第十一章压杆稳定精选文档.ppt

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1、第十一章压杆稳定第十一章压杆稳定本讲稿第一页，共六十四页11-1 引言引言11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷11-3 两端非铰支细长压杆的两端非铰支细长压杆的临界临界载荷载荷11-4 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力11-5 压杆的稳定条件与合理设计压杆的稳定条件与合理设计11-6 提高压杆稳定的措施提高压杆稳定的措施本讲稿第二页，共六十四页11-1 引言引言构件的承载能力：构件的承载能力：强度强度刚度刚度稳定性稳定性工程中有些构件具工程中有些构件具有足够的强度、刚有足够的强度、刚度，却不一定能安度，却不一定能安全可靠地工作。全可靠地工作。本讲稿第三页，

2、共六十四页压杆的稳定性试验压杆的稳定性试验一根长一根长2m2m的柳条木，直径的柳条木，直径d=20mm,d=20mm,=10MPa,=10MPa,承压时其承压时其F Fmaxmax=?=?解：若按强度计算解：若按强度计算（实实测测F Fmax max=160N160N，与与计计算算值值相相差近差近2020倍）倍）造造成成计计算算结结果果与与实实测测值值不不符符的的原原因因是是较较长长的的压压杆杆存存在在稳稳定定问问题题，因因而而强强度度计计算算方方法法对对这这类类杆杆件件的的设设计计不不适适用。用。本讲稿第四页，共六十四页不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡微小扰动就使小球远离原微小扰动就使小

3、球远离原来的平衡位置来的平衡位置微小扰动使小球离开原来微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置。后小球回复到平衡位置。一、稳定平衡与不稳定平衡一、稳定平衡与不稳定平衡 本讲稿第五页，共六十四页二、中心受压直杆稳定性分析二、中心受压直杆稳定性分析 举例：举例：一端固定，一端自由的钢板尺受轴向压力作用。一端固定，一端自由的钢板尺受轴向压力作用。FFcr干干扰扰力力去去除除，恢恢复复直直线线干干扰扰力力去去除除，继继续续弯曲弯曲稳稳定定平平衡衡不不稳稳定定平平衡衡直直线线平平衡衡状状态态本讲稿第六页，共六十四页三、稳定与失稳三、稳定与失稳1.1.压杆稳定

4、性：压杆稳定性：压杆维持其原直线平衡状态的能力。压杆维持其原直线平衡状态的能力。2.2.压杆失稳（屈曲）：压杆失稳（屈曲）：压杆丧失其原直线平衡状态，不能稳压杆丧失其原直线平衡状态，不能稳定地工作。定地工作。3.3.临界状态：临界状态：由稳定平衡向不稳定平衡过渡的状态。由稳定平衡向不稳定平衡过渡的状态。4.4.临界载荷临界载荷F Fcrcr：使压杆直线形式的平衡开始由稳定转变为不使压杆直线形式的平衡开始由稳定转变为不稳定的轴向压力值，或使压杆在微弯状态保持平衡的最小轴向稳定的轴向压力值，或使压杆在微弯状态保持平衡的最小轴向压力，称为压杆的临界载荷，用压力，称为压杆的临界载荷，用F Fcrcr表

5、示。即压杆的压力逐渐表示。即压杆的压力逐渐上升上升,使压杆的平衡由稳定平衡状态向不稳定状态的质变使压杆的平衡由稳定平衡状态向不稳定状态的质变的转折点。的转折点。压杆保持直线状态平衡的压杆保持直线状态平衡的最大力；使压杆失稳（不最大力；使压杆失稳（不能保持直线形式的稳定平能保持直线形式的稳定平衡）的最小力。衡）的最小力。本讲稿第七页，共六十四页实实际际压压杆杆所所能能承承受受的的最最大大压压力力必必小小于于理理想想中中心心压压杆杆的的临临界界力力F Fcrcr。理想中心压杆理想中心压杆材料均匀、杆轴为直线材料均匀、杆轴为直线、压力沿压力沿轴线轴线的的弹性弹性压杆压杆 在临界载荷作用下，压杆既可在

6、直线状态下保持平临界载荷作用下，压杆既可在直线状态下保持平衡，也可在微弯状态下保持平衡。所以，当轴向压力达到衡，也可在微弯状态下保持平衡。所以，当轴向压力达到或超过压杆的临界载荷时，压杆将失稳。或超过压杆的临界载荷时，压杆将失稳。5.压杆失稳原因：压杆失稳原因：杆轴线本身不直杆轴线本身不直(初曲率初曲率)；加载偏心；加载偏心；压杆材质不均匀；压杆材质不均匀；外界干扰力。外界干扰力。本讲稿第八页，共六十四页一、临界载荷的欧拉公式一、临界载荷的欧拉公式 1 1、分分析析思思路路：F Fcrcr临临界界状状态态(微微弯弯)弯弯曲曲变变形形挠挠曲曲线线微分方程。微分方程。2 2、推导：、推导：FcrM

