第六章 水文统计精选文档.ppt

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1、第六章 水文统计本讲稿第一页，共三十六页6.1 概述 水文现象既有水文现象既有水文现象既有水文现象既有确定性确定性确定性确定性，也有，也有，也有，也有随机性随机性随机性随机性。由此分别发展。由此分别发展出出成因分析成因分析成因分析成因分析和和和和数理统计数理统计数理统计数理统计两种研究途径。两种研究途径。两种研究途径。两种研究途径。水文计算的主要任务就是预估未来长时期内可能出现的水文情势，为工程规划、设计、施工以及运行管理提供水文依据。但未来长期的水文情势，影响因素众多，难以通过成因分析途径进行定量预报，只能基于统计规律，运用数理统计法作出概率预估。本讲稿第二页，共三十六页6.2 概率的基本概

2、念一、事件一、事件 在概率论中，对随机现象的观测叫做在概率论中，对随机现象的观测叫做在概率论中，对随机现象的观测叫做在概率论中，对随机现象的观测叫做随机试验随机试验随机试验随机试验，随机试验的结果称为随机试验的结果称为随机试验的结果称为随机试验的结果称为事件事件事件事件。例如，掷硬币正面朝上；某河流断面年最大洪例如，掷硬币正面朝上；某河流断面年最大洪例如，掷硬币正面朝上；某河流断面年最大洪例如，掷硬币正面朝上；某河流断面年最大洪峰流量峰流量峰流量峰流量Q1000mQ1000mQ1000mQ1000m3 3 3 3/s/s/s/s；年降水量；年降水量X800mmX800mmX800mmX800m

3、m，等等。，等等。，等等。，等等。事件可以分为事件可以分为事件可以分为事件可以分为必然事件必然事件、不可能事件不可能事件不可能事件不可能事件和和随机事件随机事件三种。三种。三种。三种。本讲稿第三页，共三十六页1 1 1 1、必然事件必然事件必然事件必然事件：P(A)=1P(A)=1P(A)=1P(A)=1 随机试验中必然发生的事件称为必然事件。随机试验中必然发生的事件称为必然事件。2 2、不可能事件不可能事件不可能事件不可能事件：P(A)=0P(A)=0 随机试验中不可能发生的事件称为不可能事件。随机试验中不可能发生的事件称为不可能事件。随机试验中不可能发生的事件称为不可能事件。随机试验中不可

4、能发生的事件称为不可能事件。3 3 3 3、随机事件随机事件随机事件随机事件：0P(A)10P(A)10P(A)10P(A)1 随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。随机事件。随机事件。随机事件。本讲稿第四页，共三十六页二、概率二、概率 古典概率事件满足：古典概率事件满足：古典概率事件满足：古典概率事件满足：（1 1）试验的所有可能结果都是等可能的；）试验的所有可能结果都是等可能的；）试验的所有可能结果都是等可能的；）试验的所有可能结果都是等可能的；（2 2）试验

5、的所有可能结果的总数是有限的。）试验的所有可能结果的总数是有限的。）试验的所有可能结果的总数是有限的。）试验的所有可能结果的总数是有限的。古典概率定义：其中：其中：P P(A A)在一定的条件组合下随机事件在一定的条件组合下随机事件A A出现的概率；出现的概率；nn在随机试验中所有可能出现的结果的总数；在随机试验中所有可能出现的结果的总数；k k出现随机事件出现随机事件A A的结果数。的结果数。因为因为00m mn n，所以，所以0P(A)10P(A)1。本讲稿第五页，共三十六页三、频率三、频率 水文事件所有可能出现的结果数是无限的。不符合古典概率公式，水文事件所有可能出现的结果数是无限的。不

