第六讲误差理论精选文档.ppt

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1、第六讲误差理论第六讲误差理论本讲稿第一页，共二十页第六章 测量误差的基本知识具体来说，测量误差主要来自以下三个方面：(1)外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。(2)仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。(3)观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。本讲稿第二页，共二十页第六章 测量误差的基本知识二、二、系统误差系统误差

2、在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不完善。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际长度为50.005 m，则每量尺，就带有+0.005 m的误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。本讲稿第三页，共二十页第六章 测量误差的基本知识再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角 时，对 水 准 尺 的 读 数 所 产 生 的 误 差 为l*i/（=20626

3、5，是一弧度对应的秒值)，它与水准仪至水准尺之间的距离l成正比，所以这种误差按某种规律变化。系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少其影响。本讲稿第四页，共二十页第六章 测量误差的基本知识三、三、偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等，都属于偶然误差。偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条件下，对某量进行多次观

4、测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。本讲稿第五页，共二十页第六章 测量误差的基本知识偶然误差具有如下四个特征：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(本例为1.6)；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(或概率大)；绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；在相同条件下，同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零，本讲稿第六页，共二十页第六章 测量误差的基本知识第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观测条件不正常或有粗差存在；第

5、二个特性反映了偶然误差的“密集性”，即越是靠近0，误差分布越密集；第三个特性反映了偶然误差的对称性，即在各个区间内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性导出，即在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。本讲稿第七页，共二十页第六章 测量误差的基本知识3-2 3-2 衡量精度的指标衡量精度的指标 测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，使用“精度”来判断观测成果质量好坏的。所谓精度，就是指误差分布的密集或离散程度。误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大，精度就低。一、

6、一、中误差及其计算中误差及其计算1 中误差的定义 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取其平方根，称为中误差，用m表示，即：式中为真误差的平方和，n为观测次数。本讲稿第八页，共二十页第六章 测量误差的基本知识 一组观测中的每一个观测值，都具有相同的精度。也就是说，中误差仅是一组真误差的代表值，代表了这一组测量中任一个观测值的精度。所以，通常把m称为观测值中误差或一次观测值中误差。2 用真误差计算中误差 有时，我们可以知道某些量的真值，这样，就可很容易地求得观测值的真误差。例如，三角形内角和的真值为180，通过观测三角形的三个内角，就可以求得三角形内角和的

7、真误差(即三角形的闭合差)，据此，就可以利用上式计算中误差。本讲稿第九页，共二十页第六章 测量误差的基本知识3 用改正数计算中误差 利用“改正数”来求中误差。所谓改正数，就是最或是值与观测值之差，用v表示，即：v=x-l 式中v为观测值的改正数；l为观测值；x为观测值的最或是值。设对某个量进行n次观测，观测值为li（i=1,2n)，则它的最或是值就是n个观测值的算术平均值，即 于是改正数为vixlI （i，n）根据误差理论的推导(此处从略)，可得白塞尔公式：上式求得的为一次观测值的中误差。本讲稿第十页，共二十页第六章 测量误差的基本知识二、二、相对误差相对误差 中误差和真误差都是绝对误差，误差

8、的大小与观测量的大小无关。然而，有些量如长度，绝对误差不能全面反映观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。例如，分别丈量了两段不同长度的距离，一段为100m，另一段为200m，但中误差皆为0.02m。显然不能认为这两段距离观测成果的精度相同。为此，需要引入“相对误差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之比，用K表示。相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母愈大，表示相对误差愈小，精度也就愈高。本讲稿第十一页，共二十页第六章 测量误差的基本知识三、三、极限误差极限误差 根据偶然误差的第一个特性，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过

9、一定的限值，这个限值就是极限误差，简称限差。限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标准。如果观测值的偶然误差超过限差，则认为该观测值不合格，应舍去不用。因此，测量上常取三倍中误差作为极限误差限，也称允许误差，即：限=3m本讲稿第十二页，共二十页第六章 测量误差的基本知识3-3 3-3 误差传播定律误差传播定律 对于能直接观测的量(如角度、距离、高差等)，经过多次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，

10、两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如果觇标高v等于仪器高i，则h=ltan，这时，高差h就是观测值l和的函数，等等。本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。本讲稿第十三页，共二十页第六章 测量误差的基本知识一、一、线性函数线性函数1 倍数函数 设有函数Z=Kx 式中x为直接观测值，其中误差为mx；为常数；Z为观测值x的函数。若对x作n次同精度观测，则有：m22mx2 或 mmx 上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观测值中误差的K倍。本讲稿

11、第十四页，共二十页第六章 测量误差的基本知识2 和、差函数 设有函数Z=xy 式中，x、y为两个相互独立的观测值，均作了n次观测，其中误差分别为mx和my。用同样的方法可推导出:3 一般线性函数 设有函数Z=KxK2xKnxn 式中，K、KKn为常数;x、xxn为独立观测值，其相应的中误差分别为m、mmn。根据倍数函数与和差函数的中误差公式，可列出求一般线性函数中误差的公式为：m2（m）（m）（nmn）本讲稿第十五页，共二十页第六章 测量误差的基本知识二二、非线性函数非线性函数 设有非线性函数Z=f(x，xxn）式中，x，xxn为独立观测值，其相应的中误差分别为m、mmn。则有 上式是误差传播

12、定律的一般形式，其他形式的函数都是它的特例，所以该式具有普遍意义。本讲稿第十六页，共二十页第六章 测量误差的基本知识3-4 3-4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，其观测值分别为l、l、ln，观测值的真值为X，则观测值的真误差为：l,l,nln，将等式两边取和并除以观测次数n,得：/nl/n-X 式中l/n称为算术平均值，习惯上以x表示；当观测次数n无限增大时，根据偶然误差的第四特性，式中/n趋于零。于是有：x=Xx=X。本讲稿第十七页，共二十页第六章 测量误差的基本知识上式表明，当观测次数无限增多时，各个观测值的算术平均值趋近于未知

13、量的真值。当n为有限值时，通常取算术平均值为最可靠值(最或是值)，并以它作为测量的最后成果。算术平均值的一般表达式为：x=（llln）/nl/n 由于观测值li的真误差i一般是不知道的，所以实际工作中常采用观测值的改正数vi来计算中误差。各观测值的改正数：vxl，vxl，vnxln，将上式两边求和，有:v v=nx-=nx-l l 因x=l/n，所以v=0。此式可作为改正数计算正确性的检查。算得改正数后，可计算观测值的中误差：本讲稿第十八页，共二十页第六章 测量误差的基本知识由于算术平均值是观测值的线性函数，即：因是同精度观测，各观测值的中误差均为m。设算术平均值的中误差为M，则按线性函数中误差传播定律公式，得：即 上式表明，算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比，或者说，算术平均值的精度比各观测值的精度提高了 倍。本讲稿第十九页，共二十页第五章 测量误差的基本知识本讲稿第二十页，共二十页