7、(x)=-Fcrw w失失稳稳模模式式如如图图xxw LxwFcr11-2 11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷本讲稿第九页，共六十四页 两端铰支细长压杆的临界载荷与截面抗弯刚度两端铰支细长压杆的临界载荷与截面抗弯刚度EIEI成正比，与杆件长度平方成反比。成正比，与杆件长度平方成反比。在推导过程中，运用了在推导过程中，运用了边界条件边界条件，说明，说明临界力与两端支座条件有关，惯性矩临界力与两端支座条件有关，惯性矩I I应为压杆应为压杆横截面的最小惯性矩横截面的最小惯性矩I Iminmin。两端铰支细长压杆临界状态时的挠曲线为一正弦曲线，最大挠。两端铰支细长压杆临界状

8、态时的挠曲线为一正弦曲线，最大挠度或幅值度或幅值A A则取决于压杆微弯的程度。由此可见，压杆在临界状态时的平衡，是一种有条件的随遇平则取决于压杆微弯的程度。由此可见，压杆在临界状态时的平衡，是一种有条件的随遇平衡，微弯程度虽然可以任意，但挠曲轴形状一定。衡，微弯程度虽然可以任意，但挠曲轴形状一定。适用条件：两端适用条件：两端铰支的理想压杆铰支的理想压杆;线弹性，小变形线弹性，小变形本讲稿第十页，共六十四页问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下如果问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下如果失稳，它朝哪个方向弯？失稳，它朝哪个方向弯？y=f(x)yzxxy平面内弯z=f(x)yxxz平面内弯z绕绕z

9、z轴转动轴转动截面绕截面绕y y轴转动轴转动本讲稿第十一页，共六十四页压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲（绕哪个轴转动）矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲（绕哪个轴转动）？思思 考：考：zyhbFFhb I I I I如何确定如何确定如何确定如何确定？本讲稿第十二页，共六十四页xyzhb所以矩形截面压杆首先在所以矩形截面压杆首先在xzxz平面内失稳弯曲，平面内失稳弯曲，（即绕（即绕 y y 轴转动）轴转动）FFFF本讲稿第十三页，共六十四页例例 图示结构，图示结构，、两杆截面和材料相同，两杆截面和材料相同，为细为细

10、 长压杆长压杆。确定使载荷。确定使载荷F F为最大值时的为最大值时的角（设角（设 0/20/2）。）。Fl本讲稿第十四页，共六十四页Fl将式将式(2)(2)除以式（除以式（1 1）便得：）便得：本讲稿第十五页，共六十四页二、小绕度理论与理想压杆模型的实际意义二、小绕度理论与理想压杆模型的实际意义nP322图11-6n直线AG与曲线AB的交点称为临界点，相应之载荷即为临界载荷。临界点也称分支点，从该点开始，出现两种平衡形态。按大挠度理论，当压杆处于临界状态时，其唯一的平衡形态是直线，而非微弯。n在A点附近的很小一段范围内，可以近似地用水平线代替曲线。从力学上，当F=Fcr时，压杆既可在直线位置保

11、持平衡，也可在任何微弯位置保持平衡。由此可见，以“微弯平衡”作为临界状态的特征，并根据挠曲轴近似微分方程确定临界载荷的方法，是利用小变形对大挠度理论的一种合理简化，它不仅正确，而且，由于求解简单，更为实用。n曲线AB在A点附近极为平坦，因此，当轴向压力F略高于临界值Fcr时，挠度即急剧增长。由此可见，大挠度理论更鲜明地说明了失稳的危险性。本讲稿第十六页，共六十四页一、一端固定、一端自由的压杆一、一端固定、一端自由的压杆一、一端固定、一端自由的压杆一、一端固定、一端自由的压杆固定端固定端=0=0，与两端铰支压杆的中点，与两端铰支压杆的中点情况一致，对称延长情况一致，对称延长-相当长度相当长度为（

12、为（2 2l）lF11-3 11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷两端非铰支细长压杆的临界载荷方法：方法：1 1、采用与上述同样的方法，边界、采用与上述同样的方法，边界 条件不同条件不同2 2、类比法、类比法本讲稿第十七页，共六十四页二、两端固定的压杆二、两端固定的压杆二、两端固定的压杆二、两端固定的压杆挠曲线：分成三段，两拐点与两端挠曲线：分成三段，两拐点与两端 相相距均为距均为l l/4/4中间段与两端铰支时一样，中间段与两端铰支时一样，相当相当长度为长度为l l/2/2Fl/4l/4l/2本讲稿第十八页，共六十四页3 3 3 3、一端固定，一端铰支的压杆、一端固定，一端铰支的压杆、一端固