6、符合古典概率公式，水文事件所有可能出现的结果数是无限的。不符合古典概率公式，水文事件所有可能出现的结果数是无限的。不符合古典概率公式，其发生概率只能通过多次观测试验来推求，设其发生概率只能通过多次观测试验来推求，设其发生概率只能通过多次观测试验来推求，设其发生概率只能通过多次观测试验来推求，设A A事件在事件在事件在事件在n n次试验中出次试验中出次试验中出次试验中出现了现了现了现了mm次，则次，则次，则次，则A A在在在在n n次试验中的频率为：次试验中的频率为：次试验中的频率为：次试验中的频率为：实践证明，当试验次数实践证明，当试验次数n n较小时，事件的频率很不稳定，但当试验次较小时，事

7、件的频率很不稳定，但当试验次数足够大，频率与概率就十分接近了。数足够大，频率与概率就十分接近了。本讲稿第六页，共三十六页6.3 随机变量及其概率分布一、随机变量一、随机变量 若若若若用用用用X X来来来来表表表表示示示示随随随随机机机机事事事事件件件件的的的的试试试试验验验验结结结结果果果果，则则则则每每每每次次次次试试试试验验验验X X将将将将取取取取得得得得不不不不同同同同的的的的数数数数值值值值，它它它它是是是是带带带带有有有有随随随随机机机机性性性性的的的的，将将将将这这这这种种种种随随随随机机机机试试试试验验验验结结结结果果果果X称称称称为为为为随随机机变变量量。随随机机变变量量可可

8、分分为为两两类类：即即离离离离散散散散型型型型随随随随机机机机变量和变量和变量和变量和连续型连续型随机变量。随机变量。随机变量。随机变量。本讲稿第七页，共三十六页 1 1、离散型随机变量、离散型随机变量、离散型随机变量、离散型随机变量 若随机变量仅能取得一个有限区间内的某些间断若随机变量仅能取得一个有限区间内的某些间断若随机变量仅能取得一个有限区间内的某些间断若随机变量仅能取得一个有限区间内的某些间断的离散数值，则称为离散型随机变量。的离散数值，则称为离散型随机变量。的离散数值，则称为离散型随机变量。的离散数值，则称为离散型随机变量。2 2、连续性随机变量、连续性随机变量、连续性随机变量、连续

9、性随机变量 若随机变量可以取得一个有限区间的任何数值，若随机变量可以取得一个有限区间的任何数值，若随机变量可以取得一个有限区间的任何数值，若随机变量可以取得一个有限区间的任何数值，则称此随机变量为连续型随机变量。则称此随机变量为连续型随机变量。则称此随机变量为连续型随机变量。则称此随机变量为连续型随机变量。二、随机变量的概率分布 随机变量可以是所有可能值中的任何一个值。但是取某一可能值的机会是不同的。即随机变量的取值与其概率有一定的对应关系，一般将这种对应关系称为随机变量的概率分布。本讲稿第八页，共三十六页 对于连续型随机变量，其所有可能取值有无限多个。因对于连续型随机变量，其所有可能取值有无

10、限多个。因对于连续型随机变量，其所有可能取值有无限多个。因对于连续型随机变量，其所有可能取值有无限多个。因此，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率，或此，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率，或此，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率，或此，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率，或研究事件研究事件研究事件研究事件 Xx或或或或 XxXx的概率。的概率。水文上习惯研究事件水文上习惯研究事件水文上习惯研究事件水文上习惯研究事件 Xx Xx 的的的的概率及其分布概率及其分布概率及其分布概率及其分布。设事件Xx 的概率用P(Xx)来表示，它是随着随机变量取值x而变化的，

11、所以P(Xx)是x的函数，称为随机变量x的分布函数，记为F(x)，即：F(x)=P(Xx)F(x)代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。本讲稿第九页，共三十六页 如某站有64年的年雨量观测系列，分组统计结果如下：年降水量范围年降水量范围各组出现次各组出现次数数各组出现的各组出现的频率频率(%)累积出现累积出现次数次数累积频率累积频率(%)900-999900-9991 11.6 1.6 1 11.6 1.6 800-899800-8993 34.7 4.7 4 46.3 6.3 700-799700-7995 57.8 7.8 9 914.1 14.1 600-699600-69912121

