第八节函数的连续性与连续函数的运算精选文档.ppt
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1、第八节函数的连续性与连续函数的运算本讲稿第一页,共六十二页一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量本讲稿第二页,共六十二页本讲稿第三页,共六十二页2.连续连续(continuous)的定义的定义定义定义1 1 设函数设函数 在在 内有定义,如内有定义,如果当自变量的增量果当自变量的增量 趋向于零时,对应的函趋向于零时,对应的函数的增量数的增量 也趋向于零,即也趋向于零,即 或或 ,那末就称函数那末就称函数在点在点 连续,连续,称为称为 的连续点的连续点.本讲稿第四页,共六十二页定义定义2 设函数设函数 在在 内有定义内有定义,如果如果函数函数 当当 时的极限存在时的极限存在,且
2、等于它在且等于它在点点 处的函数值处的函数值 ,即即 那末就称函数那末就称函数 在点在点 连续连续.定义定义3设函数设函数 在在 内有定义内有定义,称函数称函数 在点在点 连续连续.本讲稿第五页,共六十二页例例1 1证证本讲稿第六页,共六十二页由定义由定义2可推得:可推得:例例本讲稿第七页,共六十二页3.单侧连续单侧连续定理定理本讲稿第八页,共六十二页例例本讲稿第九页,共六十二页例例2 2解解本讲稿第十页,共六十二页例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,本讲稿第十一页,共六十二页4.连续函数连续函数(continuous function)与连续区间与连续区间本讲稿第十二页,共六十二
3、页在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间上称函数在该区间上连续,或者叫做在该区间上的连续,或者叫做在该区间上的连续函数连续函数.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.基本初等函数在其定义区间内是连续的基本初等函数在其定义区间内是连续的.重要结论重要结论基本初等函数,在其定义域内的每点处的极限都存在且基本初等函数,在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值等于函数在该点处的值.本讲稿第十三页,共六十二页例例3 3证证本讲稿第十四页,共六十二页例例4 4解解本讲稿第十五页,共六十二页例例5 5解解本讲稿第十六页,共六
4、十二页本讲稿第十七页,共六十二页二、函数的间断点二、函数的间断点本讲稿第十八页,共六十二页本讲稿第十九页,共六十二页(1)跳跃间断点跳跃间断点例例1 1解解1.第一类间断点第一类间断点本讲稿第二十页,共六十二页(2)可去间断点可去间断点例例2 2例例3 3本讲稿第二十一页,共六十二页例例2 2解解本讲稿第二十二页,共六十二页注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例2中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点如例如例3中中,本讲稿第二十三页,
5、共六十二页2.第二类间断点第二类间断点(1)无穷间断点无穷间断点例如例如本讲稿第二十四页,共六十二页例例4 4解解本讲稿第二十五页,共六十二页(2)振荡间断点振荡间断点例例5 5解解本讲稿第二十六页,共六十二页注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.本讲稿第二十七页,共六十二页间断点的分类:间断点的分类:第一类第一类间断点间断点第二类第二类间断点间断点间断点间断点可去可去间断点:间断点:跳跃跳跃间断点:间断点:无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点本讲稿第二十八页,共六十二页三、连续函数的运算三、连续函数的运算1、四则运算的连续性、四则运算的连续性
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