13、定，一端铰支的压杆、一端固定，一端铰支的压杆0.3l0.7l挠曲线：分成二段，拐点与一端挠曲线：分成二段，拐点与一端距离为距离为0.7l较长的段与两端铰支时一样，较长的段与两端铰支时一样，相相当长度为当长度为0.7l统一表达式：统一表达式：-相当长度系数，代表支持相当长度系数，代表支持方式对临界载荷的影响。方式对临界载荷的影响。l称压杆称压杆的相当长度或有效长度，即相当的两的相当长度或有效长度，即相当的两端铰支压杆的长度，或压杆挠曲轴拐端铰支压杆的长度，或压杆挠曲轴拐点间的距离。点间的距离。F本讲稿第十九页，共六十四页Fl/4l/4l/2F0.3l0.7lFllF欧拉临界压力公式的统一表达式：

14、欧拉临界压力公式的统一表达式：本讲稿第二十页，共六十四页F Fcrcr为维持微弯平衡状态最小的压力为维持微弯平衡状态最小的压力各方向约束情况相同时：各方向约束情况相同时：乘积乘积 l称为压杆的相当长度或有效长度。称为压杆的相当长度或有效长度。为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的影响。为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的影响。I II Iminmin 最小形心主惯性矩最小形心主惯性矩各方向约束情况不同时：各方向约束情况不同时：使使F Fcrcr最最小小的的方方向向为为实实际际弯弯曲曲方方向向，I I为为挠挠曲曲时时横横截截面对其中性轴的惯性矩。面对其中性轴的惯性矩。如如销销孔孔类

15、类铰铰链链，即即所所谓谓的的柱柱状状铰铰。约约束束特特点点为为：在在垂垂直直于于轴轴销销的的平平面面内内，轴轴销销对对杆杆的的约约束束相相当当于于铰铰支支；而而在在轴轴销销平平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。本讲稿第二十一页，共六十四页例：例：图示各细长压杆材料和截面均相同，试问哪一根杆图示各细长压杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，能承受的压力最大，哪一根的最小？哪一根的最小？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因为因为又又可知可知杆（杆（1 1）能承受的压力最小，最先失稳；）能承受的压力最小，最先失稳；杆（杆（3 3）能承受的压力

16、最大，最稳定。）能承受的压力最大，最稳定。本讲稿第二十二页，共六十四页F aAB a2c解：解：故取故取练习：已知图示压杆练习：已知图示压杆EI,EI,且杆在且杆在B B支承处不能转动支承处不能转动求：临界压力求：临界压力本讲稿第二十三页，共六十四页压杆的临界力压杆的临界力练习练习:求下列细长压杆的临界力。求下列细长压杆的临界力。=1.0，解：解：绕绕 y y 轴，两端铰支轴，两端铰支：=0.7，绕绕 z z 轴，左端固定，右端铰支轴，左端固定，右端铰支：yzhbyzL1L2x本讲稿第二十四页，共六十四页讨论：讨论：1 1、F Fcrcr与与E E、I I、l、有关，即与材料及结构的形式均有关

17、；有关，即与材料及结构的形式均有关；2 2、F Fcrcr与与EIEI成正比，不同的方向成正比，不同的方向EIEI不一样，压杆要求不一样，压杆要求EIEI在各在各方向上尽可能相差不大。方向上尽可能相差不大。3 3、F Fcrcr与与EIEI、l l、有关，同一构件，不同的方向，有关，同一构件，不同的方向，I I不同，不同，不同，视综合情况而定。不同，视综合情况而定。4 4、端约束越强，、端约束越强，F Fcrcr越大，越不易失稳。越大，越不易失稳。5 5、为了保证不同的方向、为了保证不同的方向尽可能相同，端约束用球铰，这尽可能相同，端约束用球铰，这样，各方向有较一致的约束。样，各方向有较一致的

18、约束。6 6、F Fcrcr非外力也非内力，是反映构件承载能力的力学量。非外力也非内力，是反映构件承载能力的力学量。本讲稿第二十五页，共六十四页一、临界应力与柔度一、临界应力与柔度 压杆处于临界状态时横截面上的平均应力，称为压杆处于临界状态时横截面上的平均应力，称为压杆的临压杆的临界应力，界应力，并用并用 crcr表示表示。压杆受临界力压杆受临界力F Fcrcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的临界应力可按衡时，横截面上的临界应力可按 crcr=F=Fcrcr/A/A计算。计算。11-4 11-4 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临

19、界应力 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为的应力为(称为欧拉称为欧拉临界应力临界应力公式公式)称为压杆横截面对中性轴的惯性半径称为压杆横截面对中性轴的惯性半径本讲稿第二十六页，共六十四页称为压杆的柔度（细长比）。综合地反称为压杆的柔度（细长比）。综合地反映了压杆的长度映了压杆的长度l l，支持方式，支持方式 与截面几与截面几何性质何性质i i对对临界应力的影响。临界应力的影响。细长压杆的临界应力，与柔度的平方成反比，细长压杆的临界应力，与柔度的平方成反比，越大，越大，相应的相应的 cr cr 越小，压杆越容易失稳。越

