第六章样本及其抽样分布精选文档.ppt

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1、第六章样本及其抽样分布本讲稿第一页，共三十四页本讲稿第二页，共三十四页 样本样本:由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自)某总体的样本。样本样本具有二重具有二重性性:在抽样前,它是随机向量,在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。样本样本选择选择方式方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样特特别别,样本容量总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样.简单简单随机样本随机样本(s.r.s):具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。样本样本容容量量:样本中所含个体的个数。本讲稿第三页，共三十四页如如,检验检验一一批灯泡批灯泡的质量的质

2、量,从中从中选择选择1 100只只,则则总体总体:这这批灯泡批灯泡(有限有限总体总体)个体个体:这这批灯泡批灯泡中的中的每每一一只只 样本样本:抽取抽取的的100只灯泡只灯泡(简单简单随机样本随机样本)样本样本容容量量:100样本样本观测值观测值:x1,x2,x100定义定义:设设X为一随机变量为一随机变量,其其分布函数为分布函数为F(x),X1,X2,Xn是一是一组组独独立且与立且与X同同分布分布的随机变量的随机变量,称称X为为总体总体;(X1,X2,Xn)为来自总体为来自总体X(或或分布函数分布函数F(x)的的简单简单随机样本随机样本;n为为样本样本容容量量;在依次在依次观测观测中中,样本

3、的样本的具具体体观测值观测值x1,x2,xn称为称为样本样本值值XX1,X2,X100100样本样本值值注注意意:样本是一样本是一组组独立同独立同总体分布总体分布相同相同的随机变量的随机变量.本讲稿第四页，共三十四页总体总体选择选择个体个体样本样本观测观测样本样本样本样本观观察察值值(数数据据)数数据据处处理理样本样本有关有关结论结论统计的一统计的一般步般步骤骤:推断推断总体性质总体性质 统计量统计量为为了集了集中中简单简单随机样本随机样本所所带带来的总体来的总体信息信息,考考虑虑样本的函数样本的函数,且且不含任何未知参数不含任何未知参数,这这样的样的“不含不含未未知知参数的样本的函数参数的样

4、本的函数”称为统计量称为统计量。本讲稿第五页，共三十四页 是来自总体是来自总体例例6.2.1 设设 未知未知,则则()不是统计量不是统计量。的的s.r.s,其其中中已已知知,统计量统计量 定义定义:设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是来自总体是来自总体X X的一个样本的一个样本,g(X,g(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)是是n n维随机变量的函数维随机变量的函数,若若g g中除样本中除样本的函数外不含任何未知参数的函数外不含任何未知参数,则称则称g(Xg(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)为为统计统计量量.统计量的分布称为统计量的分布称为抽抽样分布样分布.本讲稿第六页，共

5、三十四页 样本样本均均值值 常用常用统计量统计量:样本样本方差方差 样本样本标标准差准差 样本样本k阶阶原点矩原点矩 样本样本k阶阶中中心矩心矩本讲稿第七页，共三十四页(6)顺顺序序统计量统计量与与样本分布函数样本分布函数设设X1,X2,Xn的的观观察察值值为为x1,x2,xn,从从小到小到大大排序排序得得到到:x(1),x(2),x(n),定义定义X(k)=x(k),由由此此得得到到的的(X(1),X(2),X(n)或它或它们们的函数的函数都都称为称为顺顺序序统计量统计量.显显然然X(1)X(2)X(n)且有且有X(1)=min(X(1),X(2),X(n),X(n)=max(X(1),X(

6、2),X(n)1)样本中样本中位位数数2)样本样本极差极差R=X(n)-X(1)本讲稿第八页，共三十四页样本分布函数样本分布函数(经验经验分布函数分布函数)格里汶科格里汶科定定理理:设总体设总体X的分布是的分布是F(x),则则下式成立下式成立本讲稿第九页，共三十四页第第6.3节节 抽抽样分布样分布一、样本一、样本均均值值的分布的分布定定理：理：设设X1，X2,Xn是来自总体是来自总体N(,2)的样本的样本，是样本是样本均均值值，则则有有注：注：在在大样本大样本情况下，无情况下，无论论总体服从何总体服从何种种分布分布均有均有本讲稿第十页，共三十四页二二、顺顺序序统计量的分布统计量的分布1、（X（

7、1），X（2）X(n)）的的概率概率密度函数为密度函数为2、样本中、样本中位位数的数的概率概率密度函数为密度函数为3、样本、样本极差极差的的概率概率密度函数为密度函数为其其中中本讲稿第十一页，共三十四页z 1-例例6.3.1.3.1 设设XN(0,1),分分别别为为0.95,0.975,0.75,求求X关关于于 的的100%分分位位数数.X(x)三三、标标准正准正态态分布分布及其及其100%分分位位数数定义定义:设设XN(0,1),对任意对任意01,若若PX=,则称则称为为标标准准正正态态分布的分布的100%分分位位数数,记记为为解解:=0.95时时,反反查查表表得得:z0.95=1.64类类

8、似可似可得得:z0.975=1.96,z0.75=0.69z本讲稿第十二页，共三十四页 分布分布及其及其性质性质1.1.定义定义:称称 n n 个个相互独立同相互独立同标标准正准正态态分布的随机变量分布的随机变量的平的平方和方和X X的分布为自由度为的分布为自由度为n n的的 分布分布,记记作作(2)X1,X2,Xk独立独立,Xi (ni),(i=1,2,k),则则 2.2.性质性质:(1)X 1,X2,Xn独立独立,XiN(0,1),(i=1,2,n),则则 (3)X1,X2,Xn为来自总体为来自总体N(,2)的的简单简单随机样本随机样本,则则 四四、（4）本讲稿第十三页，共三十四页 例例6

