模糊产品：洗衣机、摄象机、照相机

6、、电饭锅、模糊产品：洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯空调、电梯模糊概念导致模糊现象模糊概念导致模糊现象本讲稿第七页，共三十三页模糊数学的产生与基本思想模糊数学的产生与基本思想产生产生19651965年，年，L.A.ZadehL.A.Zadeh（扎德）（扎德）发表了文章模糊集发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets(Fuzzy Sets，Information and Control,8,338-353)Information and Control,8,338-353)基本思想基本思想用属于程度代替属于或不属于。用属于程度代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为某个人属于秃子的程度为

7、0.8,0.8,另一个人属于秃子的程度为另一个人属于秃子的程度为0.30.3等等.本讲稿第八页，共三十三页 如：考虑年龄集如：考虑年龄集U=0,100U=0,100，A=“A=“年老年老”，A A也是一个也是一个年龄集，年龄集，u=20 u=20 A A，40 40 呢？呢？查德给出了查德给出了“年老年老”集函数刻画集函数刻画:10U50100本讲稿第九页，共三十三页再如，再如，B=“B=“年轻年轻”也是也是U U的一个子集，只是不同的年龄的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：数：102550UB（u）本讲

8、稿第十页，共三十三页二、模糊数学基本概念二、模糊数学基本概念 模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 一般地，为研究某事物的规律性，总是先给定义目一般地，为研究某事物的规律性，总是先给定义目标集，如研究年龄规律，取标集，如研究年龄规律，取00，130130，它表达了问题，它表达了问题的总范围，称为论域的总范围，称为论域,一般记为一般记为 U U。下面在论域下面在论域 U U 上定义模糊集：上定义模糊集：设设 U U 是论域，称映射是论域，称映射A(x)A(x)：U0,1U0,1确定了一个确定了一个U U上的模糊子集上的模糊子集 A A，映射，映射 A(x)A(x)称为称为 A A的的隶属函数，它

9、表示隶属函数，它表示 x x 对对 A A 的隶属程度。的隶属程度。本讲稿第十一页，共三十三页 使使 A(x)=0.5 A(x)=0.5 的点的点 x x 称为称为 A A 的过渡点，的过渡点，此点最具模糊性。此点最具模糊性。当映射当映射 A(x)A(x)只取只取 0 0 或或 1 1 时，模糊子集时，模糊子集A A 就是经典子集，而就是经典子集，而 A(x)A(x)就是它的特征函数。就是它的特征函数。可见经典子集就是模糊子集的特殊情形可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.本讲稿第十二页，共三十三页 例例 设论域设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(18

10、0),x6(190)(单位：单位：cm)表示人的身表示人的身高，那么高，那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属函的隶属函数数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：本讲稿第十三页，共三十三页还可用向量表示法：还可用向量表示法：A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).另外，还可以在另外，还可以在U上建立一个上建立一个“矮个子矮个子”、“中等个子中等个子”、“年轻人年轻人”、“中年人中年人”等模糊子集等模糊子集.从上例可看出：从上例可看出：(1)(1)一个有限论域可以有无限个模糊子集一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典而经典子集是有限的；子

11、集是有限的；(2)(2)一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的观的.本讲稿第十四页，共三十三页模糊集的运算模糊集的运算相等：相等：A=B A=B A(x)=B(x)A(x)=B(x)；包含：包含：A A B B A(x)B(x)A(x)B(x)；并：并：ABAB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)(AB)(x)=A(x)B(x)；交：交：ABAB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)(AB)(x)=A(x)B(x)；余：余：A Ac c的隶属函数为的隶属函数为 A Ac c(x)=1-A(x).(x)=1-A(x).其

12、中，其中，“”“”表示二者之间取小表示二者之间取小 “”“”“”“”表示二者之间取大表示二者之间取大表示二者之间取大表示二者之间取大 本讲稿第十五页，共三十三页 例例 设论域设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集商品集)，在，在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集：A=“商品质量好商品质量好”，B=“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1

13、).可见可见Ac B,Bc A.又又 AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).本讲稿第十六页，共三十三页模糊集的并、交、余运算性质模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；本讲稿第十七页，共三十三页对偶律：

14、对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；对偶律的证明：对于任意的对偶律的证明：对于任意的 x U(论域论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=Ac(x)Bc(x)=AcBc(x)模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即除了排中律以外，即AAc U，AAc .模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，这的特点，这正是模糊性带来的本质特征正是模糊性带来的本质特征.本讲稿第十八页，共三十三页(A)=A=x|A(x)-截集：截集：模糊集的模糊集的-截集截集A 是一

15、个经典集合，由隶属度不是一个经典集合，由隶属度不小于小于 的成员构成的成员构成.例：论域例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集学生集)，他们的成绩依次为他们的成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学习成学习成绩好的学生绩好的学生”的隶属度分别为的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.9,0.95，则，则A0.9 (90分以上者分以上者)=u5,u6,A0.6 (60分以上者分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.本讲稿第十九页，共三十三页隶属函数的确定方法隶属函数的确定方

16、法1.模糊统计方法模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为计比喻为“变动的点变动的点”是否落在是否落在“不动的圈不动的圈”内，则把模糊统计比喻为内，则把模糊统计比喻为“变动的圈变动的圈”是否盖是否盖住住“不动的点不动的点”.2.指派方法指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。表达式。3.借用已有的借用已有的“客观客观”尺度尺度本讲稿第二十页，共三十三页模糊数学方法简介模糊数学方法简介模糊聚类分析模糊聚类分析模糊模型识别模糊模型识别模糊决策模糊决策模糊线性规划模糊线性规划模糊控制模糊控制本讲稿