20、小，压杆越容易失稳。若若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压，并按较大者计算压杆的临界应力杆的临界应力 cr cr。本讲稿第二十七页，共六十四页二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据挠曲轴近似微分方程建立的，只有在杆内应欧拉公式是根据挠曲轴近似微分方程建立的，只有在杆内应力力 cr cr P P 的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力计算压杆的临界力 F Fcrcr（或临界应力（或临界应力 cr cr）。）。或或 P

21、 P值仅与弹性模量值仅与弹性模量E E及比例极限及比例极限 P P 有关，有关，P P仅随材料性质而仅随材料性质而异。柔度异。柔度 P P的压杆称大柔度杆。的压杆称大柔度杆。当当 P P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。当当 P P时（时（中、小柔度压杆中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。），不能应用欧拉公式。本讲稿第二十八页，共六十四页右图称为欧拉临界右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。，虚线部分无意义。P P 的大小仅取决于压杆材料的力学的大小仅取决于

22、压杆材料的力学性能。例如，对于性能。例如，对于Q235Q235钢，钢，E=206GPaE=206GPa，P P=200MPa=200MPa，得，得 右图称为欧拉临界应力曲线。右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲实线部分是欧拉公式适用范围的曲线。线。P本讲稿第二十九页，共六十四页对于塑性材料：对于塑性材料：三、临界应力的经验公式三、临界应力的经验公式 工程实际中，常见的压杆的柔度往往小于工程实际中，常见的压杆的柔度往往小于 P即为非细长压即为非细长压杆，其临界应力超过材料的比例极限，属于非弹性稳定问题。杆，其临界应力超过材料的比例极限，属于非弹性稳定问题。当当p ps s时，

23、构件内有明显的较大的变形，而欧拉公式不时，构件内有明显的较大的变形，而欧拉公式不能适用，在这一部分，工程上通常采用经验公式，常见的经验公能适用，在这一部分，工程上通常采用经验公式，常见的经验公式有两种：式有两种：直线型和抛物线型直线型和抛物线型 。1 1、直线型经验公式：、直线型经验公式：当应力达到压缩极限时，压杆强度失效，因此，在使用当应力达到压缩极限时，压杆强度失效，因此，在使用直线公式时，柔度存在一最低界限值直线公式时，柔度存在一最低界限值 0 0：对于脆性材料：对于脆性材料：a a、b b为与材料有关的常数，单位为为与材料有关的常数，单位为MPaMPa，故求出的，故求出的 crcr单位

24、为单位为MPaMPa。对于由合金钢、。对于由合金钢、铝合金、灰口铸铁与松木等材料制作的非细长压杆适用。铝合金、灰口铸铁与松木等材料制作的非细长压杆适用。本讲稿第三十页，共六十四页2 2、临界应力总图、临界应力总图0P1 1）随着）随着的增大，杆件越易发生失稳，的增大，杆件越易发生失稳，是衡量杆件失是衡量杆件失 稳的重要因素；稳的重要因素；2 2）随着）随着的增大，构件失效的性质发生质的变化；的增大，构件失效的性质发生质的变化；3 3）不同的）不同的值，临界应力的计算公式不一样；值，临界应力的计算公式不一样；大柔度杆大柔度杆中柔度杆中柔度杆小小柔柔度度杆杆本讲稿第三十一页，共六十四页4 4）欧拉

25、公式仅适）欧拉公式仅适用于大柔度压杆用于大柔度压杆（细长杆）；（细长杆）；5 5）crcr非内力，非内力，F Fcrcr也也非外力，只是反映材料非外力，只是反映材料性质的量性质的量-压杆的极压杆的极限承载能力（抗失稳的限承载能力（抗失稳的能力）能力）6 6）同一压杆，各个方向上约束不同，）同一压杆，各个方向上约束不同，不一样，以不一样，以大的方向大的方向为基准，在这个方向上最易失去稳定性为基准，在这个方向上最易失去稳定性综上所述，综上所述，P P的压杆属于细长杆或大柔度杆，用欧拉公式计的压杆属于细长杆或大柔度杆，用欧拉公式计算临界应力。算临界应力。0 0 P P的压杆属于中柔度杆，按经验公式计