9、.3.2 设设 是来自总体是来自总体 的的s.r.s,则则 服从服从()分布分布。例例6.3.3(983)设设 是是取取自总体自总体 N(0,4)的的s.r.s,当当a=,b=时时,解解(1)(1)服从服从(2)(2)由题意得由题意得a=1/20b=1/100本讲稿第十四页，共三十四页3.的密度曲线的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=10随着随着n n的增大的增大,密度曲线逐渐趋于平缓密度曲线逐渐趋于平缓,对称对称.本讲稿第十五页，共三十四页4.分布的分布的100%分分位位数数定义定义:设设 ,对于给定的对于给定的(0 1),若若PX=,则称则称为自由度为为自由度为n的的 分布的分布的100%

10、分位数分位数,记为记为Xf(x)查表求查表求100%分位数分位数:(1)若若PX=,则则例例6.3.4.设设X (10),PX1=0.025,PX2=0.05,求求1,2.解解:查表得查表得:查表得查表得:本讲稿第十六页，共三十四页五五、t 分布分布及其及其性质性质1.1.定义定义 设随机变量设随机变量 ,随机变量随机变量 ,Y 且且它它们们互相独立互相独立,则称随机变量则称随机变量的分布为自由度是的分布为自由度是 n n 的的t t 分布分布,记记作作可以可以证证明明t分布的分布的概率概率密度函数为密度函数为本讲稿第十七页，共三十四页 特点特点:关关于于y轴轴对称对称;随着自由度的逐渐增大随

11、着自由度的逐渐增大,密密度曲线逐渐度曲线逐渐接近接近于于标标准正准正态态密度曲线密度曲线.2.t2.t分布的密度曲线分布的密度曲线:Xf(x)本讲稿第十八页，共三十四页3 3、t t分布的性质分布的性质（1）（2）（3）h(t)的的图图形关形关于于Y轴轴对称对称本讲稿第十九页，共三十四页4.t分布的分布的100%分分位位数数:Xf(x)对于对于给给定定(0 1),若若Pt(n)=,则称则称为为t分布的分布的100%分分位位数数,记记为为:1-例例6.3.5.设设tt(15),求求(1)=0.995 (2)=0.005的的100%分分位位数数;解解:(1)=t0.995(15),查查表表得得=2

12、.9467(2)=t0.005(15),查查表表得得=-2.9467注注:本讲稿第二十页，共三十四页 例例6.3.6(974)设随机变量设随机变量 X 和和 Y 相相互独立且都互独立且都服从服从正正态态分布分布 ,而而和和 分分别别是来自总体是来自总体 X 和和 Y 的的 s.r.s,则则统统计量计量 服从服从()分布分布,参数为参数为().t t9 9解解:故故 与与 独立独立,所以所以 本讲稿第二十一页，共三十四页六六、F 分布分布及其及其性质性质1.1.定义定义 设随机变量设随机变量 随机变量随机变量 且且它它们们相互独立相互独立,则称随机变量则称随机变量 的分布为自的分布为自由度是由度

13、是 的的 F 分布分布。记记作作可以可以证证明，明，的的概率概率密度函数为密度函数为本讲稿第二十二页，共三十四页2.2.F分布的分布的概率概率密度曲线密度曲线3.性质性质:本讲稿第二十三页，共三十四页4.F分布的分布的100%分分位位数数Xf(x)设设F ,对于对于给给定定(01),若若PF=,则称则称为为F分布的分布的100%分分位位数数,记记为为:5.100%分分位位数的计数的计算算(1)若若PF=,则则(2)若若PF=(比比较较小小),则则P1/F1/=1-,故故本讲稿第二十四页，共三十四页例例6.3.3.7 设设FF(2(24,1,15),),分分别别求求满满足足解解 (1)=F0.9

14、75(24,15)=2.29(2)=F0.95(24,15)=2.70(3)比比较较小小,P1/F1/=0.975所以所以=0.41本讲稿第二十五页，共三十四页 七七、抽抽样分布样分布基基本定本定理理1、设 是来自总体 的 s.r.s,表示样本均值，则 本讲稿第二十六页，共三十四页2、设、设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立相互独立,从中从中分分别别抽取容抽取容量为量为n1,n2的样本的样本,样本样本均均值值分分别记别记为为本讲稿第二十七页，共三十四页3、定定理理6.3.3设设X1，X2,Xn是来自总体是来自总体的样本的样本，分分别别是样本是样本均均值值和和样本样本方差，方差，则则有有注：注：由由可可得得本讲稿第二十八页，共三十四页4、定定理理6.3.4设设X1，X2,Xn是来自总体是来自总体的样本的样本，分分别别是样本是样本均均值值和和样本样本方差，方差，则则有有例例6.3.8(993)设设 是来自是来自正正态态总体总体 X 的的s.r.s,证证明明:统计量统计量 Zt(2)本讲稿第二十九页，共三十四页4、定定理理6.3.5设与 分别是来自总体X,Y的样本且这两个样本是独立的,记则有本讲稿第三十一页，共三十四页注注:若记则有本讲稿第三十二页，共三十四页本讲稿第三十三页，共三十四页本讲稿第三十四页，共三十四页