第六章数理统计基础精选文档.ppt

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1、第六章数理统计基础第六章数理统计基础本讲稿第一页，共二十八页6.1 数理统计中的几个概念数理统计中的几个概念6.1.1 总体与个体总体与个体在一个统计问题中，将研究对象的全体称为在一个统计问题中，将研究对象的全体称为总体总体。构成总体的每个元素称为构成总体的每个元素称为个体个体。由于总体就是一个随机变量由于总体就是一个随机变量X（或向量（或向量X）或一个概率分）或一个概率分布，因此研究总体就是要研究布，因此研究总体就是要研究X的概率分布或某些特征量。的概率分布或某些特征量。从总体中按一定规则抽出一部分个体的过程称为抽样。所抽从总体中按一定规则抽出一部分个体的过程称为抽样。所抽得的个体称为得的个

2、体称为样本样本。6.1.2 简单随机简单随机样本样本上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第二页，共二十八页 设设X是具有分布函数是具有分布函数F的随机变量，若的随机变量，若X1，X2，Xn是具有同一分布函数是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称的、相互独立的随机变量，则称X1，X2，Xn为来自总体为来自总体X(或总体或总体F)的样本容量为的样本容量为n的简的简单随机样本，它们的观察值单随机样本，它们的观察值x1，x2，xn称为样本值。称为样本值。对于简单随机样本对于简单随机样本X1，X2，Xn，其联合概率分布可以，其联合概率分布可以由总体由总体X的分布完全确定。若总体的分布完全确定

3、。若总体X的分布函数为的分布函数为F(x)，则样本则样本X1，X2，Xn的联合分布函数为的联合分布函数为上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第三页，共二十八页又若又若X具有概率密度具有概率密度f(x)，则，则X1，X2，Xn的联合概率密度的联合概率密度为为则则X1，X2，Xn的联合分布律为的联合分布律为 若若X的分布律为的分布律为 上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第四页，共二十八页例例6.1.1 设总体设总体XB(1,p)，X1，X2，Xn为取自总体为取自总体X的样本，求样本的样本，求样本X1，X2，Xn的联合分布（称为样本分的联合分布（称为样本分布）。布）。解解:X的分布律为的分布律

4、为所以样本所以样本X1，X2，Xn的联合分布律为的联合分布律为 上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第五页，共二十八页定义定义6.1.1 设设X1,X2,Xn为来自总体为来自总体X的样本的样本,g(X1,X2,Xn)是是X1,X2,Xn的函数的函数,若若g中中不含任何未知参不含任何未知参数数,则称则称g(X1,X2,Xn)为为统计量统计量.样本平均样本平均 设设x1,x2,xn是相应于样本是相应于样本X1,X2,Xn的样本值的样本值,则称则称g(x1,x2,xn)是是g(X1,X2,Xn)的的观察值观察值.上一页上一页下一页下一页返回返回6.1.3 统计量统计量6.1.4 常用的统计量常用的

5、统计量本讲稿第六页，共二十八页样本标准差样本标准差 样本样本k阶阶(原点原点)矩矩 样本样本k阶中心矩阶中心矩 上一页上一页下一页下一页返回返回样本方差样本方差 本讲稿第七页，共二十八页它们的观察值分别为它们的观察值分别为 上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第八页，共二十八页例例6.2.2设总体设总体X的期望、方差分别为的期望、方差分别为 X1，X2，Xn为来自总体为来自总体X的样本，其样本均值和的样本，其样本均值和样本方差分别记为样本方差分别记为 。求。求上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第九页，共二十八页由于由于 所以所以 上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第十页，共二十八页6

6、.2.2数理统计中常用的三个分布数理统计中常用的三个分布6.2.1 分位数分位数设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(X)，对给定的实数对给定的实数 ，若实数满足不等式，若实数满足不等式则称则称 为随机变量为随机变量X的分布的水平的分布的水平 的上侧分位数的上侧分位数.若实数若实数 满足不等式满足不等式则称则称 为随机变量为随机变量X的分布的水平的分布的水平 的双侧分位数的双侧分位数.本讲稿第十一页，共二十八页 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体N(0，1)的样本，则统的样本，则统计量计量服从自由度为服从自由度为n的的 分布，记为分布，记为分布的概率分布密度为分布的概率分布密

7、度为6.2.2、分布分布上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第十二页，共二十八页上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第十三页，共二十八页 分布具有以下性质分布具有以下性质:上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第十四页，共二十八页标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的上标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的上 分分位点记为位点记为 ,它满足它满足其中其中ZN(0,1)。对不同的对不同的 分布的上分布的上 分位点的值已制成表分位点的值已制成表格，可以查用。格，可以查用。上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第十五页，共二十八页6.2.3、t 分布分布 设设XN(0,1),Y

8、,且且X与与Y相互独立，相互独立，则随机变量则随机变量服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布,记为记为tt(n)。t(n)分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第十六页，共二十八页t(n)分布的概率密度函数分布的概率密度函数 关于关于t=0单峰对称单峰对称上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第十七页，共二十八页当当n很大时很大时t(n)分布接近于标准正态分布，利用分布接近于标准正态分布，利用函数函数的性质可以证明的性质可以证明当当n较小时，较小时，t(n)分布与分布与N(0,1)分布之间有较大差异。分布之间有较大差异。t(n)分布的上分布的上 分位数

9、记为分位数记为 ，即即 满足满足t分布的上分布的上 分位数可由附表查得。分位数可由附表查得。当当n45时，有时，有 上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第十八页，共二十八页 设设 且且U与与V相互独立，相互独立，则随机变量则随机变量服从自由度为服从自由度为(n1，n2)的的F分布，记为分布，记为FF(n1，n2)6.2.3、F分布分布 F(n1,n2)分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第十九页，共二十八页上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第二十页，共二十八页若若FF(n1,n2)，则，则 的上的上 分位点记为分位点记为 ，即它满足，即它满足上一

10、页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第二十一页，共二十八页若若FF(n1,n2),则则 F分布的上分布的上 分位点有如下的性质：分位点有如下的性质：上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第二十二页，共二十八页6.2.4、正态总体的样本均值与样本方差的分布、正态总体的样本均值与样本方差的分布上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第二十三页，共二十八页上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第二十四页，共二十八页上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第二十五页，共二十八页上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第二十六页，共二十八页上一页上一页下一页下一页返回返回本讲稿第二十七页，共二十八页例例6.2.3 设总体设总体X服从正态分布服从正态分布N（62，100），），为使样本均值大为使样本均值大于于60的概率不小于的概率不小于0.95，问样本容量问样本容量n至少应取多大？至少应取多大？解解 设需要样本容量为设需要样本容量为n，则，则查标准正态分布表，得查标准正态分布表，得（1.64）0.95.所以所以0.2 1.64,n67.24.故样本容量至少应取故样本容量至少应取68.本讲稿第二十八页，共二十八页