26、算临的压杆属于中柔度杆，按经验公式计算临界应力。界应力。0 0的压杆属短粗杆，称小柔度杆，按强度问题处理。的压杆属短粗杆，称小柔度杆，按强度问题处理。0P大柔度杆大柔度杆中柔度杆中柔度杆小小柔柔度度杆杆本讲稿第三十二页，共六十四页3 3、抛物线型经验公式：对于由结构钢与低合金结构钢等材料制作、抛物线型经验公式：对于由结构钢与低合金结构钢等材料制作的非细长压杆，可用抛物线型经验公式计算临界应力。的非细长压杆，可用抛物线型经验公式计算临界应力。o o本讲稿第三十三页，共六十四页例例10-410-4：图：图11-1711-17所示连杆，用铬钼钢制成，连杆的横截面面积所示连杆，用铬钼钢制成，连杆的横截

27、面面积A=720mmA=720mm2 2，惯性矩，惯性矩I IZ Z=6.5x10=6.5x104 4mmmm4 4，I Iy y=3.8x10=3.8x104 4mmmm4 4，。试确定，。试确定临界荷载。临界荷载。解：解：1 1、失稳形式判断：、失稳形式判断：在在x-yx-y平面内，平面内，=1=1在在x-zx-z平面内，可取平面内，可取=0.7=0.7在在x-yx-y平面内失稳，平面内失稳，本讲稿第三十四页，共六十四页例例10-410-4：图：图11-1711-17所示连杆，用铬钼钢制成，连杆的横截面面所示连杆，用铬钼钢制成，连杆的横截面面积积A=720mmA=720mm2 2，惯性矩，

28、惯性矩I IZ Z=6.5x10=6.5x104 4mmmm4 4，I Iy y=3.8x10=3.8x104 4mmmm4 4，。试确定，。试确定临界荷载。临界荷载。2 2、临界载荷计算：、临界载荷计算：查表查表10-210-2得：得：属中柔度杆，按直线公式计算属中柔度杆，按直线公式计算本讲稿第三十五页，共六十四页解：解：圆形截面杆：圆形截面杆：练习：练习：截面为圆形，直径为截面为圆形，直径为 d d 两端固定的细长压杆和截面两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为为正方形，边长为d d两端铰支的细长压杆，材料及柔度都相两端铰支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。同，

29、求两杆的长度之比及临界力之比。圆形截面杆：圆形截面杆：本讲稿第三十六页，共六十四页所以所以正方形截面杆：正方形截面杆：由由 1=2 得得练习：练习：截面为圆形，直径为截面为圆形，直径为 d d 两端固定的细长压杆和截两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为面为正方形，边长为d d两端铰支的细长压杆，材料及柔度都两端铰支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。相同，求两杆的长度之比及临界力之比。本讲稿第三十七页，共六十四页练习：练习：截面为圆形，直径为截面为圆形，直径为 d d 两端固定的细长压杆和截两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为面为正方形，边长为d d两端铰支的细

30、长压杆，材料及柔度都相两端铰支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。同，求两杆的长度之比及临界力之比。本讲稿第三十八页，共六十四页一、压杆稳定条件一、压杆稳定条件为保证压杆在轴向压力作用下不致失稳，必须满足：为保证压杆在轴向压力作用下不致失稳，必须满足：式中，式中，F F是压杆的工作荷载，上式表明，为使压杆能正常工作，必是压杆的工作荷载，上式表明，为使压杆能正常工作，必须使压杆的工作应力小于或等于稳定许用应力。须使压杆的工作应力小于或等于稳定许用应力。式中，式中，为稳定安全系数。在选择安全因素时，除应为稳定安全系数。在选择安全因素时，除应遵循确定强度安全因素的一般原则外，

31、还应考虑加载遵循确定强度安全因素的一般原则外，还应考虑加载偏心与压杆初曲等不利因素。偏心与压杆初曲等不利因素。F Fstst为稳定许用压力。为稳定许用压力。则由上式可得：则由上式可得：（11111616）11-5 11-5 压杆稳定条件与合理设计压杆稳定条件与合理设计本讲稿第三十九页，共六十四页 是一个小于是一个小于1的系数，称为稳定系数或折减系数，其的系数，称为稳定系数或折减系数，其值与压杆的柔度及所用的材料有关。值与压杆的柔度及所用的材料有关。则（则（11111616）可表示为：）可表示为：（11111818）用强度条件中的许用应力用强度条件中的许用应力 来表示稳定许用应力来表示稳定许用应

32、力或表示为：或表示为：二、折减系数法二、折减系数法本讲稿第四十页，共六十四页受压杆件稳定计算中的受压杆件稳定计算中的 系数系数由于压杆的稳定性取决于整个杆件的弯曲刚度，因此，在确定压杆的临界荷载或临界应由于压杆的稳定性取决于整个杆件的弯曲刚度，因此，在确定压杆的临界荷载或临界应力时，可不考虑杆件局部削弱力时，可不考虑杆件局部削弱(如铆钉孔或油孔等如铆钉孔或油孔等)的影响，而按未削弱截面计算横截面的惯性的影响，而按未削弱截面计算横截面的惯性矩与截面面积。矩与截面面积。但是，对于受局部削弱的截面，需但是，对于受局部削弱的截面，需进行强度校核：进行强度校核：本讲稿第四十一页，共六十四页解：解：1）计