12、8.8 18.8 212132.8 32.8 500-599500-599232335.9 35.9 444468.8 68.8 400-499400-499121218.8 18.8 565687.5 87.5 300-399300-3995 57.8 7.8 616195.3 95.3 200-299200-2993 34.7 4.7 6464100.0 100.0 本讲稿第十页，共三十六页年降水量范围年降水量范围累积频率累积频率(%)(%)=900=9001.6 1.6=800=8006.3 6.3=700=70014.1 14.1=600=60032.8 32.8=500=50068.

13、8 68.8=400=40087.5 87.5=300=30095.3 95.3=200=200100.0 100.0 累积频率分布曲线简称“频率曲线”本讲稿第十一页，共三十六页年降水量范年降水量范围围各组出现的各组出现的频率频率(%)(%)200-299200-2994.7 4.7 300-399300-3997.8 7.8 400-499400-49918.8 18.8 500-599500-59935.9 35.9 600-699600-69918.8 18.8 700-799700-7997.8 7.8 800-899800-8994.7 4.7 900-999900-9991.6 1

14、.6 频率密度曲线本讲稿第十二页，共三十六页三、随机变量的统计参数三、随机变量的统计参数三、随机变量的统计参数三、随机变量的统计参数 能说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的能说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的能说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的能说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的统计参数统计参数统计参数统计参数。水文变量的总体是无限的，只能用样本的统计参数来估计总体的水文变量的总体是无限的，只能用样本的统计参数来估计总体的水文变量的总体是无限的，只能用样本的统计参数来估计总体的水文变量的总体是无限的，只能用样本的统计参数来估计总体的统计参数，样本所

15、包含的项数称为统计参数，样本所包含的项数称为统计参数，样本所包含的项数称为统计参数，样本所包含的项数称为样本容量。样本容量。样本容量。样本容量。均值反映了样本系列的平均水平。本讲稿第十三页，共三十六页 均方差反映了系列中各值相对于均值的离散程度。当两个系列的均值相等时，均方差能反映系列的离散程度。但当均值相差较大时，CV能衡量系列的相对离散程度。本讲稿第十四页，共三十六页 偏态系数反映了系列中各值在均值两侧分布的对称程度。Cs=0，称为正态分布；Cs0，称为正偏态分布，表示随机变量大于均值的机会小于50%；Cs0，0。本讲稿第十八页，共三十六页在工程水文计算中需要求指定频率P的设计值xP：在,

16、a0 已知的情况下，xP只取决于P。而只要已知 x、Cv、Cs，、a0就已知了。即只要 x、Cv、Cs确定，xP可由P唯一确定。设计值 设计频率P(标准)x f(x)本讲稿第十九页，共三十六页？已知 x、CV、CS，如何求指定频率P的xP？引入标准化变量，在Cs确定的情况下，p与p的对应关系有表可查。而已知了p，由本讲稿第二十页，共三十六页或 者？已知 x、CV、CS，如何求指定频率P的xP？即已知 x、Cv、Cs，就可以求出与各种P值相应的xP值，也就可以绘出频率曲线了。本讲稿第二十一页，共三十六页二、参数估计二、参数估计 1.矩法 前面介绍的计算 x、CV、CS的方法属于矩法估计总体参数（

17、公式见P144-P146）。此法估计的CV、CS误差较大，因此我国多采用适线法估计参数。而将矩法估计的参数作为适线的初值。本讲稿第二十二页，共三十六页 2.2.适线法 （1 1）经验频率曲线）经验频率曲线）经验频率曲线）经验频率曲线 由样本估算各项样本值的频率，公式很多。目前广由样本估算各项样本值的频率，公式很多。目前广由样本估算各项样本值的频率，公式很多。目前广由样本估算各项样本值的频率，公式很多。目前广泛应用的是泛应用的是泛应用的是泛应用的是WeibullWeibull期望公式。首先将样本由大到小排期望公式。首先将样本由大到小排列：列：样本各项经验频率：其中，m样本由大到小排列的序号；n样