17、第二十一页，共三十三页三、模糊综合评判方法三、模糊综合评判方法（一）模糊关系（一）模糊关系 1、关系，描写事物之间联系的数学模型之一就是 关系，常用符号“X”来表示。2、模糊关系，是普遍关系的推广，普通关系只能 描述元素间关系的有无，而模糊关系则描述元 素之间关系的多少。例例 在医学上常用公式：体重B（公斤）=身高A（厘 米）100来表示标准体重，这就给出了身高 （A）与体重（B）的普通关系。若 A=140，150，160，170，180 B=40，50，60，70，80 身高与体重的普通关系如表1所示：本讲稿第二十二页，共三十三页表表1：身高与体重的普通关系：身高与体重的普通关系R(A,B)

18、BiAi40506070801401000015001000160001001700001018000001 但人的胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关系应该但人的胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关系应该以接近标准的程度来描述，这就导致产生如表以接近标准的程度来描述，这就导致产生如表2 2所示的模糊关系。所示的模糊关系。它能更深刻、更完整地给出身高与体重的对应关系。它能更深刻、更完整地给出身高与体重的对应关系。本讲稿第二十三页，共三十三页R(A,B)BiAi40 5060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600010.80.2170000.81

19、0.818000.10.20.81表表2 2：身高与体重的模糊关系身高与体重的模糊关系（二）模糊矩阵（二）模糊矩阵 当论域AB为有限集时，模糊关系可以用矩阵形式来表示，该矩阵元素rij，满足 0 rij 1，表集合A中第i个元素和集合B中第个j元素之间的关联程度。此矩阵称为模糊矩阵。本讲稿第二十四页，共三十三页（三）模糊综合评判（三）模糊综合评判 方法与步骤：方法与步骤：（1 1）确定评价指标集合论域）确定评价指标集合论域 U U：U=U1 U=U1，U2U2，UnUn（n n为指标项目数）为指标项目数）（2 2）确定评语集合论域）确定评语集合论域 V V：V=V1 V=V1，V2V2，VmV

20、m（m m为评语等级数）为评语等级数）（3 3）各因素权重）各因素权重A=a1,a2 A=a1,a2，anan（4 4）建立）建立模糊综合评判矩阵模糊综合评判矩阵R=(rij)n m（5 5）综合评判模型）综合评判模型模型模型1 M(1 M(,)主因素决定型主因素决定型 b bj j=max(a=max(ai i r rij ij),1),1in (j=1,2,(j=1,2,m,m)模型模型2 M(.2 M(.,)主因素突出型主因素突出型 b bj j=max(a=max(ai i.r rij ij),1),1in (j=1,2,(j=1,2,m,m)模型模型3 M(.3 M(.,+)加权平均

21、模型加权平均模型 b bj j=(a=(ai i.r rij ij)(j=1,2,)(j=1,2,m,m)本讲稿第二十五页，共三十三页下面以电脑评判为例来说明如何评价。下面以电脑评判为例来说明如何评价。某同学想购买一台电脑，他关心电脑的以下几个指标：某同学想购买一台电脑，他关心电脑的以下几个指标：“运运算功能（数值、图形等）算功能（数值、图形等）”；“存储容量（内、外存）存储容量（内、外存）”；“运运行速度（行速度（CPUCPU、主板等）、主板等）”；“外设配置（网卡、调制调解外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）器、多媒体部件等）”；价格；价格”。于是请同宿舍同学一起去买。于是请同宿舍同

22、学一起去买电脑。电脑。为了数学处理简单，先令为了数学处理简单，先令本讲稿第二十六页，共三十三页=“=“运算功能（数值、图形等）运算功能（数值、图形等）”；=“=“存储容量（内、外存）存储容量（内、外存）”；=“=“运行速度（运行速度（CPUCPU、主板等）、主板等）”；=“=“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；=“=“价格价格”。称称因素集。因素集。本讲稿第二十七页，共三十三页评语集评语集其中其中=“=“很受欢迎很受欢迎”；=“=“较受欢迎较受欢迎”；=“=“不太受欢迎不太受欢迎”；=“=“不受欢迎不受欢迎”；任选几台电脑，请同学和购买者对

23、各因素进行评价。任选几台电脑，请同学和购买者对各因素进行评价。若对于运算功能若对于运算功能 有有20%20%的人认为是的人认为是“很受欢迎很受欢迎”，50%50%的人的人认为认为“较受欢迎较受欢迎”，30%30%的人认为的人认为“不太受欢迎不太受欢迎”，没人认为，没人认为“不不受欢迎受欢迎”，则，则 的单因素评价向量为的单因素评价向量为本讲稿第二十八页，共三十三页同理，对存储容量 ，运行速度 ，外设配置 和价格分别作出单因素评价，得组合成评判矩阵本讲稿第二十九页，共三十三页据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快，外设配据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快，外设配置较齐全，价格便宜，而

24、对运算和存储量则要求不高。于置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要求不高。于是得各因素的权重分配向量：是得各因素的权重分配向量：作模糊变换：作模糊变换：存储容量存储容量 运行速度运行速度 外设配置外设配置 价格价格运算功能运算功能 本讲稿第三十页，共三十三页本讲稿第三十一页，共三十三页本讲稿第三十二页，共三十三页若进一步将结果归一化得：若进一步将结果归一化得：结果表明，用户对这种微机表现为结果表明，用户对这种微机表现为“最受欢迎最受欢迎”的程度为的程度为0.320.32，“较受欢迎较受欢迎”和和“不太受欢迎不太受欢迎”的程度为的程度为0.270.27，“不受欢不受欢迎迎”的程度为的程度为0.140.14。按最大隶属原则，结论是：。按最大隶属原则，结论是：“很受欢很受欢迎迎”。本讲稿第三十三页，共三十三页