33、算连杆的柔度）计算连杆的柔度例例10-5 10-5 图图10-2110-21所示圆截面连杆，承受轴向压力所示圆截面连杆，承受轴向压力F F作用，试作用，试校核杆的稳定性。已知校核杆的稳定性。已知F=20.0kNF=20.0kN，连杆外径，连杆外径D=38mmD=38mm，内径，内径d=34mmd=34mm，长，长l=600mml=600mm，材料为硬铝，稳定安全因数，材料为硬铝，稳定安全因数n nstst=2.5=2.5。查表查表10-2得：得：由：由：判定连杆为中柔度杆判定连杆为中柔度杆许用压力许用压力满足稳定性要求满足稳定性要求本讲稿第四十二页，共六十四页三、压杆稳定计算的一般步骤三、压杆

34、稳定计算的一般步骤三、压杆稳定计算的一般步骤三、压杆稳定计算的一般步骤1 1、计算压杆的柔度、计算压杆的柔度4 4、计算构件此时的工作应力、计算构件此时的工作应力5 5、校核压杆的稳定性、校核压杆的稳定性2 2、计算压杆所使用的材料的、计算压杆所使用的材料的P P、0 03 3、依、依选择临界应力选择临界应力crcr的计算公式，确定临界应力的计算公式，确定临界应力由稳定条件可进行三方面的计算：由稳定条件可进行三方面的计算：1 1、稳定校核、稳定校核2 2、确定许可载荷、确定许可载荷3 3、设计截面、设计截面本讲稿第四十三页，共六十四页例：托架，例：托架，ABAB杆是圆管，外径杆是圆管，外径D=

35、50mmD=50mm，内径，内径d=40mm,d=40mm,两端两端为球铰，材料为为球铰，材料为A A3 3钢，钢，E=206GPa,E=206GPa,p p=200MPa=200MPa。若规定。若规定n nstst=3,=3,试确定许可荷载试确定许可荷载F F。解：解：1 1）分析受力分析受力取取CBDCBD横梁研究横梁研究FNABCBBAC1500FD50030o2 2）计算）计算 并求临界荷载并求临界荷载本讲稿第四十四页，共六十四页判别柔度：判别柔度：所以所以pp，用欧拉公式，用欧拉公式例：托架，例：托架，ABAB杆是圆管，外径杆是圆管，外径D=50mmD=50mm，内径，内径d=40m

36、m,d=40mm,两端为两端为球铰，材料为球铰，材料为A A3 3钢，钢，E=206GPa,E=206GPa,p p=200MPa=200MPa。若规定。若规定n nstst=3,=3,试试确定许可荷载确定许可荷载F F。BAC1500FD50030o本讲稿第四十五页，共六十四页3）根据稳定条件求许可荷载）根据稳定条件求许可荷载由：由：从而求得：从而求得：已求得：已求得：BAC1500FD50030o例：托架，例：托架，ABAB杆是圆管，外径杆是圆管，外径D=50mmD=50mm，内径，内径d=40mm,d=40mm,两端为两端为球铰，材料为球铰，材料为A A3 3钢，钢，E=206GPa,E

37、=206GPa,p p=200MPa=200MPa。若规定。若规定n nstst=3,=3,试试确定许可荷载确定许可荷载F F。本讲稿第四十六页，共六十四页四、压杆的合理设计四、压杆的合理设计2 2）减小压杆长度）减小压杆长度1 1、合理选择材料、合理选择材料3 3）加强约束的紧固程度）加强约束的紧固程度1 1）合理选择截面形状）合理选择截面形状2 2、合理选择截面，适当降低压杆的柔度、合理选择截面，适当降低压杆的柔度本讲稿第四十七页，共六十四页1 1、合理选择材料、合理选择材料细长杆：细长杆：与与E E成正比。成正比。选择弹性模量较高的材料，显然可提高细长压杆的稳定选择弹性模量较高的材料，显

38、然可提高细长压杆的稳定性。性。普通钢与高强度钢的普通钢与高强度钢的E E大致相同，但比铜、铝合金的高，大致相同，但比铜、铝合金的高，所以要多用钢压杆。所以要多用钢压杆。中长杆：中长杆：随随 的提高而提高。的提高而提高。所以采用高强度合金钢可降低自重，同样有利于提高稳定性。所以采用高强度合金钢可降低自重，同样有利于提高稳定性。本讲稿第四十八页，共六十四页2 2、适当降低压杆的柔度、适当降低压杆的柔度1 1）选用合理的截面形状）选用合理的截面形状当当压杆在两个主惯性平面内的约束条件（压杆在两个主惯性平面内的约束条件（）相同）相同，应选择，应选择 （即使（即使 ）的截面。）的截面。在在截面面积一定截