18、本的容量；由xmPm可点绘经验频率曲线的点据。本讲稿第二十三页，共三十六页 （2）经验频率）经验频率 由于频率这个名词比较抽象，水文上经常采用重现期来描述。重现期：某事件在长时期内重复出现的时间间隔的平均数。频率与重现期的关系有两种表示法：当研究暴雨洪水问题时，一般P50%，采用：P=90%的枯水流量，称为10年一遇的枯水流量。本讲稿第二十四页，共三十六页 3.目估适线法目估适线法目估适线法目估适线法（1）计算步骤 样本由大到小排列，由期望公式确定的各项经验频率 (第7章时会介绍了，该法适用于没有特大值的连序系列的经验频率计算)。在频率格纸上点绘经验点据。m从大到小排队的序号；n样本容量。本讲

19、稿第二十五页，共三十六页本讲稿第二十六页，共三十六页 以以矩法计算的参数为适线初值，根据初定的参数值列表 计算频率曲线，看此频率曲线与点据的配合是否理想，不理想则调整参数重新配线直到满意为止。均值就取矩均值就取矩 法计算的值，主要调整法计算的值，主要调整C CV V和和C CS S。P()0.010.112510205075PxP 由矩法初估参数 x、CV，CS通常由地区上CS/CV的比值 确定。讨论CV、CS对频率曲线的影响本讲稿第二十七页，共三十六页 根据频率曲线与经验点据的配合情况选定最终的频率曲线。根据频率曲线与经验点据的配合情况选定最终的频率曲线。具体算法可参见P150例题。本讲稿第

20、二十八页，共三十六页6.5 相关分析一、相关关系的概念 1.完全相关（函数关系）两个变量x与y之间，如果每给定一个x值，就有一个完全确定的y值与之对应，则这两个变量之间的关系就是完全相关（或称函数关系）。2.零相关（没有关系）两变量之间毫无联系或相互独立称为零相关。3.3.统计相关（相关关系）统计相关（相关关系）统计相关（相关关系）统计相关（相关关系）介于上述两者之间的关系称为统计相关。可以通过回归分析建介于上述两者之间的关系称为统计相关。可以通过回归分析建介于上述两者之间的关系称为统计相关。可以通过回归分析建介于上述两者之间的关系称为统计相关。可以通过回归分析建立回归方程，确定自变量与因变量

21、之间的关系。立回归方程，确定自变量与因变量之间的关系。立回归方程，确定自变量与因变量之间的关系。立回归方程，确定自变量与因变量之间的关系。本讲稿第二十九页，共三十六页二、相关的种类 简相关和复相关。每种相关又可分为直线相关和曲线相关。这里只介绍水文计算中应用较多的一元线性回归。三、一元线性回归方程及其系数的最小二乘估计 一元线性回归方程形式如下：y=a+bx式中：x自变量；y因变量；a，b待定系数。a、b需要根据y与x的同期观测资料来确定。本讲稿第三十页，共三十六页 由右图可看出观测点由右图可看出观测点由右图可看出观测点由右图可看出观测点(x xi i,y yi i)与与与与配合直线的离差为：

22、配合直线的离差为：配合直线的离差为：配合直线的离差为：采用最小二乘法估计参数采用最小二乘法估计参数采用最小二乘法估计参数采用最小二乘法估计参数a a、b b，使离差，使离差，使离差，使离差y yi i的平方和达到最小。即求：的平方和达到最小。即求：的平方和达到最小。即求：的平方和达到最小。即求：将a，b 代入 y=a+bx 称为 y 倚 x 的线性回归方程。相关系数：yxyia+bxiy=a+bxyixi本讲稿第三十一页，共三十六页四、一元线性回归方程的应用四、一元线性回归方程的应用四、一元线性回归方程的应用四、一元线性回归方程的应用 在水文计算中，常用相关法来展延资料系列。若设计站的年降水量

