第六章应力应变分析精选文档.ppt

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1、第六章应力应变分析本讲稿第一页，共六十七页应力应变分析.1 一点处的应力状态.2 应力张量的表示方法.3 平面应力状态.4 应力圆.5 三向应力状态.6 应变状态(与平面应力状态对应的).7 应力应变关系本讲稿第二页，共六十七页.1 一点处的应力状态内力是截面上的分布内力的等效力系载荷集度 称为 上的平均应力将 分解为与 法向和切向的力 ，本讲稿第三页，共六十七页内 力 与 应 力 的 概 念本讲稿第四页，共六十七页则 称为正应力（法向应力）称为剪应力（切应力）M点在截面上的正应力M点在截面上的剪应力本讲稿第五页，共六十七页应力的量纲本讲稿第六页，共六十七页一点处所有各方位截面上的应力的集合称

2、为该点的应力状态，一点处的应力与其集度 以及 的法向 相关,因此可用两个并在一起的矢量 表示,并且在不同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，这在数学上成为张量，描述应力的张量称为应力张量本讲稿第七页，共六十七页.2 应力张量的表示方法取一包围该点的微元体（单元体）其各棱边相互垂直，各棱边的长分别为本讲稿第八页，共六十七页或由于单元体很小其上的应力可看作均匀分布各面上的应力可用3*3的矩阵表示本讲稿第九页，共六十七页（i,j=1,2,3）应力分量,应力张量。按上述约定假设应力的方向对正应力，则是拉应力为正。考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：（不考虑体力偶）本讲稿第十页，共六十七页同理上述关系称为剪应

3、力互等定理设 表示 轴与 轴的方向余弦。本讲稿第十一页，共六十七页则可以证明应力张量 可用来描述一点的应力状态坐标变换矩阵本讲稿第十二页，共六十七页11.3 平面应力状态若单元体上不为零的应力分量都位于同一平面内称为平面应力状态。例如当物体的表面不受力时在表面取出单元体本讲稿第十三页，共六十七页例如外力作用在板平面内的薄板本讲稿第十四页，共六十七页设不为0的应力分量都位于xy平面内本讲稿第十五页，共六十七页一点的应力状态应给出各方位截面上的应力情况，截面 上的应力,其与 轴正向的夹角 以逆时针方向为正初始单元体：本讲稿第十六页，共六十七页显然：由将 代入 本讲稿第十七页，共六十七页由 同理可得

4、(a)(b)本讲稿第十八页，共六十七页本讲稿第十九页，共六十七页(c)式有两个解将(c)式代入(b)式有单元体上剪应力为0的截面称为主平面本讲稿第二十页，共六十七页主平面上的正应力称为主应力主应力为各方程截面上正应力的极值一个为极大值一个为极小值 、以主平面为单元体的各面称为主单元体本讲稿第二十一页，共六十七页本讲稿第二十二页，共六十七页同理可求出 的极值 及本讲稿第二十三页，共六十七页例已知初始单元体上的应力（Mpa）求主单元体上的应力并画出主单元体解：本讲稿第二十四页，共六十七页本讲稿第二十五页，共六十七页11.4 应力圆一点处平面应力状态的图解法，直观各方位的应力情况一目了然。本讲稿第二

5、十六页，共六十七页由(a)(b)本讲稿第二十七页，共六十七页上两式两边平方后相加 本讲稿第二十八页，共六十七页则上式在应力坐标中为一圆称为应力圆莫尔圆圆心坐标：半径：本讲稿第二十九页，共六十七页因此，当 连续变化至 时，坐标 绕应力圆的圆心转一周 应力圆的画法：建应力坐标系，取比例尺,定 点或由圆心,半径画圆 应力圆上一点，由 绕圆心转过 角，对应 截面上的应力 本讲稿第三十页，共六十七页本讲稿第三十一页，共六十七页应 力 圆 画 法本讲稿第三十二页，共六十七页证明：本讲稿第三十三页，共六十七页同理可以证明：及的方位极值点的方位与主平面方位相差对应的应力 本讲稿第三十四页，共六十七页任意两相互

6、垂直截面上的正应力之和由(a)式本讲稿第三十五页，共六十七页例 确定主平面方程画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力单位：本讲稿第三十六页，共六十七页解：本讲稿第三十七页，共六十七页主单元体：本讲稿第三十八页，共六十七页例2 已知应力圆画出初始单元体及其应力主单元体及应力单位解：初始单元体 本讲稿第三十九页，共六十七页半径 主单元体：本讲稿第四十页，共六十七页.5 三向应力状态 将三个主应力按代数量的大小顺序排列 因此根据每一点的应力状态可以找到3个相互垂直的主应力本讲稿第四十一页，共六十七页本讲稿第四十二页，共六十七页三向应力圆 空间任意方程截面上的应力 ，与三向应力圆所

7、夹阴影面中某点 的应力坐标表示。一点处最大的剪应力 本讲稿第四十三页，共六十七页三向应力圆本讲稿第四十四页，共六十七页单向、双向、三向应力状态本讲稿第四十五页，共六十七页例：求 解：在 ，平面内 本讲稿第四十六页，共六十七页三向应力圆如图 本讲稿第四十七页，共六十七页注意：不是同一平面的应力不能用平注意：不是同一平面的应力不能用平面应力状态方法求解。面应力状态方法求解。本讲稿第四十八页，共六十七页.6 应变状态（与平面应力状态对应的）一点的变形有线应变和剪应变 ，单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的变形 在 ，坐标下 本讲稿第四十九页，共六十七页本讲稿第五十页，共六十七页在 ，坐标下，方向到

8、方向夹角 令 ，各个方位应变的情况称为一点的应变状态与平面应力状态的分析类似有 本讲稿第五十一页，共六十七页本讲稿第五十二页，共六十七页应变花：可证明：在应力或变形不是很大的情况 下（线弹性范围）主应力与主应变 的方位是重合的。本讲稿第五十三页，共六十七页虎克定律 比例系数 称为材料的弹性模量 比例系数 称为泊松比.7 应力应变关系1、单向应力状态本讲稿第五十四页，共六十七页2、纯剪应力状态本讲稿第五十五页，共六十七页在线弹性范围内 剪切虎克定律 剪切弹性模量 可证明 本讲稿第五十六页，共六十七页只有 作用时3、广义虎克定律本讲稿第五十七页，共六十七页本讲稿第五十八页，共六十七页对主单元体 例：已知一构件表面一点的应变 求 该点的主应力和最大剪应力本讲稿第五十九页，共六十七页解：设 则 本讲稿第六十页，共六十七页整理后 本讲稿第六十一页，共六十七页例2已知 ，求 设 解：本讲稿第六十二页，共六十七页取一单元体体积 受应力作用变形 变形后的体积 4、体积变形本讲稿第六十三页，共六十七页单位体积的改变量 体积应变 本讲稿第六十四页，共六十七页令 称为三个应力的平均应力 设 称为体积弹性模量 则 或 对非主单元体由于剪应变不改变单元体的体积 本讲稿第六十五页，共六十七页因例：证明：证明：取一纯剪单元（正方形）本讲稿第六十六页，共六十七页本讲稿第六十七页，共六十七页