39、面面积一定的情况下，的情况下，应使应使截面的主惯性矩尽可能大截面的主惯性矩尽可能大。例如空心圆截面比实心圆截面稳定。例如空心圆截面比实心圆截面稳定性好。性好。当当压杆在两个主惯性平面内的约束条件（压杆在两个主惯性平面内的约束条件（）不同）不同，应选，应选择择 的截面，而使的截面，而使 ，如矩形、工字形等，使压，如矩形、工字形等，使压杆在两个方向上的抗失稳能力相等。例如杆在两个方向上的抗失稳能力相等。例如本讲稿第四十九页，共六十四页降低压杆的柔度降低压杆的柔度n合理的截面形状合理的截面形状xyzx本讲稿第五十页，共六十四页3 3）改善杆端支承情况）改善杆端支承情况 杆端约束越强，长度系数杆端约束

40、越强，长度系数 值越小，因此，可以用增值越小，因此，可以用增强杆端约束的办法减小强杆端约束的办法减小 值，以达到降低柔度提高压杆值，以达到降低柔度提高压杆稳定性的目的稳定性的目的。2 2）减小压杆长度）减小压杆长度 在结构允许的情况下，尽量减小压杆长度，或在压杆在结构允许的情况下，尽量减小压杆长度，或在压杆上增设中间支撑，都可以降低柔度。上增设中间支撑，都可以降低柔度。本讲稿第五十一页，共六十四页一、一、影响压杆承载能力的因素影响压杆承载能力的因素 影响压杆稳定承载能力的因素不同于影响强度的因素影响压杆稳定承载能力的因素不同于影响强度的因素 一一般般情情形形下下，控控制制构构件件强强度度的的因

41、因素素主主要要是是个个别别危危险险截截面面上的内力、危险面的几何形状和尺寸。上的内力、危险面的几何形状和尺寸。而而压压杆杆丧丧失失稳稳定定，由由直直线线平平衡衡构构形形转转变变为为弯弯曲曲平平衡衡构构形形，这这一一过过程程不不是是某某个个截截面面或或某某几几个个截截面面的的行行为为，而而是是压压杆杆的的一一种种整体行为。整体行为。与与梁梁的的位位移移形形成成过过程程相相似似，压压杆杆的的屈屈曲曲过过程程是是压压杆杆所所有有横横截截面面弯弯曲曲变变形形的的累累加加结结果果。所所以以，个个别别截截面面的的削削弱弱对对于于压压杆杆临界载荷的数值影响不大。临界载荷的数值影响不大。结论与讨论本讲稿第五十

42、二页，共六十四页 1 1、对于细长压杆，其临界载荷为、对于细长压杆，其临界载荷为 所所以以，影影响响承承载载能能力力的的因因素素较较多多。临临界界载载荷荷不不仅仅与与材材料料的的弹弹性性模模量量E E有有关关，而而且且与与长长细细比比有有关关。长长细细比比包包含含了了截截面面形形状状、几何尺寸以及约束条件等多种因素。几何尺寸以及约束条件等多种因素。2 2、对于中长压杆，临界载荷为、对于中长压杆，临界载荷为 因因而而影影响响其其承承载载能能力力的的主主要要是是材材料料常常数数a a和和b b，以以及及压压杆的长细比，当然还有压杆的横截面积。杆的长细比，当然还有压杆的横截面积。一、一、影响压杆承载

43、能力的因素影响压杆承载能力的因素 结论与讨论本讲稿第五十三页，共六十四页3 3、对对于于粗粗短短杆杆,因因为为不不发发生生屈屈曲曲，而而只只发发生生屈屈服服或或破破坏坏，故有故有 因因而而临临界界载载荷荷主主要要取取决决于于材材料料的的屈屈服服强强度度和和杆杆件件的的横横截面积。截面积。首首先先，只只有有细细长长杆杆才才能能应应用用欧欧拉拉公公式式计计算算其其临临界界载载荷荷。所所谓谓细细长长杆杆，不不能能只只看看压压杆杆的的长长度度，而而要要综综合合考考虑虑长长度度、约约束束性性质质以以及及截截面面的的惯惯性性矩矩。也也就就是是要要根根据据长长细细比和材料的性能判断是不是细长杆。比和材料的性