23、观测年限较短(1970-1982年)，而参证站的年降水量观测年限较长(1970-1993年)，则可以用两个站同期(1970-1982年)观测的年降水量，建立两者之间的相关关系。并利用参证站(1983-1993年)的年降水量延长得到设计站1983-1993的年降水量。X参X设本讲稿第三十二页，共三十六页五、相关展延的注意事项五、相关展延的注意事项五、相关展延的注意事项五、相关展延的注意事项 1 1、平行观测的资料不可太少、平行观测的资料不可太少、平行观测的资料不可太少、平行观测的资料不可太少 n15n15 2 2、辗转相关问题、辗转相关问题、辗转相关问题、辗转相关问题 不同站之间的问题不同站之间

24、的问题不同站之间的问题不同站之间的问题 DCBA 如图，A、B、C、D站之中，仅A站较长，B、C、D站资料短。现欲由A站将D站插补展延。但直接建立A与D的相关关系时，发现相关性太差，因此建立ABCD的关系。这种做法就叫做辗转相关。因为A、D之间实际上或物理成因上关系很小，所以相关性必然较差。若经ABCD，虽在表面上各个子环节关系很好，但误差始终没变，而是分散了到各个中间环节 之中。如下图：本讲稿第三十三页，共三十六页同一站不同变量之间的问题同一站不同变量之间的问题同一站不同变量之间的问题同一站不同变量之间的问题 如如如如某某某某站站站站QQmm资资资资料料料料较较较较长长长长，而而而而WW3d

25、3d、WW7d7d、WW15d15d、WW30d30d资资资资料料料料少少少少，现现现现欲欲欲欲展展展展延延延延WW30d30d，而而而而采采采采用用用用QQmmWW3d3dWW7d7dWW15d15dWW30d30d，由由由由于于于于相相相相邻邻邻邻时时时时段段段段资资资资料料料料相相相相关关关关性性性性较较较较好好好好，故故故故造造造造成成成成精精精精度度度度很很很很高高高高的的的的假假假假象象象象；而而而而直直直直接接接接建建建建立立立立的的的的QQmmWW30d30d关关关关系微弱，这也是辗转相关。系微弱，这也是辗转相关。系微弱，这也是辗转相关。系微弱，这也是辗转相关。注注注注意意意意

26、：研研研研究究究究两两两两个个个个变变变变量量量量之之之之间间间间的的的的相相相相关关关关，首首首首先先先先看看看看两两两两者者者者在在在在物物物物理理理理成成成成因因因因上上上上是是是是否有联系。否有联系。否有联系。否有联系。ABCD本讲稿第三十四页，共三十六页 3 3、外延幅度、外延幅度、外延幅度、外延幅度 在实测资料范围外进行展延时，误差将增大。在实测资料范围外进行展延时，误差将增大。在实测资料范围外进行展延时，误差将增大。在实测资料范围外进行展延时，误差将增大。当必须展延时，外延幅度不能太大，一般当必须展延时，外延幅度不能太大，一般当必须展延时，外延幅度不能太大，一般当必须展延时，外延幅度不能太大，一般 3030(x(xmaxmax-x xminmin)4、插补的项数问题 相关线上的点反映的是平均情况，也即给定一个x，y只是与x对应的无穷多个值中最可能的一个。因此，由相关方程插补展延得到的系列，数据的变幅减小，系列的CV减小，最终影响成果的精度。要求：n插补n实测；最好n插补n实测/2习题：习题：P164 6-3本讲稿第三十五页，共三十六页本讲稿第三十六页，共三十六页