44、能判断是不是细长杆。二、二、要正确应用欧拉公式要正确应用欧拉公式 一、一、影响压杆承载能力的因素影响压杆承载能力的因素 结论与讨论本讲稿第五十四页，共六十四页I I如何确定如何确定？1 1、当压杆两端在各个方向上都具有、当压杆两端在各个方向上都具有相同的约束条件相同的约束条件时，压时，压杆将在杆将在刚度最小的主轴平面刚度最小的主轴平面内屈曲。内屈曲。2 2、当压杆两端在各个方向上都具有、当压杆两端在各个方向上都具有不相同的约束条件不相同的约束条件时，时，压杆将在压杆将在长细比最大的主轴平面长细比最大的主轴平面内屈曲。内屈曲。其其次次，要要正正确确确确定定横横截截面面的的惯惯性性矩矩。为为此此，

45、必必须须判判断屈曲时断屈曲时,压杆的横截面将绕哪一根惯性主轴转动。压杆的横截面将绕哪一根惯性主轴转动。结论与讨论本讲稿第五十五页，共六十四页 首首先先，要要正正确确进进行行受受力力分分析析，判判断断哪哪些些构构件件受受压压；对于对于受压杆受压杆，特别是，特别是细长压杆细长压杆，必然，必然存在稳定性问题。存在稳定性问题。其其次次，要要根根据据约约束束性性质质，以以及及截截面面的的几几何何形形状状和和尺尺寸，寸，确定压杆的长细比。确定压杆的长细比。然然后后，要要根根据据长长细细比比的的大大小小，正正确确区区分分三三类类不不同同压压杆杆，分别分别采用相应的公式计算其临界载荷。采用相应的公式计算其临界

46、载荷。需需要要特特别别指指出出的的是是：屈屈曲曲失失效效与与强强度度和和刚刚度度失失效效有有着着本本质质上上的的差差异异，前前者者失失效效时时的的载载荷荷远远低低于于后后者者，而而且且往往往是突发性的，因而常常造成灾难性后果。往是突发性的，因而常常造成灾难性后果。三、三、稳定设计中需注意的几个问题稳定设计中需注意的几个问题结论与讨论本讲稿第五十六页，共六十四页1 1、在下列有关压杆临界应力、在下列有关压杆临界应力crcr的结论中，的结论中，（）是正确的。）是正确的。A.A.细长杆的细长杆的cr cr值与杆的材料无关；值与杆的材料无关；B.B.中长杆的中长杆的cr cr值与杆的柔度无关；值与杆的

47、柔度无关；C.C.中长杆的中长杆的cr cr值与杆的材料无关；值与杆的材料无关；D.D.短粗杆的短粗杆的cr cr值与杆的柔度无关。值与杆的柔度无关。D2 2、关于钢制细长压杆承受轴向压力达到临界荷载之后，还能不能继、关于钢制细长压杆承受轴向压力达到临界荷载之后，还能不能继续承载，有如下四种答案，判断哪一种是正确的。续承载，有如下四种答案，判断哪一种是正确的。（）（A A）不能。因为载荷达到临界值时屈曲位移无限制的增加；）不能。因为载荷达到临界值时屈曲位移无限制的增加；（B B）能。因为压杆直到折断时为止都有承载能力；）能。因为压杆直到折断时为止都有承载能力；（C C）能。只要荷载面上的最大正

48、应力不超过比例极限；）能。只要荷载面上的最大正应力不超过比例极限；（D D）不能。因为超过临界载荷后，变形不再是弹性的。）不能。因为超过临界载荷后，变形不再是弹性的。A讨论题讨论题本讲稿第五十七页，共六十四页3 3、图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件、图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件下，压杆采用图（下，压杆采用图（）所示截面形状，其稳定性最好。）所示截面形状，其稳定性最好。(A)(B)(C)(D)D本讲稿第五十八页，共六十四页4 4、长方形截面细长压杆，、长方形截面细长压杆，b/h=1/2b/h=1/2；如果将；如果将 b b改为改为 h h 后仍为细长杆，临界力后仍

49、为细长杆，临界力F Fcrcr是原来的多少倍？是原来的多少倍？Fcrl本讲稿第五十九页，共六十四页5、圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的 ；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的则其临界力为原压杆的 。本讲稿第六十页，共六十四页习题习题10-6 10-6 求一端固定，一端自由细长杆的临界压力求一端固定，一端自由细长杆的临界压力由平衡条件M(x)=F(w)代入挠曲线近似微分方程

50、EIw=M(x)=F(w)wyLFxxMF本讲稿第六十一页，共六十四页 EIw+Pw=Fw+k2w=k2通解为 w=c1sinkx+c2coskx+边界条件:x=0 w(0)=0 x=l w (l)=w(0)=c1sin(k 0)+c2cos(k 0)+=0 x=0 w(0)=0本讲稿第六十二页，共六十四页 c2+=0 c2=w(0)=kc1cos(k 0)kc2sin(k 0)=0 kc1=0w(x)=kc1coskx kc2sinkx c1=0w(x)=(1 coskx)本讲稿第六十三页，共六十四页w(l)=(1 coskl)=n=0，1，2，n=0，1，2，(0 x l)w(l)=本讲稿